Проективное разнообразие

Эллиптическая кривая — это гладкая проективная кривая рода один.

В алгебраической геометрии проективное многообразие над алгебраически замкнутым полем k — это подмножество некоторого проективного n -пространства. $\mathbb {P} ^{n}$ над k , которое является нулевым локусом некоторого конечного семейства однородных многочленов от n + 1 переменных с коэффициентами из k , которые порождают простой идеал , определяющий идеал многообразия. Эквивалентно, алгебраическое многообразие является проективным, если его можно вложить как замкнутое по Зарисскому подмногообразие в $\mathbb {P} ^{n}$.

Проективное многообразие является проективной кривой , если его размерность равна единице; это проективная поверхность , если ее размерность равна двум; это проективная гиперповерхность , если ее размерность на единицу меньше размерности содержащего ее проективного пространства; в данном случае это набор нулей одного однородного многочлена .

Если X — проективное многообразие, определенное однородным простым идеалом I , то факторкольцо

$k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I$

называется координатным кольцом X . однородным Основные инварианты X , такие как степень и размерность, можно прочитать из полинома Гильберта этого градуированного кольца .

Проективные многообразия возникают разными способами. Они полны , что грубо можно выразить, сказав, что нет ни одного «недостающего» пункта. Обратное, вообще говоря, неверно, но лемма Чоу описывает тесную связь этих двух понятий. Показать, что многообразие проективно, можно путем изучения линейных расслоений или делителей на X .

Характерной особенностью проективных многообразий являются ограничения конечности на пучковых когомологий. Для гладких проективных многообразий двойственность Серра можно рассматривать как аналог двойственности Пуанкаре . Это также приводит к теореме Римана–Роха для проективных кривых, т. е. проективных многообразий размерности 1. Теория проективных кривых особенно богата, включая классификацию по роду кривой. Программа классификации проективных многообразий более высокой размерности естественным образом приводит к построению модулей проективных многообразий. Схемы Гильберта параметризуют замкнутые подсхемы $\mathbb {P} ^{n}$ с заданным полиномом Гильберта. Схемы Гильберта, частными случаями которых являются грассманианы , также сами по себе являются проективными схемами. Геометрическая теория инвариантов предлагает другой подход. Классические подходы включают пространство Тейхмюллера и многообразия Чоу .

Особенно богатая теория, восходящая к классике, доступна для комплексных проективных многообразий, т. е. когда полиномы, определяющие X, имеют комплексные коэффициенты. В широком смысле принцип GAGA гласит, что геометрия проективных комплексных аналитических пространств (или многообразий) эквивалентна геометрии проективных комплексных многообразий. Например, теория голоморфных векторных расслоений (в более общем плане когерентных аналитических пучков ) на X совпадает с теорией алгебраических векторных расслоений. Теорема Чоу утверждает, что подмножество проективного пространства является нулевым локусом семейства голоморфных функций тогда и только тогда, когда оно является нулевым локусом однородных многочленов. Сочетание аналитических и алгебраических методов для комплексных проективных многообразий привело к появлению таких областей, как теория Ходжа .

Разновидность и структура схемы

Структура сорта

Пусть k — алгебраически замкнутое поле. В основе определения проективных многообразий лежит проективное пространство. $\mathbb {P} ^{n}$, который можно определить разными, но эквивалентными способами:

• как набор всех линий, проходящих через начало координат в $k^{n+1}$ (т.е. все одномерные векторные подпространства $k^{n+1}$)
• как набор кортежей $(x_{0},\dots ,x_{n})\in k^{n+1}$, с $x_{0},\dots ,x_{n}$ не все равны нулю по модулю отношения эквивалентности
  $$(x_{0},\dots ,x_{n})\sim \lambda (x_{0},\dots ,x_{n})$$
  для любого $\lambda \in k\setminus \{0\}$. Класс эквивалентности такого набора обозначается через
  $$[x_{0}:\dots :x_{n}].$$
  Этот класс эквивалентности является общей точкой проективного пространства. Числа $x_{0},\dots ,x_{n}$ называются однородными координатами точки.

— Проективное многообразие это, по определению, замкнутое подмногообразие. $\mathbb {P} ^{n}$, где закрытость относится к топологии Зарисского . В общем, замкнутые подмножества топологии Зариского определяются как общее нулевое место конечного набора однородных полиномиальных функций. Учитывая полином $f\in k[x_{0},\dots ,x_{n}]$, состояние

$f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0$

не имеет смысла для произвольных многочленов, но только если f однороден , т. е. степени всех мономов (сумма которых равна f ) одинаковы. В этом случае исчезновение

$f(\lambda x_{0},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{\deg f}f(x_{0},\dots ,x_{n})$

не зависит от выбора $\lambda \neq 0$.

, проективные многообразия возникают из однородных простых идеалов I Следовательно $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$и установка

$X=\left\{[x_{0}:\dots :x_{n}]\in \mathbb {P} ^{n},f([x_{0}:\dots :x_{n}])=0{\text{ for all }}f\in I\right\}.$

Более того, проективное многообразие X является алгебраическим многообразием, то есть оно покрыто открытыми аффинными подмногообразиями и удовлетворяет аксиоме отделимости. Таким образом, локальное изучение X (например, особенностей) сводится к изучению аффинного многообразия. Явная структура такова. Проективное пространство $\mathbb {P} ^{n}$ покрывается стандартными открытыми аффинными диаграммами

$U_{i}=\{[x_{0}:\dots :x_{n}],x_{i}\neq 0\},$

которые сами являются аффинными n -пространствами с координатным кольцом

$k\left[y_{1}^{(i)},\dots ,y_{n}^{(i)}\right],\quad y_{j}^{(i)}=x_{j}/x_{i}.$

скажите i Для простоты обозначений = 0 и опустите верхний индекс (0). Затем $X\cap U_{0}$ является закрытым подмногообразием $U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}$ определяется идеалом $k[y_{1},\dots ,y_{n}]$ созданный

$f(1,y_{1},\dots ,y_{n})$

для f в I. всех Таким образом, X — алгебраическое многообразие, покрытое ( n +1) открытыми аффинными картами. $X\cap U_{i}$.

Заметим, что X — замыкание аффинного многообразия $X\cap U_{0}$ в $\mathbb {P} ^{n}$. Обратно, начиная с некоторого закрытого (аффинного) многообразия $V\subset U_{0}\simeq \mathbb {A} ^{n}$, замыкание V в $\mathbb {P} ^{n}$ проективное многообразие, называемое проективное V . завершение Если $I\subset k[y_{1},\dots ,y_{n}]$ определяет V , то определяющим идеалом этого замыкания является однородный идеал из $k[x_{0},\dots ,x_{n}]$ созданный

$x_{0}^{\deg(f)}f(x_{1}/x_{0},\dots ,x_{n}/x_{0})$

для f в I. всех

Например, если V — аффинная кривая, заданная, скажем, формулой $y^{2}=x^{3}+ax+b$ в аффинной плоскости, то его проективное пополнение в проективной плоскости определяется выражением $y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}.$

Проективные схемы

Для различных приложений необходимо рассматривать более общие алгебро-геометрические объекты, чем проективные многообразия, а именно проективные схемы. Первым шагом на пути к проективным схемам является наделение проективного пространства схемной структурой, таким образом уточняя приведенное выше описание проективного пространства как алгебраического многообразия, т. е. $\mathbb {P} ^{n}(k)$ — это схема, которая представляет собой объединение ( n + 1) копий аффинного n -пространства k ^н . В более общем смысле, проективное пространство над кольцом A представляет собой объединение аффинных схем

$U_{i}=\operatorname {Spec} A[x_{0}/x_{i},\dots ,x_{n}/x_{i}],\quad 0\leq i\leq n,$

таким образом переменные совпадают, как и ожидалось. Множество закрытых точек $\mathbb {P} _{k}^{n}$, для алгебраически замкнутых полей k , тогда является проективным пространством $\mathbb {P} ^{n}(k)$ в обычном смысле.

Эквивалентную, но упрощенную конструкцию дает конструкция Proj , которая является аналогом спектра кольца , обозначаемого «Spec», определяющего аффинную схему . Например, если A — кольцо, то

$\mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].$

Если R является частным ​ $k[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ однородным идеалом I , то каноническая сюръекция индуцирует замкнутое погружение

$\operatorname {Proj} R\hookrightarrow \mathbb {P} _{k}^{n}.$

По сравнению с проективными многообразиями было исключено условие, согласно которому идеал I является простым идеалом. Это приводит к гораздо более гибкому понятию: с одной стороны, топологическое пространство $X=\operatorname {Proj} R$ может иметь несколько неприводимых компонентов . могут существовать нильпотентные функции Более того, на X .

Закрытые подсхемы $\mathbb {P} _{k}^{n}$ биективно соответствуют однородным I идеалам $k[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ которые насыщены ; то есть, $I:(x_{0},\dots ,x_{n})=I.$ Этот факт можно рассматривать как усовершенствованную версию проективного Nullstellensatz .

Мы можем дать бескоординатный аналог вышеизложенного. А именно, для конечномерного векторного пространства V над k положим

$\mathbb {P} (V)=\operatorname {Proj} k[V]$

где $k[V]=\operatorname {Sym} (V^{*})$ является симметрической алгеброй $V^{*}$. Это проективизация V ​ ; т. е. он параметризует строки в V . Существует каноническое сюръективное отображение $\pi :V\setminus \{0\}\to \mathbb {P} (V)$, который определяется с помощью диаграммы, описанной выше. Вот одно из важных применений этой конструкции (см. § Двойственность и линейная система ). Дивизор D на проективном многообразии X соответствует линейному расслоению L . Затем один установил

$|D|=\mathbb {P} (\Gamma (X,L))$;

она называется полной линейной D системой .

Проективное пространство над любой схемой S можно определить как расслоенное произведение схем

$\mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}\times _{\operatorname {Spec} \mathbb {Z} }S.$

Если ${\mathcal {O}}(1)$ это извилистый пучок Серра на $\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$, мы позволяем ${\mathcal {O}}(1)$ обозначаем откат ​ ${\mathcal {O}}(1)$ к $\mathbb {P} _{S}^{n}$; то есть, ${\mathcal {O}}(1)=g^{*}({\mathcal {O}}(1))$ для канонической карты $g:\mathbb {P} _{S}^{n}\to \mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{n}.$

Схема X → S называется проективной над S , если она факторизуется как замкнутое погружение.

$X\to \mathbb {P} _{S}^{n}$

за которым следует проекция на S .

Линейный пучок (или обратимый пучок) ${\mathcal {L}}$ на схеме X над S называется очень обильным относительно S, если существует погружение (т. е. открытое погружение, за которым следует закрытое погружение)

$i:X\to \mathbb {P} _{S}^{n}$

для некоторого n, чтобы ${\mathcal {O}}(1)$ откат к ${\mathcal {L}}$. Тогда S -схема X проективна тогда и только тогда, когда она и существует очень обильный пучок на X относительно S. собственная Действительно, если X собственное, то погружение, соответствующее очень обильному линейному расслоению, обязательно замкнуто. И наоборот, если X проективно, то обратный образ ${\mathcal {O}}(1)$ при замкнутом погружении X в проективное пространство очень обильно. То, что «проективное» подразумевает «правильное», глубже: основная теорема теории исключения .

к

По определению многообразие является полным , если оно собственное над k . Ценностный критерий правильности выражает интуитивное представление о том, что в правильном сорте нет «недостающих» точек.

Между полными и проективными многообразиями существует тесная связь: с одной стороны, проективное пространство и, следовательно, любое проективное многообразие полно. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Однако:

• Гладкая кривая C проективна тогда и только тогда, когда она полная . Это доказывается отождествлением C с множеством колец дискретного нормирования функционального поля k ( C ) над k . Это множество имеет естественную топологию Зарисского, называемую пространством Зарисского–Римана .
• Лемма Чоу утверждает, что для любого полного многообразия существует проективное многообразие Z и бирациональный морфизм Z → X. X (Более того, посредством нормализации можно предположить, что это проективное многообразие нормально.)

Некоторые свойства проективного многообразия следуют из полноты. Например,

$\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=k$

для любого проективного многообразия X над k . Этот факт является алгебраическим аналогом теоремы Лиувилля (любая голоморфная функция на связном компактном комплексном многообразии постоянна). На самом деле, как объясняется ниже, сходство между комплексной аналитической геометрией и алгебраической геометрией комплексных проективных многообразий простирается гораздо дальше.

Квазипроективные многообразия по определению — это открытые подмногообразия проективных многообразий. К этому классу многообразий относятся аффинные многообразия . Аффинные многообразия почти никогда не бывают полными (или проективными). Фактически проективное подмногообразие аффинного многообразия должно иметь нулевую размерность. Это связано с тем, что только константы являются глобально регулярными функциями проективного многообразия.

Примеры и основные инварианты

По определению, любой однородный идеал в кольце полиномов дает проективную схему (для создания разнообразия требуется, чтобы он был простым идеалом). В этом смысле примеров проективных многообразий предостаточно. В следующем списке упоминаются различные классы проективных многообразий, которые примечательны тем, что изучаются особенно интенсивно. Важный класс комплексных проективных многообразий, т. е. случай $k=\mathbb {C}$, обсуждается ниже.

Произведение двух проективных пространств проективно. Фактически, существует явное погружение (называемое вложением Сегре )

${\begin{cases}\mathbb {P} ^{n}\times \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{(n+1)(m+1)-1}\\(x_{i},y_{j})\mapsto x_{i}y_{j}\end{cases}}$

Как следствие, произведение проективных многообразий над k снова проективно. демонстрирует Вложение Плюкера грассманиан как проективное многообразие. Разновидности флагов, такие как фактор общей линейной группы. $\mathrm {GL} _{n}(k)$ по модулю подгруппы верхнетреугольных матриц также проективны, что является важным фактом теории алгебраических групп .

координатное кольцо и

Основная статья: ряд Гильберта и полином Гильберта

Поскольку простой идеал P, определяющий проективное многообразие X , однороден, однородное координатное кольцо

$R=k[x_{0},\dots ,x_{n}]/P$

является градуированным кольцом , т. е. может быть выражено как прямая сумма его градуированных компонент:

$R=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }R_{n}.$

Существует многочлен P такой, что $\dim R_{n}=P(n)$ для всех достаточно больших n ; называется полиномом Гильберта X . он Это числовой инвариант, кодирующий некоторую внешнюю X. геометрию Степень P — это размерность r числа X и его старший коэффициент, умноженный на r! есть степень многообразия X . Арифметический род X равен ( −1) ^р ( P (0) − 1), когда X гладко.

Например, однородное координатное кольцо $\mathbb {P} ^{n}$ является $k[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ и его полином Гильберта равен $P(z)={\binom {z+n}{n}}$; его арифметический род равен нулю.

Если однородное координатное кольцо R является целозамкнутой областью , то проективное многообразие X называется проективно нормальным . Обратите внимание: в отличие от нормальности , проективная нормальность зависит от R , вложения X в проективное пространство. Нормализация проективного разнообразия проективна; на самом деле это Proj целочисленного замыкания некоторого однородного координатного кольца X .

Степень

Основные статьи: Степень алгебраического многообразия , ряд Гильберта и полином Гильберта.

Позволять $X\subset \mathbb {P} ^{N}$ быть проективным многообразием. Существует как минимум два эквивалентных способа определить степень X относительно его вложения. Первый способ — определить его как мощность конечного множества.

$\#(X\cap H_{1}\cap \cdots \cap H_{d})$

где d — размерность X , а H _i — гиперплоскости в «общих положениях». Это определение соответствует интуитивному представлению о степени. Действительно, если X — гиперповерхность, то степень X — это степень однородного полинома, X. определяющего «Общие положения» можно уточнить, например, с помощью теории пересечений ; требуется, чтобы пересечение было собственным и чтобы все кратности неприводимых компонент были едины.

Другое определение, упомянутое в предыдущем разделе, заключается в том, что степень X является старшим коэффициентом полинома Гильберта X раз (dim X )!. Геометрически это определение означает, что степень X — это кратность вершины аффинного конуса X. над

Позволять $V_{1},\dots ,V_{r}\subset \mathbb {P} ^{N}$ быть замкнутыми подсхемами чистых размерностей, правильно пересекающимися (они находятся в общем положении). Если m _i обозначает кратность неприводимой компоненты Z _i в пересечении (т. е. кратность пересечения ), то обобщение теоремы Безу гласит:

$\sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\prod _{1}^{r}\deg V_{i}.$

Кратность пересечения m _i можно определить как коэффициент при Z _i в произведении пересечений. $V_{1}\cdot \cdots \cdot V_{r}$ на Чоу ринге $\mathbb {P} ^{N}$.

В частности, если $H\subset \mathbb {P} ^{N}$ является гиперповерхностью, не содержащей X , то

$\sum _{1}^{s}m_{i}\deg Z_{i}=\deg(X)\deg(H)$

где Z _i — неприводимые компоненты теоретико -схемного пересечения X H и ) с кратностью (длиной локального кольца m _i .

Комплексное проективное многообразие можно рассматривать как компактное комплексное многообразие ; степень многообразия (относительно вложения) тогда является объемом многообразия как многообразия относительно метрики, унаследованной от объемлющего комплексного проективного пространства . Сложное проективное многообразие можно охарактеризовать как минимизатор объема (в определенном смысле).

Кольцо секций

Пусть X — проективное многообразие, а L — линейное расслоение на нем. Затем градуированное кольцо

$R(X,L)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes n})$

называется сечений L . кольцом Если L обильно , Proj этого кольца есть X. то Более того, если X нормально, а L очень обильно, то $R(X,L)$ – целое замыкание однородного координатного кольца X, определяемого L ; то есть, $X\hookrightarrow \mathbb {P} ^{N}$ так что ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{N}}(1)$ откатывается назад к L .

Для приложений полезно учитывать делители (или $\mathbb {Q}$-делители), а не только пучки строк; предполагая, что X нормально, полученное кольцо называется обобщенным кольцом сечений. Если $K_{X}$ является каноническим дивизором на X , то обобщенное кольцо сечений

$R(X,K_{X})$

называется кольцом X . каноническим каноническое кольцо конечно порождено, то Proj кольца называется канонической моделью X Если . Каноническое кольцо или модель затем можно использовать для определения Кодайре по размерности X .

Проективные кривые

Дополнительная информация: Алгебраическая кривая.

Проективные схемы размерности один называются проективными кривыми . Большая часть теории проективных кривых посвящена гладким проективным кривым, поскольку особенности кривых могут быть решены путем нормализации , которая заключается в локальном взятии интегрального замыкания кольца регулярных функций. Гладкие проективные кривые изоморфны тогда и только тогда, когда их функциональные поля изоморфны. Исследование конечных расширений

$\mathbb {F} _{p}(t),$

или, что то же самое, гладкие проективные кривые над $\mathbb {F} _{p}$ является важным разделом алгебраической теории чисел .

Гладкая проективная кривая рода один называется эллиптической кривой . Как следствие теоремы Римана–Роха , такую ​​кривую можно вложить как замкнутое подмногообразие в $\mathbb {P} ^{2}$. В общем, любая (гладкая) проективная кривая может быть вложена в $\mathbb {P} ^{3}$ (доказательство см. в разделе Секущие разновидности#Примеры ). И наоборот, любая гладкая замкнутая кривая в $\mathbb {P} ^{2}$ третьей степени имеет род один по формуле рода и, таким образом, является эллиптической кривой.

Гладкая полная кривая рода больше или равного двум называется гиперэллиптической кривой, если существует конечный морфизм $C\to \mathbb {P} ^{1}$ второй степени.

Проективные гиперповерхности

Каждое неприводимое замкнутое подмножество $\mathbb {P} ^{n}$ коразмерности один является гиперповерхностью ; т. е. нулевое множество некоторого однородного неприводимого многочлена.

Абелевы многообразия

Другим важным инвариантом проективного многообразия X является группа Пикара. $\operatorname {Pic} (X)$ множество X классов изоморфизма линейных расслоений на X. — Он изоморфен $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})$ и, следовательно, внутреннее понятие (независимое от вложения). Например, группа Пикара $\mathbb {P} ^{n}$ изоморфен $\mathbb {Z}$ через карту градусов. Ядро $\deg :\operatorname {Pic} (X)\to \mathbb {Z}$ существует многообразие, называемое якобианом многообразия X — это не только абстрактная абелева группа, но , Jac( X ), точки которого равны этой группе. Якобиан (гладкой) кривой играет важную роль в изучении кривой. Например, якобиан эллиптической кривой E является E. сам по себе Для кривой X рода g Jac( X ) имеет размерность g .

Разновидности, такие как якобианская разновидность, которые являются полными и имеют групповую структуру, известны как абелевы разновидности , в честь Нильса Абеля . В отличие от аффинных алгебраических групп, таких как $GL_{n}(k)$, такие группы всегда коммутативны, откуда и название. Более того, они допускают обильное линейное расслоение и, следовательно, проективны. С другой стороны, абелева схема может и не быть проективной. Примерами абелевых многообразий являются эллиптические кривые, многообразия Якоби и поверхности К3 .

Прогнозы

Позволять $E\subset \mathbb {P} ^{n}$ быть линейным подпространством; то есть, $E=\{s_{0}=s_{1}=\cdots =s_{r}=0\}$ для некоторых линейно независимых линейных функционалов s _i . Тогда проекция из E является (корректно определенным) морфизмом

${\begin{cases}\phi :\mathbb {P} ^{n}-E\to \mathbb {P} ^{r}\\x\mapsto [s_{0}(x):\cdots :s_{r}(x)]\end{cases}}$

Геометрическое описание этой карты следующее:

• Мы рассматриваем $\mathbb {P} ^{r}\subset \mathbb {P} ^{n}$ так что оно не пересекается с E . Тогда для любого $x\in \mathbb {P} ^{n}\setminus E$,
  $$\phi (x)=W_{x}\cap \mathbb {P} ^{r},$$
  где $W_{x}$ обозначает наименьшее линейное пространство, содержащее и x ( называемое соединением E E и x ).
• $\phi ^{-1}(\{y_{i}\neq 0\})=\{s_{i}\neq 0\},$ где $y_{i}$ — однородные координаты на $\mathbb {P} ^{r}.$
• Для любой закрытой подсхемы $Z\subset \mathbb {P} ^{n}$ не пересекается с E , ограничение $\phi :Z\to \mathbb {P} ^{r}$ является конечным морфизмом .

Проекции можно использовать для сокращения размерности, в которую вложено проективное многообразие, вплоть до конечных морфизмов . Начните с некоторого проективного разнообразия $X\subset \mathbb {P} ^{n}.$ Если $n>\dim X,$ проекция из точки, не лежащей на X, дает $\phi :X\to \mathbb {P} ^{n-1}.$ Более того, $\phi$ является конечным отображением своего образа. Таким образом, повторяя процедуру, мы видим, что существует конечное отображение

$X\to \mathbb {P} ^{d},\quad d=\dim X.$

Этот результат является проективным аналогом леммы о нормализации Нётер . (Фактически это дает геометрическое доказательство леммы о нормализации.)

Ту же процедуру можно использовать, чтобы показать следующий, несколько более точный результат: для проективного многообразия X над совершенным полем существует конечный бирациональный морфизм из X в гиперповерхность H в $\mathbb {P} ^{d+1}.$ В частности, если X нормально, то это нормализация H .

Двойственность и линейная система

В то время как проективное n -пространство $\mathbb {P} ^{n}$ параметризует прямые в аффинном n -пространстве, двойственный к нему параметризует гиперплоскости в проективном пространстве следующим образом. Зафиксируйте поле k . К ${\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}$, мы имеем в виду проективное n -пространство

${\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}=\operatorname {Proj} (k[u_{0},\dots ,u_{n}])$

оснащен конструкцией:

$f\mapsto H_{f}=\{\alpha _{0}x_{0}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}=0\}$, гиперплоскость на $\mathbb {P} _{L}^{n}$

где $f:\operatorname {Spec} L\to {\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}$ является L -точкой ​ ${\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}$ для расширения поля L поля k и $\alpha _{i}=f^{*}(u_{i})\in L.$

Для каждого L конструкция представляет собой биекцию между множеством L -точек ${\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}$ и множество гиперплоскостей на $\mathbb {P} _{L}^{n}$. Из-за этого двойственное проективное пространство ${\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}$ называется пространством модулей гиперплоскостей на $\mathbb {P} _{k}^{n}$.

Линия в ${\breve {\mathbb {P} }}_{k}^{n}$ называется карандашом : это семейство гиперплоскостей на $\mathbb {P} _{k}^{n}$ параметризованный $\mathbb {P} _{k}^{1}$.

Если V — конечномерное векторное пространство над k , то по той же причине, что и выше, $\mathbb {P} (V^{*})=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V))$ — пространство гиперплоскостей на $\mathbb {P} (V)$. Важный случай — когда V состоит из участков линейного расслоения. А именно, пусть X — алгебраическое многообразие, L — линейное расслоение на X и $V\subset \Gamma (X,L)$ векторное подпространство конечной положительной размерности. Дальше есть карта:

${\begin{cases}\varphi _{V}:X\setminus B\to \mathbb {P} (V^{*})\\x\mapsto H_{x}=\{s\in V|s(x)=0\}\end{cases}}$

определяется линейной системой V , где B , называемое базовым локусом , представляет собой пересечение делителей нуля ненулевых участков в V (см. Линейная система делителей #Отображение, определяемое линейной системой для построения отображения).

Когомологии

Основная статья: связный пучок

Пусть X — проективная схема над полем (или, в более общем смысле, над нётеровым кольцом A ). Когомологии когерентных пучков ${\mathcal {F}}$ на X удовлетворяет следующим важным теоремам Серра:

1. $H^{p}(X,{\mathcal {F}})$ является конечномерным k -векторным пространством для любого p .
2. Существует целое число $n_{0}$ (в зависимости от ${\mathcal {F}}$; см. также регулярность Кастельнуово–Мамфорда ) такая, что
   $$H^{p}(X,{\mathcal {F}}(n))=0$$
   для всех $n\geq n_{0}$ и p > 0, где ${\mathcal {F}}(n)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}(n)$ это скручивание с силой очень обширного жгута лесок ${\mathcal {O}}(1).$

Эти результаты доказаны сведением к случаю $X=\mathbb {P} ^{n}$ используя изоморфизм

$H^{p}(X,{\mathcal {F}})=H^{p}(\mathbb {P} ^{r},{\mathcal {F}}),p\geq 0$

где в правой части ${\mathcal {F}}$ рассматривается как пучок на проективном пространстве путем расширения нулем. Результат затем следует прямым вычислением для ${\mathcal {F}}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(n),$ n любое целое число и для произвольного ${\mathcal {F}}$ сводится к этому случаю без особого труда.

Как следствие пункта 1 выше, если f — проективный морфизм нётеровой схемы в нётерово кольцо, то высший прямой образ $R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}$ является последовательным. Тот же результат справедлив и для собственных морфизмов f , что можно показать с помощью леммы Чоу .

пучков когомологий Группы H ^я в нётеровом топологическом пространстве исчезают, если i строго больше размерности этого пространства. Таким образом, величина, называемая эйлеровой характеристикой ${\mathcal {F}}$,

$\chi ({\mathcal {F}})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\dim H^{i}(X,{\mathcal {F}})$

является четко определенным целым числом (для X проективного ). Затем можно показать $\chi ({\mathcal {F}}(n))=P(n)$ для некоторого многочлена P над рациональными числами. Применение этой процедуры к пучку структуры ${\mathcal {O}}_{X}$, восстанавливается полином Гильберта X . В частности, если X неприводим и имеет размерность r , арифметический род X определяется выражением

$(-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1),$

что явно является внутренним; т.е. независимо от вложения.

Арифметический род гиперповерхности степени d равен ${\binom {d-1}{n}}$ в $\mathbb {P} ^{n}$. В частности, гладкая кривая степени d в $\mathbb {P} ^{2}$ имеет арифметический род $(d-1)(d-2)/2$. Это формула рода .

Гладкие

Пусть X — гладкое проективное многообразие, все его неприводимые компоненты имеют размерность n . В этой ситуации канонический пучок ω _X , ​​определяемый как пучок кэлеровых дифференциалов высшей степени (т. е. алгебраических n -форм), является линейным расслоением.

Двойственность Серра

Двойственность Серра утверждает, что для любого локально свободного пучка ${\mathcal {F}}$ на Х ,

$H^{i}(X,{\mathcal {F}})\simeq H^{n-i}(X,{\mathcal {F}}^{\vee }\otimes \omega _{X})'$

где верхний индекс относится к двойственному пространству, а ${\mathcal {F}}^{\vee }$ представляет собой двойной пучок ${\mathcal {F}}$.Обобщение на проективные, но не обязательно гладкие схемы известно как двойственность Вердье .

–

Для (гладкой проективной) кривой X , H ² и выше исчезают по причине размерности, а пространство глобальных сечений структурного пучка одномерно. Таким образом, арифметический род X — это размерность $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$. , геометрический род X H — это размерность По определению ⁰ ( Икс , ω _Икс ). Таким образом, двойственность Серра означает, что арифметический род и геометрический род совпадают. родом X. Их будем называть просто

Двойственность Серра также является ключевым моментом в доказательстве теоремы Римана-Роха . Поскольку X гладко, существует изоморфизм групп

${\begin{cases}\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Pic} (X)\\D\mapsto {\mathcal {O}}(D)\end{cases}}$

от группы дивизоров (Вейля) по модулю главных дивизоров к группе классов изоморфизма линейных расслоений. Дивизор, соответствующий ω _X, называется каноническим дивизором и обозначается K . Пусть l ( D ) будет размерностью $H^{0}(X,{\mathcal {O}}(D))$. Тогда теорема Римана–Роха гласит: если g является родом X ,

$l(D)-l(K-D)=\deg D+1-g,$

для любого делителя D на X . Согласно двойственности Серра, это то же самое, что:

$\chi ({\mathcal {O}}(D))=\deg D+1-g,$

что можно легко доказать. Обобщением теоремы Римана-Роха на высшую размерность является теорема Хирцебруха-Римана-Роха , а также далеко идущая теорема Гротендика-Римана-Роха .

Схемы Гильберта

Схемы Гильберта параметризуют все замкнутые подмногообразия проективной схемы X в том смысле, что точки (в функториальном смысле) H соответствуют замкнутым подсхемам X . По сути, схема Гильберта является примером пространства модулей , т. е. геометрического объекта, точки которого параметризуют другие геометрические объекты. Точнее, схема Гильберта параметризует замкнутые подмногообразия, полином Гильберта которых равен предписанному многочлену P . Это глубокая теорема Гротендика о том, что существует схема $H_{X}^{P}$ над k такие, что для любой k -схемы T существует биекция

$\{{\text{morphisms }}T\to H_{X}^{P}\}\ \ \longleftrightarrow \ \ \{{\text{closed subschemes of }}X\times _{k}T{\text{ flat over }}T,{\text{ with Hilbert polynomial }}P.\}$

Закрытая подсхема $X\times H_{X}^{P}$ что соответствует карте идентичности $H_{X}^{P}\to H_{X}^{P}$ называется универсальной семьей .

Для $P(z)={\binom {z+r}{r}}$, схема Гильберта $H_{\mathbb {P} ^{n}}^{P}$ называется грассманианом -плоскостей r в $\mathbb {P} ^{n}$ и, если X — проективная схема, $H_{X}^{P}$ называется схемой Фано - плоскостей r на X .

Комплексные

См. Также: Сложное проективное пространство.

В этом разделе все алгебраические многообразия являются комплексными алгебраическими многообразиями. Ключевой особенностью теории комплексных проективных многообразий является сочетание алгебраических и аналитических методов. Переход между этими теориями обеспечивается следующим звеном: поскольку любой комплексный многочлен является также голоморфной функцией, любое комплексное многообразие X дает комплексное аналитическое пространство , обозначаемое $X(\mathbb {C} )$. Более того, геометрические свойства X отражаются свойствами $X(\mathbb {C} )$. Например, последнее является комплексным многообразием тогда и только тогда, когда X гладко; оно компактно тогда и только тогда, когда X собственное над $\mathbb {C}$.

с комплексными

Комплексное проективное пространство представляет собой кэлерово многообразие . Отсюда следует, что для любого проективного алгебраического X многообразия $X(\mathbb {C} )$ — компактное кэлерово многообразие. Обратное, вообще говоря, неверно, но теорема вложения Кодайры дает критерий проективности кэлерова многообразия.

В малых размерностях наблюдаются следующие результаты:

• (Риман) Компактная риманова поверхность (т. е. компактное комплексное многообразие размерности один) является проективным многообразием. По теореме Торелли он однозначно определяется своим якобианом.
• (Чоу-Кодайра) Компактное комплексное многообразие размерности два с двумя алгебраически независимыми мероморфными функциями является проективным многообразием.

ГАГА и теорема Чоу

Теорема Чоу открывает поразительный путь перехода от аналитической геометрии к алгебраической. Он утверждает, что каждое аналитическое подмногообразие комплексного проективного пространства является алгебраическим. Теорему можно интерпретировать так, что голоморфная функция, удовлетворяющая определенному условию роста, обязательно является алгебраической: «проективная» обеспечивает это условие роста. Из теоремы можно вывести следующее:

• Мероморфные функции на комплексном проективном пространстве рациональны.
• Если алгебраическое отображение алгебраических многообразий является аналитическим изоморфизмом , то оно является (алгебраическим) изоморфизмом. (Эта часть является основным фактом комплексного анализа.) В частности, из теоремы Чоу следует, что голоморфное отображение проективных многообразий является алгебраическим. (рассмотрим график такой карты.)
• Каждое голоморфное векторное расслоение на проективном многообразии индуцируется единственным алгебраическим векторным расслоением.
• Каждое голоморфное линейное расслоение на проективном многообразии является расслоением дивизора.

Теорему Чоу можно доказать с помощью принципа GAGA Серра . Его основная теорема гласит:

Пусть X — проективная схема над $\mathbb {C}$. Тогда функтор, сопоставляющий когерентные пучки на X когерентным пучкам на соответствующем комплексном аналитическом пространстве X ^а есть эквивалентность категорий. Кроме того, естественные карты

$H^{i}(X,{\mathcal {F}})\to H^{i}(X^{\text{an}},{\mathcal {F}})$

являются изоморфизмами для всех i и всех когерентных пучков ${\mathcal {F}}$ на Х. ​

Комплексные торы против

Комплексное многообразие, ассоциированное с абелевым многообразием A над $\mathbb {C}$ — компактная комплексная группа Ли . Можно показать, что они имеют вид

$\mathbb {C} ^{g}/L$

и также называются комплексными торами . Здесь g — размерность тора, а L — решетка (также называемая решеткой периодов ).

Согласно уже упомянутой выше теореме об униформизации , любой тор размерности 1 возникает из абелева многообразия размерности 1, т. е. из эллиптической кривой . Фактически эллиптическая функция Вейерштрасса $\wp$ присоединенный к L, удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению и, как следствие, определяет замкнутое погружение:

${\begin{cases}\mathbb {C} /L\to \mathbb {P} ^{2}\\L\mapsto (0:0:1)\\z\mapsto (1:\wp (z):\wp '(z))\end{cases}}$

Существует p -адический аналог — теорема о p-адической униформизации .

Для более высоких размерностей понятия комплексных абелевых многообразий и комплексных торов различаются: из абелевых многообразий происходят только поляризованные комплексные торы.

Кодайра исчезает

Фундаментальная теорема об исчезновении Кодайры утверждает, что для обильного линейного расслоения ${\mathcal {L}}$ на гладком проективном многообразии X над полем нулевой характеристики:

$H^{i}(X,{\mathcal {L}}\otimes \omega _{X})=0$

для i > 0 или, что то же самое, по двойственности Серра $H^{i}(X,{\mathcal {L}}^{-1})=0$ для я < п . Первое доказательство этой теоремы использовало аналитические методы кэлеровой геометрии, но позже было найдено чисто алгебраическое доказательство. Исчезновение Кодаиры вообще не соответствует гладкому проективному многообразию положительной характеристики. Теорема Кодайры - одна из различных теорем об исчезновении, которые дают критерии исчезновения когомологий высших пучков. Поскольку эйлерова характеристика пучка (см. выше) часто более управляема, чем отдельные группы когомологий, это часто имеет важные последствия для геометрии проективных многообразий.

Связанные понятия

• Мультипроективное разнообразие
• Взвешенное проективное многообразие — замкнутое подмногообразие взвешенного проективного пространства.

См. также

• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• Адекватное отношение эквивалентности
• Схема Гильберта
• Теорема Лефшеца о гиперплоскости
• Минимальная модельная программа

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (2000), Геометрия схем
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области . 3-я серия, том. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-62046-4 , МР   1644323
• Гриффитс, Филипп А.; Адамс, Джон Франк (8 марта 2015 г.). Темы алгебраической и аналитической геометрии. (MN-13), Том 13: Заметки из курса Филлипа Гриффитса . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-1-4008-6926-8 .
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Хайбрехтс, Дэниел (2005). Сложная геометрия: Введение . Спрингер. ISBN  978-3-540-21290-4 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: II. Элементарное глобальное изучение некоторых классов морфизмов» . Публикации IHÉS по математике . 8 . дои : 10.1007/bf02699291 . МР   0217084 .
• Коллар, Янош , Книга о модулях поверхностей
• Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые на алгебраических многообразиях
• Мамфорд, Дэвид (1970), Абелевы разновидности
• Мамфорд, Дэвид (1995), Алгебраическая геометрия I: сложные проективные многообразия
• Мамфорд, Дэвид (1999), Красная книга разновидностей и схем: включает Мичиганские лекции (1974) о кривых и их якобианах , Конспекты лекций по математике, том. 1358 (2-е изд.), Springer-Verlag , doi : 10.1007/b62130 , ISBN  978-3540632931
• Мамфорд, Дэвид; Ода, Тадао (2015). Алгебраическая геометрия II .
• Игорь Шафаревич (1995). Основная алгебраическая геометрия I: Многообразия в проективном пространстве (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-54812-8 .
• Вакиль Р. «Основы алгебраической геометрии».

Внешние ссылки

• Схема Гильберта Чарльза Сигела - сообщение в блоге
• Проективные многообразия Ch. 1