Теоретико-схемное пересечение

В алгебраической геометрии теоретико -схемное пересечение замкнутых подсхем X , Y схемы W есть $X\times _{W}Y$, расслоенное произведение замкнутых погружений $X\hookrightarrow W,Y\hookrightarrow W$. Это обозначается $X\cap Y$.

Локально W задается как $\operatorname {Spec} R$ для некоторого кольца R и X , Y как $\operatorname {Spec} (R/I),\operatorname {Spec} (R/J)$ для некоторых I , J. идеалов Таким образом, локально пересечение $X\cap Y$ дается как

$\operatorname {Spec} (R/(I+J)).$

Здесь мы использовали $R/I\otimes _{R}R/J\simeq R/(I+J)$ (это тождество см. в тензорном произведении модулей#Examples .)

Пример : Пусть $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ — проективное многообразие с однородным координатным кольцом S/I , где S — кольцо многочленов. Если $H=\{f=0\}\subset \mathbb {P} ^{n}$ — гиперповерхность, определяемая некоторым однородным полиномом f из S , то

$X\cap H=\operatorname {Proj} (S/(I,f)).$

Если f линейно (deg = 1), оно называется гиперплоским сечением . См. также: Теорема Бертини .

Теперь теоретико-схемное пересечение может быть неправильным пересечением , скажем, с точки зрения теории пересечений . Например, позволять $W=\operatorname {Spec} (k[x,y,z,w])$ = аффинное 4-пространство и замкнутые подсхемы X , Y, определяемые идеалами $(x,y)\cap (z,w)$ и $(x-z,y-w)$. Поскольку X представляет собой объединение двух плоскостей, каждая из которых пересекается с Y в начале координат с кратностью один, в силу линейности кратности пересечения мы ожидаем, что X и Y пересекаются в начале координат с кратностью два. С другой стороны, мы видим теоретико-схемное пересечение $X\cap Y$ состоит из начала координат кратности три. То есть теоретико-схемная кратность пересечения может отличаться от теоретико-схемной кратности пересечения, последняя задается формулой Тора Серра . Решение этого несоответствия является одной из отправных точек для производной алгебраической геометрии , целью которой является введение понятия производного пересечения .

Правильное пересечение

Пусть X — регулярная схема и V , W — замкнутые целочисленные подсхемы. Тогда неприводимая P компонента $V\cap W:=V\times _{X}W$ называется правильным, если выполнено неравенство (в силу Серра) :

$\operatorname {codim} (P,X)\leq \operatorname {codim} (V,X)+\operatorname {codim} (W,X)$

является равенством. Пересечение $V\cap W$ является правильным, если каждая его неприводимая компонента является правильной (в частности, пустое пересечение считается правильным). Два алгебраических цикла называются правильно пересекающимися, если многообразия в циклах правильно пересекаются.

Например, два дивизора (циклы коразмерности один) на гладком многообразии правильно пересекаются тогда и только тогда, когда у них нет общего неприводимого компонента. Лемма Чоу о движении (на гладком многообразии) говорит, что пересечение можно сделать правильным после замены дивизора подходящим линейно эквивалентным дивизором (ср. теорему Клеймана ).

Приведенное выше неравенство Серра может вообще не работать для нерегулярной объемлющей схемы. Например, позволять $X=\operatorname {Spec} k[x,y,z,w]/(xz-yw),\,V=V({\overline {x}},{\overline {y}}),\,W=V({\overline {z}},{\overline {w}})$. Затем $V,W$ имеют коразмерность один, а $V\cap W$ имеет коразмерность три.

Некоторые авторы, такие как Блох, определяют правильное пересечение, не предполагая, что X является регулярным: в приведенных выше обозначениях компонент P является собственным, если

$\operatorname {codim} (P,X)\geq \operatorname {codim} (V,X)+\operatorname {codim} (W,X).$

См. также

• полное пересечение
• Гомоморфизм Гайзина

Ссылки

• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области . 3-я серия, том. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-62046-4 , МР   1644323
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157