Алгебраический цикл

В математике алгебраический цикл на алгебраическом многообразии V формальную линейную подмногообразий V. представляет собой комбинацию Это часть алгебраической топологии V , доступная напрямую алгебраическими методами. Понимание алгебраических циклов многообразия может дать глубокое понимание структуры многообразия.

Самый тривиальный случай — циклы нулевой коразмерности, представляющие собой линейные комбинации неприводимых компонент многообразия. Первый нетривиальный случай — это подмногообразия коразмерности один, называемые дивизорами . Самые ранние работы по алгебраическим циклам были сосредоточены на случае дивизоров, особенно дивизоров на алгебраических кривых. Дивизоры на алгебраических кривых — это формальные линейные комбинации точек кривой. Классические работы по алгебраическим кривым связывали их с внутренними данными, такими как регулярные дифференциалы на компактной римановой поверхности , и с внешними свойствами, такими как вложение кривой в проективное пространство .

В то время как делители в многообразиях более высокой размерности продолжают играть важную роль в определении структуры многообразия, в многообразиях размерности два или более необходимо также учитывать циклы более высокой коразмерности. Поведение этих циклов разительно отличается от поведения дивизоров. Например, каждая кривая имеет константу N что каждый делитель нулевой степени линейно эквивалентен разности двух эффективных делителей степени не выше N. такую , Дэвид Мамфорд доказал, что на гладкой полной комплексной алгебраической поверхности S с положительным геометрическим родом аналогичное утверждение для группы $\operatorname {CH} ^{2}(S)$ классов рациональной эквивалентности циклов коразмерности два в S неверно. ^[1] Гипотеза о положительности геометрического рода по существу означает (по теореме Лефшеца о (1,1)-классах ), что группа когомологий $H^{2}(S)$ содержит трансцендентную информацию, и, по сути, теорема Мамфорда подразумевает, что, несмотря на $\operatorname {CH} ^{2}(S)$ имея чисто алгебраическое определение, он разделяет трансцендентную информацию с $H^{2}(S)$ . С тех пор теорема Мамфорда была значительно обобщена. ^[2]

Поведение алгебраических циклов входит в число наиболее важных открытых вопросов современной математики. Гипотеза Ходжа , одна из математики Клэя Института задач, удостоенных Премии тысячелетия , предсказывает, что топология комплексного алгебраического многообразия приводит к существованию определенных алгебраических циклов. Гипотеза Тейта делает аналогичное предсказание для этальных когомологий . Стандартные гипотезы Александра Гротендика об алгебраических циклах дают достаточно циклов, чтобы построить его категорию мотивов , и подразумевают, что алгебраические циклы играют жизненно важную роль в любой теории когомологий алгебраических многообразий. И наоборот, Александр Бейлинсон доказал, что существование категории мотивов подразумевает стандартные предположения. Кроме того, циклы связаны с алгебраической K -теорией формулой Блоха, которая выражает группы циклов по модулю рациональной эквивалентности как когомологии пучков K -теории.

Определение

Пусть X — схема конечного типа над полем k . Алгебраический — r -цикл на X это формальная линейная комбинация

\sum n_{i}[V_{i}]

- мерных r замкнутых целочисленных k -подсхем X . Коэффициент n _i представляет кратность Vi _собой . Множество всех r -циклов представляет собой свободную абелеву группу

Z_{r}X=\bigoplus _{V\subseteq X}\mathbf {Z} \cdot [V],

где сумма ведется по замкнутым целочисленным подсхемам V схемы X . Группы циклов при изменении r вместе образуют группу

Z_{*}X=\bigoplus _{r}Z_{r}X.

Это называется группой алгебраических циклов , а любой элемент называется алгебраическим циклом . Цикл эффективен или положителен , если все его коэффициенты неотрицательны.

Замкнутые целочисленные подсхемы X находятся во взаимно однозначном соответствии с теоретико-схемными точками X при отображении, которое в одном направлении переводит каждую подсхему в ее общую точку, а в другом направлении переводит каждую точку в уникальную точку. сокращенная подсхема поддерживается при закрытии точки. Следовательно $Z_{*}X$ также может быть описана как свободная абелева группа в точках X .

Цикл $\alpha$ рационально эквивалентен нулю , записанный $\alpha \sim 0$ , если существует конечное число $(r+1)$ -мерные подмногообразия $W_{i}$ из $X$ и ненулевые рациональные функции $r_{i}\in k(W_{i})^{\times }$ такой, что $\alpha =\sum [\operatorname {div} _{W_{i}}(r_{i})]$ , где $\operatorname {div} _{W_{i}}$ обозначает делитель рациональной функции Wi _на . Циклы, рационально эквивалентные нулю, являются подгруппой $Z_{r}(X)_{\text{rat}}\subseteq Z_{r}(X)$ , а группа r -циклов по модулю рациональной эквивалентности есть фактор

A_{r}(X)=Z_{r}(X)/Z_{r}(X)_{\text{rat}}.

Эту группу также обозначают $\operatorname {CH} _{r}(X)$ . Элементы группы

A_{*}(X)=\bigoplus _{r}A_{r}(X)

называются классами на X. циклов Классы циклов называются эффективными или позитивными , если они могут быть представлены эффективным циклом.

Если X гладкое, проективное и имеет чистую размерность N , вышеуказанные группы иногда когомологически переиндексируются как

Z^{N-r}X=Z_{r}X

и

A^{N-r}X=A_{r}X.

В этом случае, $A^{*}X$ называется кольцом Чоу X , потому что оно имеет операцию умножения, заданную произведением пересечения .

Существует несколько вариантов приведенного выше определения. Мы можем заменить целые числа другим кольцом в качестве кольца коэффициентов. Широко используется случай рациональных коэффициентов. Работа с семействами циклов по базе или использование циклов в арифметических ситуациях требует относительной настройки. Позволять $\phi \colon X\to S$ , где S — регулярная нётерова схема. - цикл r — это формальная сумма замкнутых целочисленных подсхем X, относительная размерность которых равна r ; здесь относительный размер $Y\subseteq X$ это степень трансцендентности $k(Y)$ над $k({\overline {\phi (Y)}})$ минус коразмерность ${\overline {\phi (Y)}}$ в С.

Рациональную эквивалентность можно также заменить несколькими другими, более грубыми отношениями эквивалентности на алгебраических циклах . Другие отношения эквивалентности, представляющие интерес, включают алгебраическую эквивалентность , гомологическую эквивалентность для фиксированной теории когомологий (например, сингулярных когомологий или этальных когомологий), числовую эквивалентность , а также все вышеперечисленное кручение по модулю. Эти отношения эквивалентности имеют (частично гипотетические) приложения к теории мотивов .

Плоский откат и правильный толчок вперед

Существует ковариантная и контравариантная функториальность группы алгебраических циклов. Пусть f : X → X' — отображение многообразий.

Если f плоское с некоторой постоянной относительной размерностью (т.е. все слои имеют одинаковую размерность), мы можем определить для любого подмногообразия Y' ⊂ X' :

f^{*}([Y'])=[f^{-1}(Y')]\,\!

который по предположению имеет ту же коразмерность, что и Y' .

И наоборот, если f является правильным , для Y, подмногообразия X, продвижение вперед определяется как

f_{*}([Y])=n[f(Y)]\,\!

где n — степень расширения функциональных полей [ k ( Y ): k ( f ( Y )), если ограничение f на Y конечно , и 0 в противном случае.

По линейности эти определения распространяются на гомоморфизмы абелевых групп

f^{*}\colon Z^{k}(X')\to Z^{k}(X)\quad {\text{and}}\quad f_{*}\colon Z_{k}(X)\to Z_{k}(X')\,\!

(последние в силу соглашения) являются гомоморфизмами абелевых групп. См. Кольцо Чоу для обсуждения функториальности, связанной со структурой кольца.

См. также

Ссылки

^ Мамфорд, Дэвид, Рациональная эквивалентность 0-циклов на поверхностях , J. Math. Киотский университет. 9 -2 (1969) 195–204.
^ Вуазен, Клэр, Кольца Чоу, разложение диагонали и топология семейств , Анналы математических исследований 187, февраль 2014 г., ISBN 9780691160504 .

Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области . Третья серия. Серия современных обзоров по математике, том. 2, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7 , МР 1644323
Гордон, Б. Брент; Льюис, Джеймс Д.; Мюллер-Штах, Стефан; Сайто, Сюдзи; Юи, Норико, ред. (2000), Арифметика и геометрия алгебраических циклов: материалы летней школы CRM, 7–19 июня 1998 г., Банф, Альберта, Канада , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-1954-8

[1] Мамфорд, Дэвид, Рациональная эквивалентность 0-циклов на поверхностях , J. Math. Киотский университет. 9 -2 (1969) 195–204.

[2] Вуазен, Клэр, Кольца Чоу, разложение диагонали и топология семейств , Анналы математических исследований 187, февраль 2014 г., ISBN 9780691160504 .

[1]

[2]