Гипотеза Ходжа

Топологические особенности пространства $X$, например отверстие (обозначенное $A$) обычно обнаруживаются с помощью сингулярных (ко)гомологий , где наличие ненулевого класса $[\alpha ]\in H_{\text{sing}}^{k}(X)$ указывает на пространство $X$ имеет (размер $k$) дыра. Такой класс представлен (ко)цепочкой симплексов , изображенной красным многоугольником , построенным из 1-симплексов (отрезков прямой) слева. Этот класс обнаруживает дыру $A$зацикливаясь вокруг него. В этом случае на самом деле существует полиномиальное уравнение , нулевое множество которого, изображенное зеленым справа, также обнаруживает дыру, обходя ее. Гипотеза Ходжа обобщает это утверждение на более высокие измерения.

В математике гипотеза Ходжа — основная нерешенная проблема алгебраической геометрии и комплексной геометрии которая связывает алгебраическую топологию неособого , комплексного алгебраического многообразия с его подмногообразиями.

Проще говоря, гипотеза Ходжа утверждает, что основную топологическую информацию, такую ​​как количество дыр в определенных геометрических пространствах , комплексных алгебраических многообразиях , можно понять, изучая возможные красивые формы, находящиеся внутри этих пространств, которые выглядят как нулевые наборы полиномиальных уравнений . Последние объекты можно изучать с помощью алгебры и исчисления аналитических функций , и это позволяет косвенно понять широкую форму и структуру часто многомерных пространств, которые иначе невозможно легко визуализировать.

Более конкретно, гипотеза утверждает, что некоторые классы когомологий де Рама являются алгебраическими; то есть они являются суммами двойственных Пуанкаре подмногообразий классов гомологии . Он был сформулирован шотландским математиком Уильямом Валлансом Дугласом Ходжем в результате работы между 1930 и 1940 годами по обогащению описания когомологий де Рама включением дополнительной структуры, которая присутствует в случае комплексных алгебраических многообразий. Ей уделялось мало внимания до того, как Ходж представил ее в своем выступлении на Международном конгрессе математиков 1950 года , проходившем в Кембридже, штат Массачусетс . Гипотеза Ходжа — одна из математики Клэя Института задач, удостоенных Премии тысячелетия , с призом в 1 000 000 долларов США тому, кто сможет доказать или опровергнуть гипотезу Ходжа.

Мотивация

Основная статья: Теория Ходжа § Теория Ходжа для комплексных проективных многообразий

Пусть X — компактное комплексное многообразие комплексной размерности n . Тогда X — ориентируемое гладкое многообразие вещественной размерности. $2n$, поэтому его группы когомологий лежат в степени от нуля до $2n$. Предположим, что X — кэлерово многообразие , так что существует разложение на его когомологиях с комплексными коэффициентами

$H^{n}(X,\mathbb {C} )=\bigoplus _{p+q=n}H^{p,q}(X),$

где $H^{p,q}(X)$ — подгруппа классов когомологий, которые представляются гармоническими формами типа $(p,q)$. То есть это классы когомологий, представленные дифференциальными формами , которые при некотором выборе локальных координат $z_{1},\ldots ,z_{n}$, можно записать как гармоническую функцию, умноженную на

$dz_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dz_{i_{p}}\wedge d{\bar {z}}_{j_{1}}\wedge \cdots \wedge d{\bar {z}}_{j_{q}}.$

Поскольку X — компактное ориентированное многообразие, X имеет фундаментальный класс , и поэтому X можно интегрировать.

Пусть Z — комплексное подмногообразие X размерности k и $i\colon Z\to X$быть картой включения . Выберите дифференциальную форму $\alpha$ типа $(p,q)$. Мы можем интегрировать $\alpha$ над Z с использованием отката функции $i^{*}$,

$\int _{Z}i^{*}\alpha .$

Чтобы вычислить этот интеграл, выберите точку Z и назовите ее $z=(z_{1},\ldots ,z_{k})$. Включение Z в X означает, что мы можем выбрать локальный базис на X и иметь $z_{k+1}=\cdots =z_{n}=0$( теорема о недействительности ранга ). Если $p>k$, затем $\alpha$ должно содержать некоторое $dz_{i}$ где $z_{i}$возвращается к нулю Z. на То же самое верно для $d{\bar {z}}_{j}$ если $q>k$. Следовательно, этот интеграл равен нулю, если $(p,q)\neq (k,k)$.

Гипотеза Ходжа тогда (в общих чертах) спрашивает:

Какие классы когомологий в $H^{k,k}(X)$ происходят из комплексных подмногообразий Z ?

Ходжа

Позволять

$\operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbb {Q} )\cap H^{k,k}(X).$

группой классов Ходжа степени 2k на X. Мы называем ее

Современная формулировка гипотезы Ходжа такова:

Гипотеза Ходжа. Пусть X — неособое комплексное проективное многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов когомологий комплексных подмногообразий X .

Проективное комплексное многообразие — это комплексное многообразие, которое можно вложить в комплексное проективное пространство . Поскольку проективное пространство несет в себе метрику Кэлера, метрику Фубини-Студи , такое многообразие всегда является многообразием Кэлера. По теореме Чоу проективное комплексное многообразие также является гладким проективным алгебраическим многообразием, то есть это нулевое множество набора однородных многочленов.

Переформулировка в терминах алгебраических циклов

Другой способ сформулировать гипотезу Ходжа включает идею алгебраического цикла. Алгебраический цикл на X — это формальная комбинация подмногообразий X ; то есть это что-то типа

$\sum _{i}c_{i}Z_{i}.$

Коэффициенты обычно принимают целыми или рациональными. Мы определяем класс когомологий алгебраического цикла как сумму классов когомологий его компонент. Это пример карты классов циклов когомологий де Рама, см. когомологии Вейля . Например, класс когомологий вышеуказанного цикла будет иметь вид

$\sum _{i}c_{i}[Z_{i}].$

Такой класс когомологий называется алгебраическим . В этих обозначениях гипотеза Ходжа становится

Пусть X — проективное комплексное многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X алгебраичен.

Предположение гипотезы Ходжа о том, что X алгебраично (проективное комплексное многообразие), нельзя ослабить. В 1977 году Стивен Цукер показал, что можно построить контрпример к гипотезе Ходжа в виде комплексных торов с аналитическими рациональными когомологиями типа $(p,p)$, который не является проективным алгебраическим. (см. приложение Б Цукера (1977) ).

Ходжа

размерность

Первый результат по гипотезе Ходжа принадлежит Лефшецу (1924) . Фактически, это предшествовало гипотезе и послужило некоторой мотивацией Ходжа.

Теорема ( теорема Лефшеца о (1,1)-классах ) Любой элемент $H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{1,1}(X)$ — класс когомологий дивизора на $X$. В частности, гипотеза Ходжа верна для $H^{2}$.

Очень быстрое доказательство можно дать, используя когомологии пучков и экспоненциальную точную последовательность . (Класс когомологий дивизора оказывается равным его первому классу Чженя .) Первоначальное доказательство Лефшеца основывалось на нормальных функциях , которые были введены Анри Пуанкаре . Однако теорема трансверсальности Гриффитса показывает, что этот подход не может доказать гипотезу Ходжа для более высоких коразмерных подмногообразий.

По теореме Харда Лефшеца можно доказать:

Теорема. Если для некоторых $p<{\frac {n}{2}}$ гипотеза Ходжа верна для классов Ходжа степени $p$, то гипотеза Ходжа верна для классов Ходжа степени $2n-p$.

Объединение двух приведенных выше теорем означает, что гипотеза Ходжа верна для классов Ходжа степени $2n-2$. Это доказывает гипотезу Ходжа, когда $X$ имеет размерность не более трёх.

Из теоремы Лефшеца о (1,1)-классах также следует, что если все классы Ходжа порождены классами Ходжа дивизоров, то гипотеза Ходжа верна:

Следствие. Если алгебра $\operatorname {Hdg} ^{*}(X)=\bigoplus \nolimits _{k}\operatorname {Hdg} ^{k}(X)$ генерируется $\operatorname {Hdg} ^{1}(X)$, то гипотеза Ходжа верна для $X$.

Гиперповерхности

По сильной и слабой теореме Лефшеца единственной нетривиальной частью гипотезы Ходжа для гиперповерхностей является часть степени m (т. е. средние когомологии) 2 m -мерной гиперповерхности . $X\subset \mathbf {P} ^{2m+1}$. Если степень d равна 2, т. е. X — квадрика , то гипотеза Ходжа верна для всех m . Для $m=2$, т. е. четырехкратно , гипотеза Ходжа известна $d\leq 5$.

Абелевы многообразия

Для большинства абелевых многообразий алгебра Hdg*( X ) порождается в степени один, поэтому гипотеза Ходжа верна. В частности, гипотеза Ходжа справедлива для достаточно общих абелевых многообразий, произведений эллиптических кривых и простых абелевых многообразий простой размерности. Однако Мамфорд (1969) построил пример абелева многообразия, где Hdg ² ( X ) не порождается произведениями классов делителей. Вейль (1977) обобщил этот пример, показав, что всякий раз, когда многообразие имеет комплексное умножение на мнимое квадратичное поле , тогда Hdg ² ( X ) не порождается произведениями классов делителей. Moonen & Zarhin (1999) доказали, что в размерности меньше 5 либо Hdg*( X ) генерируется в степени один, либо многообразие имеет комплексное умножение на мнимое квадратичное поле. В последнем случае гипотеза Ходжа известна только в особых случаях.

Обобщения

Интегральная

Первоначальная гипотеза Ходжа заключалась в следующем:

Интегральная гипотеза Ходжа. Пусть X — проективное комплексное многообразие. Тогда каждый класс когомологий в $H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)$ — класс когомологий алгебраического цикла с целыми коэффициентами X. на

Теперь известно, что это ложь. Первый контрпример был построен Атьей и Хирцебрухом (1961) . Используя K-теорию , они построили пример класса периодических когомологий, то есть класса когомологий α такого, что nα = 0 для некоторого положительного целого числа n , который не является классом алгебраического цикла. Такой класс обязательно является классом Ходжа. Тотаро (1997) переосмыслил свой результат в рамках кобордизма и нашел множество примеров таких классов.

Простейшая корректировка интегральной гипотезы Ходжа такова:

Интегральная гипотеза Ходжа по модулю кручения. Пусть X — проективное комплексное многообразие. Тогда каждый класс когомологий в $H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)$ есть сумма периодического класса и класса когомологий алгебраического цикла с целыми коэффициентами на X .

Эквивалентно, после деления $H^{2k}(X,\mathbb {Z} )\cap H^{k,k}(X)$классами кручения каждый класс является образом класса когомологий целочисленного алгебраического цикла. Это также неверно. Коллар (1992) нашел пример класса Ходжа α , который не является алгебраическим, но имеет целое кратное, которое является алгебраическим.

Розеншон и Сринивас (2016) показали, что для получения правильной интегральной гипотезы Ходжа необходимо заменить группы Чоу, которые также могут быть выражены как группы мотивных когомологий , вариантом, известным как этальные (или Лихтенбаума ) мотивационные когомологии . Они показывают, что рациональная гипотеза Ходжа эквивалентна интегральной гипотезе Ходжа для этих модифицированных мотивных когомологий.

Ходжа для

Естественным обобщением гипотезы Ходжа было бы спросить:

Гипотеза Ходжа для многообразий Кэлера, наивная версия. Пусть X — комплексное кэлерово многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов когомологий комплексных подмногообразий X .

Это слишком оптимистично, потому что для этого недостаточно подразновидностей. Возможная замена — задать вместо этого один из двух следующих вопросов:

Гипотеза Ходжа для многообразий Кэлера, версия векторного расслоения. Пусть X — комплексное кэлерово многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов Чженя векторных расслоений на X .

Гипотеза Ходжа для многообразий Кэлера, версия когерентного пучка. Пусть X — комплексное кэлерово многообразие. Тогда каждый класс Ходжа на X является линейной комбинацией с рациональными коэффициентами классов Чженя когерентных пучков на X .

Вуазен (2002) доказал, что классы Чженя когерентных пучков дают строго больше классов Ходжа, чем классы Чженя векторных расслоений, и что классов Чженя когерентных пучков недостаточно для генерации всех классов Ходжа. Следовательно, единственные известные формулировки гипотезы Ходжа для кэлеровых многообразий неверны.

Обобщенная

Ходж выдвинул дополнительную, более сильную гипотезу, чем интегральная гипотеза Ходжа. Скажем, что класс когомологий на X имеет коуровень c (кониво c), если он является продолжением класса когомологий на c -комерном подмногообразии X . Классы когомологий коуровня не ниже c фильтруют когомологии X , и легко видеть, что c -й шаг фильтрации N ^с ЧАС ^к ( X , Z ) удовлетворяет

$N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )\subseteq H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).$

Первоначальное заявление Ходжа было:

Обобщенная гипотеза Ходжа, версия Ходжа. $N^{c}H^{k}(X,\mathbf {Z} )=H^{k}(X,\mathbf {Z} )\cap (H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X)).$

Гротендик (1969) заметил, что это не может быть правдой даже с рациональными коэффициентами, потому что правая часть не всегда является структурой Ходжа. Его исправленная форма гипотезы Ходжа такова:

Обобщенная гипотеза Ходжа. Н ^с ЧАС ^к ( X , Q ) — наибольшая суб-структура Ходжа H ^к ( X , Z ) содержится в $H^{k-c,c}(X)\oplus \cdots \oplus H^{c,k-c}(X).$

Эта версия открыта.

Алгебраичность

Самым убедительным доказательством в пользу гипотезы Ходжа является результат алгебраичности Каттани, Делиня и Каплана (1995) . Предположим, что мы меняем комплексную структуру X по односвязной базе. Тогда топологические когомологии X не меняются, но меняется разложение Ходжа. Известно, что если гипотеза Ходжа верна, то геометрическое место всех точек базы, где когомологии слоя являются классом Ходжа, на самом деле является алгебраическим подмножеством, т. е. вырезается полиномиальными уравнениями. Каттани, Делин и Каплан (1995) доказали, что это всегда верно, не прибегая к гипотезе Ходжа.

См. также

• Гипотеза Тейта
• Теория Ходжа
• Структура Ходжа
• Сопоставление периодов

Ссылки

• Атья, Миссури ; Хирцебрух Ф. (1961), «Аналитические циклы на комплексных многообразиях», Топология , 1 : 25–45, doi : 10.1016/0040-9383(62)90094-0 Доступно из коллекции Хирцебруха (pdf).
• Каттани, Эдуардо ; Делинь, Пьер ; Каплан, Арольдо (1995), «О локусе классов Ходжа», Журнал Американского математического общества , 8 (2): 483–506, arXiv : alg-geom/9402009 , doi : 10.2307/2152824 , JSTOR   2152824 , MR   1273413 .
• Гротендик А. (1969), «Общая гипотеза Ходжа ошибочна по тривиальным причинам», Topology , 8 (3): 299–303, doi : 10.1016/0040-9383(69)90016-0 .
• Ходж, WVD (1950), «Топологические инварианты алгебраических многообразий», Труды Международного конгресса математиков , 1 , Кембридж, Массачусетс: 181–192 .
• Коллар, Янош (1992), «Примеры Тренто», в Баллико, Э.; Катанезе, Ф.; Силиберто, К. (ред.), Классификация неправильных разновидностей , Конспект лекций по математике, том. 1515, Спрингер, с. 134, ISBN  978-3-540-55295-6 .
• Лефшец, Соломон (1924), Анализ положения и алгебраическая геометрия , Сборник монографий, опубликованных под руководством М. Эмиля Бореля (на французском языке), Париж: Готье-Виллар, перепечатано в Лефшец, Соломон (1971), Избранные статьи , Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN  978-0-8284-0234-7 , МР   0299447 .
• Мунен, Бен Джей-Джей ; Зархин, Юрий Г. (1999), «Классы Ходжа абелевых многообразий низкой размерности», Mathematische Annalen , 315 (4): 711–733, arXiv : math/9901113 , doi : 10.1007/s002080050333 , MR   1731466 , S2CID   11918017 2 .
• Мамфорд, Дэвид (1969), «Примечание к статье Шимуры «Разрывные группы и абелевы многообразия» » , Mathematische Annalen , 181 (4): 345–351, doi : 10.1007/BF01350672 , S2CID   122062924 .
• Розеншон, Андреас; Сринивас, В. (2016), «Этальные мотивные когомологии и алгебраические циклы» (PDF) , Журнал Института математики Жюссье , 15 (3): 511–537, doi : 10.1017/S1474748014000401 , MR   3505657 , S2CID   55560040 , Збл   1346.19004
• Тотаро, Берт (1997), «Торсионно-алгебраические циклы и комплексные кобордизмы», Журнал Американского математического общества , 10 (2): 467–493, arXiv : alg-geom/9609016 , doi : 10.1090/S0894-0347-97- 00232-4 , JSTOR   2152859 , S2CID   16965164 .
• Voisin, Claire (2002), «Контрпример -образцо с гипотезой Hodge, продленной на разновидности Kähler», Международные уведомления по исследованиям математики , 2002 (20): 1057–1075, DOI : 10.1155/S1073792802111135 , MR   1902630 , S2CID   55572794 .
• Вейль, Андре (1977), «Абелевы многообразия и кольцо Ходжа», Сборник статей , том. III, стр. 421–429.
• Цукер, Стивен (1977), «Гипотеза Ходжа для кубических четырехмерных многообразий» , Compositio Mathematica , 34 (2): 199–209, MR   0453741

Внешние ссылки

• Делинь, Пьер . «Гипотеза Ходжа» (PDF) (официальное описание проблемы Института математики Клэя).
• о гипотезе Ходжа Популярная лекция Дэна Фрида (Техасский университет) (реальное видео) (слайды)
• Бисвас, Индранил ; Паранджапе, Капил Хари (2002), «Гипотеза Ходжа для общих многообразий Прима», Журнал алгебраической геометрии , 11 (1): 33–39, arXiv : math/0007192 , doi : 10.1090/S1056-3911-01-00303- 4 , Г-Н   1865912 , С2КИД   119139470
• Берт Тотаро , Почему стоит верить гипотезе Ходжа?
• Клэр Вуазен , Hodge loci