ВВД Ходж

Эта статья о математике. Чтобы узнать о других значениях, см. Ходж (значения) .

Сэр ВВД Ходж ФРС ФРСЭ
Рожденный	( 1903-06-17 ) 17 июня 1903 г. Эдинбург , Великобритания
Умер	7 июля 1975 г. ) ( 1975-07-07 ) ( 72 года Кембридж , Великобритания
Национальность	Британский
Образование	Колледж Джорджа Ватсона
Альма-матер	Эдинбургский университет Колледж Святого Иоанна, Кембридж
Известный	Гипотеза Ходжа Ходж двойной Пучок Ходжа Теория Ходжа
Награды	Премия Адамса (1936) Старшая премия Бервика (1952) Королевская медаль (1957) Медаль Моргана (1959) Медаль Копли (1974)
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Пембрук-Колледж, Кембридж
Научные консультанты	ET Уиттакер
Докторанты	Майкл Атья Ян Р. Портеус Дэвид Дж. Симмс

Дом Ходжа по адресу: 1 Church Hill Place, Эдинбург.

Сэр Уильям Валланс Дуглас Ходж, FRS FRSE ( / h ɒ dʒ / ; 17 июня 1903 — 7 июля 1975) — британский математик, в частности геометр .

Его открытие далеко идущих топологических связей между алгебраической геометрией и дифференциальной геометрией — область, которая сейчас называется теорией Ходжа и в более общем смысле относится к кэлеровым многообразиям — оказало большое влияние на последующие работы в области геометрии.

Жизнь и карьера

Ходж родился в Эдинбурге в 1903 году, он был младшим сыном и вторым из трех детей Арчибальда Джеймса Ходжа (1869–1938), искателя рекордов на рынке недвижимости и партнера фирмы «Дуглас и компания», и его жены Джейн. (род. 1875), дочь владельца кондитерского бизнеса Уильяма Валланса. Они жили по адресу Черч-Хилл-Плейс, 1 в районе Морнингсайд .

Он посещал колледж Джорджа Уотсона и учился в Эдинбургском университете , получив степень магистра в 1923 году. С помощью Э. Т. Уиттакера , чей сын Дж. М. Уиттакер был другом колледжа, он затем поступил в качестве аффилированного студента в колледж Святого Иоанна в Кембридже , чтобы учиться Математический Трипос . В Кембридже он попал под влияние геометра Х. Ф. Бейкера . Он получил степень бакалавра в Кембридже в 1925 году, степень магистра в 1930 году и степень доктора наук (ScD) в 1950 году.

В 1926 он занял должность преподавателя в Бристольском университете и начал работу над взаимодействием итальянской школы алгебраической геометрии , в частности задач, поставленных Франческо Севери , и топологическими методами Соломона Лефшеца . Это создало ему репутацию, но вызвало некоторый первоначальный скептицизм со стороны Лефшеца. Согласно мемуарам Атьи , Лефшец и Ходж в 1931 году встретились в комнатах Макса Ньюмана в Кембридже, чтобы попытаться решить проблемы. В конце концов Лефшец убедился. В 1928 году он был избран членом Королевского общества Эдинбурга . Его предложениями были сэр Эдмунд Тейлор Уиттакер , Ральф Аллан Сэмпсон , Чарльз Гловер Баркла и сэр Чарльз Гальтон Дарвин . Общества Он был награжден Юбилейной премией Ганнинга Виктории за период с 1964 по 1968 год.

В 1930 году Ходж получил исследовательскую стипендию в колледже Святого Иоанна в Кембридже. 1931–1932 годы он провел в Принстонском университете , где учился Лефшец, а также посетил Оскара Зариски в Университете Джонса Хопкинса . В это время он также усваивал теорему де Рама и определял операцию звезды Ходжа . Это позволило бы ему определить гармонические формы и таким образом усовершенствовать теорию де Рама.

По возвращении в Кембридж ему предложили должность преподавателя университета в 1933 году. Он стал профессором Лаундина астрономии и геометрии в Кембридже и занимал эту должность с 1936 по 1970 год. Он был первым главой DPMMS .

Он был магистром Пембрук-колледжа в Кембридже с 1958 по 1970 год и вице-президентом Королевского общества с 1959 по 1965 год. В 1959 году он был посвящен в рыцари. Среди других наград он получил премию Адамса в 1937 году и Копли медаль Королевское общество в 1974 году.

Он умер в Кембридже 7 ​​июля 1975 года.

Работа

Теорема Ходжа об индексе была результатом теории чисел пересечений кривых на алгебраической поверхности : она определяет сигнатуру соответствующей квадратичной формы . Этот результат искала итальянская школа алгебраической геометрии , но был доказан топологическими методами Лефшеца .

Теория и приложения гармонических интегралов подвел итог развитию Ходжем в 1930-е годы его общей теории. Это начинается с существования для любой кэлеровой метрики теории лапласианов – это применимо к алгебраическому многообразию V (предполагаемому комплексным , проективным и неособым ), поскольку само проективное пространство несет такую ​​метрику. В терминах когомологий де Рама класс когомологий степени k представляется k -формой α на V ( C ). Нет никакого уникального представителя; но, вводя идею гармонических форм (Ходж еще называл их «интегралами»), которые являются решениями уравнения Лапласа , можно получить уникальные α . Это имеет важное и непосредственное последствие: распад

ЧАС ^к ( В ( С ), С )

в подпространства

ЧАС ^{п , д}

по p голоморфных dz дифференциалов числу ^я заклинивается, образуя α (кокасательное пространство натянуто на dz ^я и их комплексные конъюгаты). Размерностями подпространств являются числа Ходжа .

Это разложение Ходжа стало фундаментальным инструментом. Мало того, что размеры h ^{п , д} уточнить числа Бетти , разбив их на части с идентифицируемым геометрическим смыслом; но само разложение, как меняющийся «флаг» в комплексном векторном пространстве, имеет значение в связи с проблемами модулей . В широком смысле теория Ходжа вносит вклад как в дискретную, так и в непрерывную классификацию алгебраических многообразий.

Дальнейшие разработки других привели, в частности, к идее смешанной структуры Ходжа на сингулярных многообразиях и к глубоким аналогиям с этальными когомологиями .

Гипотеза Ходжа

Гипотеза Ходжа о «средних» пространствах H ^{п , п} в общем-то, до сих пор не решена. Это одна из семи задач Премии тысячелетия, учрежденных Математическим институтом Клея .

Экспозиция

Ходж также написал Вместе с Дэниелом Педо трехтомный труд «Методы алгебраической геометрии» по классической алгебраической геометрии с большим конкретным содержанием, иллюстрируя тем не менее то, что Эли Картан назвал «развратом индексов» в обозначениях его компонентов. По словам Атьи , это было предназначено для обновления и замены « Х. Ф. Бейкера » Принципов геометрии .

Семья

В 1929 году он женился на Кэтлин Энн Кэмерон.

Публикации

• Ходж, WVD (1941), Теория и приложения гармонических интегралов , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-35881-1 , МР   0003947
• Ходж, ЗВД; Педо, Д. (1994) [1947], Методы алгебраической геометрии, Том I (Книга II) , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-46900-5
• Ходж, ЗВД; Педо, Дэниел (1994) [1952], Методы алгебраической геометрии: Том 2 Книга III: Общая теория алгебраических многообразий в проективном пространстве. Книга IV: Квадрикки и многообразия Грассмана. , Кембриджская математическая библиотека, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-46901-2 , МР   0048065
• Ходж, ЗВД; Педо, Дэниел (1994) [1954], Методы алгебраической геометрии: Том 3 , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-46775-9

См. также

• Список вещей, названных в честь WVD Ходжа