Теорема об индексе Ходжа

В математике теорема Ходжа об индексе для алгебраической поверхности V определяет сигнатуру спаривания пересечений на кривых C на V. алгебраических Грубо говоря, оно говорит, что пространство, натянутое такими кривыми (с точностью до линейной эквивалентности ), имеет одномерное подпространство, на котором оно положительно определено (не однозначно определено), и разлагается в прямую сумму некоторого такого одномерного подпространства. и дополнительное подпространство, на котором оно отрицательно определено .

В более формальном утверждении укажите, что V — неособая проективная поверхность , и пусть — класс дивизора на V гиперплоского сечения V H в данном проективном вложении . Тогда пересечение

$H\cdot H=d\$

где d — степень V ( в этом вложении). Пусть D — векторное пространство классов рациональных делителей на V с точностью до алгебраической эквивалентности . Размерность D конечна и обычно обозначается ρ( V ). Теорема Ходжа об индексе гласит, что подпространство, натянутое на H в D, имеет дополнительное подпространство, в котором спаривание пересечений отрицательно определено. Следовательно, подпись (часто также называемая индексом ) равна (1,ρ( V )-1).

Абелева группа классов дивизоров с точностью до алгебраической эквивалентности теперь называется группой Нерона-Севери ; известно, что это абелева группа с конечным числом порождений , и результат касается ее тензорного произведения с полем рациональных чисел. Следовательно, ρ( V может иметь нетривиальную периодическую подгруппу ) в равной степени является рангом группы Нерона-Севери (которая иногда ).

Этот результат был доказан в 1930-х годах У.В.Д. Ходжем для многообразий над комплексными числами после того, как некоторое время он был гипотезой итальянской школы алгебраической геометрии (в частности, Франческо Севери , который в этом случае показал, что ρ < ∞ ). Методы Ходжа были топологическими методами, предложенными Лефшецем . Результат справедлив для общих ( алгебраически замкнутых ) полей.

Ссылки

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90244-9 , MR   0463157 , OCLC   13348052 , см. гл. Т.1