Смешанная структура Ходжа

В алгебраической геометрии смешанная структура Ходжа — алгебраическая структура, содержащая информацию о когомологиях общих алгебраических многообразий . Это обобщение структуры Ходжа , которая используется для изучения гладких проективных многообразий .

В смешанной теории Ходжа, где разложение группы когомологий $H^{k}(X)$ могут иметь подпространства разного веса, т. е. как прямая сумма структур Ходжа

$H^{k}(X)=\bigoplus _{i}(H_{i},F_{i}^{\bullet })$

где каждая из структур Ходжа имеет вес $k_{i}$. Одним из первых намеков на то, что такие структуры должны существовать, является длинная точная последовательность $\dots \to H^{i-1}(Y)\to H_{c}^{i}(U)\to H^{i}(X)\to \dots$связанный с парой гладких проективных многообразий $Y\subset X$. Эта последовательность предполагает, что группы когомологий $H_{c}^{i}(U)$ (для $U=X-Y$) должны иметь разные веса, исходящие от обоих $H^{i-1}(Y)$ и $H^{i}(X)$.

Мотивация

Первоначально структуры Ходжа были введены как инструмент для отслеживания абстрактных разложений Ходжа на группах когомологий гладких проективных алгебраических многообразий . Эти структуры дали геометрам новые инструменты для изучения алгебраических кривых , такие как теорема Торелли , абелевы многообразия и когомологии гладких проективных многообразий. Одним из главных результатов вычисления структур Ходжа является явное разложение групп когомологий гладких гиперповерхностей с использованием связи между идеалом Якобиана и разложением Ходжа гладкой проективной гиперповерхности посредством теоремы Гриффита о вычетах . Для портирования этого языка для сглаживания непроективных многообразий и сингулярных многообразий требуется концепция смешанных структур Ходжа.

Определение

Смешанная структура Ходжа (MHS) — тройка $(H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet })$ такой, что

1. $H_{\mathbb {Z} }$ это $\mathbb {Z}$-модуль конечного типа
2. $W_{\bullet }$ является растущим $\mathbb {Z}$- фильтрация включена $H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes \mathbb {Q}$, $\cdots \subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}\subset \cdots$
3. $F^{\bullet }$ является уменьшающимся $\mathbb {N}$-фильтрация включена $H_{\mathbb {C} }$, $H_{\mathbb {C} }=F^{0}\supset F^{1}\supset F^{2}\supset \cdots$

где индуцированная фильтрация $F^{\bullet }$ на оцениваемых частях

${\text{Gr}}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {Q} }={\frac {W_{k}H_{\mathbb {Q} }}{W_{k-1}H_{\mathbb {Q} }}}$

являются чистыми структурами Ходжа веса $k$.

Замечание о фильтрации

Обратите внимание, что, подобно структурам Ходжа, смешанные структуры Ходжа используют фильтрацию вместо разложения в прямую сумму, поскольку группы когомологий с антиголоморфными членами, $H^{p,q}$ где $q>0$, не изменяются голоморфно. Но фильтрация может меняться голоморфно, что дает более определенную структуру.

Морфизмы

Морфизмы смешанных структур Ходжа определяются отображениями абелевых групп.

$f:(H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet })\to (H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet })$

такой, что

$f(W_{l})\subset W'_{l}$

и индуцированное отображение $\mathbb {C}$-векторные пространства обладают свойством

$f_{\mathbb {C} }(F^{p})\subset F'^{p}$

Дальнейшие определения и свойства

Числа Ходжа

Числа Ходжа МГС определяются как размерности

$h^{p,q}(H_{\mathbb {Z} })=\dim _{\mathbb {C} }{\text{Gr}}_{F^{\bullet }}^{p}{\text{Gr}}_{p+q}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {C} }$

с ${\text{Gr}}_{p+q}^{W_{\bullet }}H_{\mathbb {C} }$ это вес $(p+q)$ структура Ходжа и

${\text{Gr}}_{p}^{F^{\bullet }}={\frac {F^{p}}{F^{p+1}}}$

это $(p,q)$-компонент веса $(p+q)$ Структура Ходжа.

Гомологические свойства

Существует абелева категория. смешанных структур Ходжа, имеющих исчезающую ${\text{Ext}}$-группы, если когомологическая степень больше $1$: то есть при наличии смешанных структур Ходжа $(H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet }),(H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet })$ группы

$\operatorname {Ext} _{MHS}^{p}((H_{\mathbb {Z} },W_{\bullet },F^{\bullet }),(H_{\mathbb {Z} }',W_{\bullet }',F'^{\bullet }))=0$

для $p\geq 2$^{стр. 83} .

бифильтрованных

Многие смешанные структуры Ходжа могут быть построены из бифильтрованного комплекса. Сюда входят дополнения гладких многообразий, определенные дополнением многообразия нормального скрещивания. Дан комплекс пучков абелевых групп. $A^{\bullet }$ и фильтрация $W_{\bullet },F^{\bullet }$ комплекса, то есть

${\begin{aligned}d(W_{i}A^{\bullet })&\subset W_{i}A^{\bullet }\\d(F^{i}A^{\bullet })&\subset F^{i}A^{\bullet }\end{aligned}}$

существует индуцированная смешанная структура Ходжа гипергомологий На группах

$(\mathbb {H} ^{k}(X,A^{\bullet }),W_{\bullet },F^{\bullet })$

из бифильтрованного комплекса $(A^{\bullet },W_{\bullet },F^{\bullet })$. Такой бифильтрованный комплекс называется смешанным комплексом Ходжа.

Логарифмический комплекс

Учитывая гладкое разнообразие $U\subset X$ где $D=X-U$ является нормальным делителем пересечения (то есть все пересечения компонентов являются полными пересечениями ), существуют фильтрации на логарифмическом комплексе де Рама $\Omega _{X}^{\bullet }(\log D)$ данный

${\begin{aligned}W_{m}\Omega _{X}^{i}(\log D)&={\begin{cases}\Omega _{X}^{i}(\log D)&{\text{ if }}i\leq m\\\Omega _{X}^{i-m}\wedge \Omega _{X}^{m}(\log D)&{\text{ if }}0\leq m\leq i\\0&{\text{ if }}m<0\end{cases}}\\[6pt]F^{p}\Omega _{X}^{i}(\log D)&={\begin{cases}\Omega _{X}^{i}(\log D)&{\text{ if }}p\leq i\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}$

Оказывается, эти фильтрации определяют естественную смешанную структуру Ходжа на группе когомологий. $H^{n}(U,\mathbb {C} )$ из смешанного комплекса Ходжа, определенного на логарифмическом комплексе $\Omega _{X}^{\bullet }(\log D)$.

Гладкая компактификация

Приведенная выше конструкция логарифмического комплекса распространяется на любое гладкое многообразие; и смешанная структура Ходжа изоморфна при любой такой компактификации. Отметим гладкую компактификацию гладкого многообразия $U$ определяется как гладкое многообразие $X$ и вложение $U\hookrightarrow X$ такой, что $D=X-U$ является нормальным пересекающимся делителем. То есть, учитывая компактификации $U\subset X,X'$ с граничными делителями $D=X-U,{\text{ }}D'=X'-U$ существует изоморфизм смешанной структуры Ходжа

$(\mathbb {H} ^{k}(X,\Omega _{X}^{\bullet }(\log D)),W_{\bullet },F^{\bullet })\cong (\mathbb {H} ^{k}(X',\Omega _{X'}^{\bullet }(\log D')),W_{\bullet },F^{\bullet })$

показывая, что смешанная структура Ходжа инвариантна относительно гладкой компактификации.

Пример

Например, в роде $0$ плоская кривая $C$ логарифмические когомологии $C$ с нормальным пересекающимся делителем $\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$ с $k\geq 1$ можно легко вычислить так как условия комплекса $\Omega _{C}^{\bullet }(\log D)$ равный

${\mathcal {O}}_{C}\xrightarrow {d} \Omega _{C}^{1}(\log D)$

оба ацикличны. Тогда гиперкогомологии — это просто

$\Gamma ({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}})\xrightarrow {d} \Gamma (\Omega _{\mathbb {P} ^{1}}(\log D))$

первое векторное пространство — это просто постоянные сечения, следовательно, дифференциал — это нулевое отображение. Во-вторых, векторное пространство изоморфно векторному пространству, натянутому на

$\mathbb {C} \cdot {\frac {dx}{x-p_{1}}}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} {\frac {dx}{x-p_{k-1}}}$

Затем $\mathbb {H} ^{1}(\Omega _{C}^{1}(\log D))$ имеет вес $2$ смешанная структура Ходжа и $\mathbb {H} ^{0}(\Omega _{C}^{1}(\log D))$ имеет вес $0$ смешанная структура Ходжа.

Примеры

гладкого проективного многообразия

Учитывая гладкое проективное многообразие $X$ размера $n$ и закрытое подмногообразие $Y\subset X$ в когомологиях существует длинная точная последовательность ^стр.7-8

$\cdots \to H_{c}^{m}(U;\mathbb {Z} )\to H^{m}(X;\mathbb {Z} )\to H^{m}(Y;\mathbb {Z} )\to H_{c}^{m+1}(U;\mathbb {Z} )\to \cdots$

исходящий из выделенного треугольника

$\mathbf {R} j_{!}\mathbb {Z} _{U}\to \mathbb {Z} _{X}\to i_{*}\mathbb {Z} _{Y}\xrightarrow {[+1]}$

конструктивных пучков . Существует еще одна длинная точная последовательность

$\cdots \to H_{2n-m}^{BM}(Y;\mathbb {Z} )(-n)\to H^{m}(X;\mathbb {Z} )\to H^{m}(U;\mathbb {Z} )\to H_{2n-m-1}^{BM}(Y;\mathbb {Z} )(-n)\to \cdots$

из выделенного треугольника

$i_{*}i^{!}\mathbb {Z} _{X}\to \mathbb {Z} _{X}\to \mathbf {R} j_{*}\mathbb {Z} _{U}\xrightarrow {[+1]}$

в любое время $X$ гладкий. Обратите внимание на группы гомологии $H_{k}^{BM}(X)$ называются гомологиями Бореля–Мура , которые двойственны когомологиям общих пространств и $(n)$ означает тензорирование со структурой Тейта $\mathbb {Z} (1)^{\otimes n}$ добавить вес $-2n$ к весовой фильтрации. Гипотеза гладкости необходима, поскольку из двойственности Вердье следует $i^{!}D_{X}=D_{Y}$, и $D_{X}\cong \mathbb {Z} _{X}[2n]$ в любое время $X$ гладкий. Также дуализирующий комплекс для $X$ имеет вес $n$, следовательно $D_{X}\cong \mathbb {Z} _{X}[2n](n)$. Кроме того, отображения гомологии Бореля-Мура должны быть скручены с точностью до веса $(n)$ это порядок, чтобы у него была карта $H^{m}(X)$. Кроме того, существует идеальная пара дуальности.

$H_{2n-m}^{BM}(Y)\times H^{m}(Y)\to \mathbb {Z}$

дающий изоморфизм двух групп.

Алгебраический тор

Одномерный алгебраический тор $\mathbb {T}$ изоморфно многообразию $\mathbb {P} ^{1}-\{0,\infty \}$, следовательно, его группы когомологий изоморфны

${\begin{aligned}H^{0}(\mathbb {T} )\oplus H^{1}(\mathbb {T} )&\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \end{aligned}}$

Тогда длинная точная последовательность будет выглядеть так:

${\begin{matrix}&H_{2}^{BM}(Y)(-1)\to H^{0}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{0}(\mathbb {G} _{m})\to {\text{ }}\\&H_{1}^{BM}(Y)(-1)\to H^{1}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{1}(\mathbb {G} _{m})\to {\text{ }}\\&H_{0}^{BM}(Y)(-1)\to H^{2}(\mathbb {P} ^{1})\to H^{2}(\mathbb {G} _{m})\to 0\end{matrix}}$

С $H^{1}(\mathbb {P} ^{1})=0$ и $H^{2}(\mathbb {G} _{m})=0$ это дает точную последовательность

$0\to H^{1}(\mathbb {G} _{m})\to H_{0}^{BM}(Y)(-1)\to H^{2}(\mathbb {P} ^{1})\to 0$

поскольку для корректных отображений смешанных структур Ходжа имеет место подкручивание весов, существует изоморфизм

$H^{1}(\mathbb {G} _{m})\cong \mathbb {Z} (-1)$

рода

Учитывая поверхность К3 четвертой степени $X$и кривая рода 3 $i:C\hookrightarrow X$ определяется исчезающим местом общего сечения ${\mathcal {O}}_{X}(1)$, следовательно, он изоморфен в некоторой степени $4$ плоская кривая, имеющая род 3. Тогда последовательность Гайзина дает длинную точную последовательность

$\to H^{k-2}(C)\xrightarrow {\gamma _{k}} H^{k}(X)\xrightarrow {i^{*}} H^{k}(U)\xrightarrow {R} H^{k-1}(C)\to$

Но в результате карты $\gamma _{k}$ возьмем класс Ходжа типа $(p,q)$ к классу Ходжа типа $(p+1,q+1)$. Структуры Ходжа как для поверхности K3, так и для кривой хорошо известны и могут быть вычислены с использованием идеала Якобиана . В случае кривой имеются два нулевых отображения

$\gamma _{3}:H^{1,0}(C)\to H^{2,1}(X)=0$ $\gamma _{3}:H^{0,1}(C)\to H^{1,2}(X)=0$

следовательно $H^{2}(U)$ содержит вес одной штуки $H^{1,0}(C)\oplus H^{0,1}(C)$. Потому что $H^{2}(X)=H_{\text{prim}}^{2}(X)\oplus \mathbb {C} \cdot \mathbb {L}$ имеет размерность $22$, но класс Левшеца $\mathbb {L}$ убит картой

$\gamma _{2}:H^{0}(C)\to H^{2}(X)$

отправка $(0,0)$ класс в $H^{0}(C)$ к $(1,1)$ класс в $H^{2}(X)$. Тогда примитивная группа когомологий $H_{\text{prim}}^{2}(X)$ вес 2 шт. $H^{2}(U)$. Поэтому,

${\begin{aligned}{\text{Gr}}_{2}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=H_{\text{prim}}^{2}(X)\\{\text{Gr}}_{1}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=H^{1}(C)\\{\text{Gr}}_{k}^{W_{\bullet }}H^{2}(U)&=0&k\neq 1,2\end{aligned}}$

Индуцированные фильтрации на этих градуированных фрагментах представляют собой фильтры Ходжа, исходящие из каждой группы когомологий.

См. также

• Мотив (алгебраическая геометрия)
• Якобианский идеал
• Милнорское волокно
• Смешанный модуль Ходжа

Ссылки

• Филиппини, Сара Анджела; Руддат, Хельге; Томпсон, Алан (2015). «Введение в структуры Ходжа». Разновидности Калаби-Яу: арифметика, геометрия и физика . Монографии Филдсовского института. Том. 34. С. 83–130. arXiv : 1412.8499 . дои : 10.1007/978-1-4939-2830-9_4 . ISBN  978-1-4939-2829-3 . S2CID   119696589 .

Примеры

• Наивное руководство по смешанной теории Ходжа
• Введение в предельные смешанные структуры Ходжа
• Смешанная структура Ходжа Делиня для проективных многообразий только с нормальными пересекающимися особенностями

В зеркальной симметрии

• Локальная B-модель и смешанная структура Ходжа