Полное пересечение

В математике алгебраическое многообразие V в проективном пространстве является полным пересечением , если идеал V порождается ровно кодимными V элементами. То есть, если V имеет размерность m и лежит в проективном пространстве P ^н, должно существовать n − m однородных полиномов: ^[1]

F_{i}(X_{0},\cdots ,X_{n}),1\leq i\leq n-m,

в однородных координатах X _j , которые порождают все остальные однородные многочлены, обращающиеся в нуль на V .

Геометрически каждый F _i определяет гиперповерхность ; пересечение этих гиперповерхностей должно быть V . Пересечение n - m гиперповерхностей всегда будет иметь размерность не менее m , если предположить, что поле скаляров является алгебраически замкнутым полем, таким как комплексные числа . По сути, вопрос в том, можем ли мы уменьшить размерность до m без дополнительных точек на пересечении? Это условие достаточно сложно проверить, поскольку коразмерность n − m ≥ 2 . Когда n − m = 1 , то V автоматически является гиперповерхностью и доказывать нечего.

Примеры

Простыми примерами полных пересечений являются гиперповерхности, которые определяются точкой исчезновения одного многочлена. Например,

\mathbb {V} (x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5})={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {F} [x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5})}}\right){\xrightarrow {i}}\mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{4}

дает пример квинтической тройки. Может быть трудно найти явные примеры полных пересечений многообразий более высокой размерности, используя два или более явных примера (бестиарий), но существует явный пример трехмерного многообразия типа $(2,4)$ данный

\mathbb {V} (x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}x_{5},x_{4}^{4}+x_{5}^{4}-2x_{0}x_{1}x_{2}x_{3})

Непримеры

Витой куб

Один из методов построения локальных полных пересечений — взять проективное многообразие полных пересечений и встроить его в проективное пространство более высокой размерности. Классическим примером этого является витой кубик в $\mathbb {P} _{R}^{3}$ : это гладкое локальное полное пересечение, означающее, что на любой карте оно может быть выражено как исчезающее место двух полиномов, но в глобальном масштабе оно выражается как исчезающее место более чем двух полиномов. Мы можем построить его, используя очень обширный линейный пучок ${\mathcal {O}}(3)$ над $\mathbb {P} ^{1}$ предоставление вложения

\mathbb {P} _{R}^{1}\to \mathbb {P} _{R}^{3}

к

[s:t]\mapsto [s^{3}:s^{2}t:st^{2}:t^{3}]

Обратите внимание, что $\Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}$ . Если мы позволим $\mathbb {P} _{R}^{3}={\text{Proj}}(R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}])$ вложение дает следующие соотношения:

{\begin{aligned}f_{1}&=x_{0}x_{3}-x_{1}x_{2}\\f_{2}&=x_{1}^{2}-x_{0}x_{2}\\f_{3}&=x_{2}^{2}-x_{1}x_{3}\end{aligned}}

Следовательно, скрученная кубика — это проективная схема.

{\text{Proj}}\left({\frac {R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(f_{1},f_{2},f_{3})}}\right)

Союз сортов, отличающихся размерностью

Другой удобный способ построить неполное пересечение, которое никогда не может быть локальным полным пересечением, — это объединить два разных многообразия, размеры которых не совпадают. Например, объединение линии и плоскости, пересекающихся в точке, является классическим примером этого явления. Это дано по схеме

{\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)

Многостепенный

Полное пересечение имеет мультистепень , записанную как кортеж (точнее, мультимножество ) степеней, определяющих гиперповерхности. Например, взяв квадрики в P ³ опять же, (2,2) — это мультистепень полного пересечения двух из них, которая, когда они находятся в общем положении, представляет собой эллиптическую кривую . Числа Ходжа комплексных гладких полных пересечений были вычислены Кунихико Кодайрой .

Общее положение

Для более тонких вопросов необходимо более внимательно рассмотреть природу перекрестка. Может потребоваться, чтобы гиперповерхности удовлетворяли условию трансверсальности (например, их касательные пространства находились в общем положении в точках пересечения). Пересечение может быть теоретико-схемным , другими словами, здесь однородный идеал , порожденный F _i ( X ₀ , ..., X _n ), может потребоваться, чтобы быть определяющим идеалом V , а не просто иметь правильный радикал . В коммутативной алгебре условие полного пересечения переводится в члены регулярной последовательности , что позволяет определить локальное полное пересечение , или после некоторой локализации идеал имеет определяющие регулярные последовательности.

Топология

Гомология

Поскольку полные пересечения размерности $n$ в $\mathbb {CP} ^{n+m}$ являются пересечением гиперплоских сечений, мы можем использовать теорему Лефшеца о гиперплоскости, чтобы вывести, что

H^{j}(X)=\mathbb {Z}

для $j<n$ . Кроме того, можно проверить, что группы гомологий всегда без кручения, используя теорему об универсальных коэффициентах . Это означает, что средняя группа гомологий определяется эйлеровой характеристикой пространства.

Эйлерова характеристика

Хирцебрух дал производящую функцию, вычисляющую размерность всех полных пересечений многостепеней. $(a_{1},\ldots ,a_{r})$ . Он читает

\sum _{n=0}^{\infty }\chi (X_{n}(a_{1},\ldots ,a_{r}))z^{n}={\frac {a_{1}\cdots a_{r}}{(1-z)^{2}}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {1}{(1+(a_{i}-1)z)}}

Цитирование

^ Харрис 1992 , с. 136, Определение.

Ссылки

Харрис, Джо (1992). Алгебраическая геометрия, первый курс . Спрингер Наука . ISBN 978-0-387-97716-4 .
Хюбш, Тристан, Многообразия Калаби-Яу, Бестиарий для физиков , World Scientific, стр. 380, ISBN 978-981-02-0662-8
Лоойенга, EJN (1984), Изолированные особые точки на полных пересечениях , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 77, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, номер номера : 10.1017/CBO9780511662720 , ISBN. 0-521-28674-3 , МР 0747303
Мейер, Кристиан (2005), Модульные тройки Калаби-Яу , том. 22, Монографии Института Филдса, с. 194, ISBN 978-0-8218-3908-9
Эйлеровы характеристики полных пересечений (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 15 августа 2017 г.

Внешние ссылки

Полные пересечения в Атласе многообразия

[FOOTNOTEHarris1992136Definition-1] Харрис 1992 , с. 136, Определение.

[1]