Витой куб

В математике — скрученная кубика это гладкая рациональная кривая C степени три в проективном 3-пространстве P. ³. Это фундаментальный пример перекоса кривой . Он по существу уникален с точностью до проективного преобразования ( следовательно, скрученной кубики ). В алгебраической геометрии скрученная кубика является простым примером проективного многообразия , которое не является линейным или гиперповерхностью , фактически не является полным пересечением . Это трехмерный случай рациональной нормальной кривой и образ карты Веронезе третьей степени на проективной прямой .

Определение [ править ]

Скрученную кубику легче всего задать параметрически как образ отображения.

\nu :\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{3}

что ставит в соответствие однородную координату $[S:T]$ ценность

\nu :[S:T]\mapsto [S^{3}:S^{2}T:ST^{2}:T^{3}].

В одном координатном участке проективного пространства карта представляет собой просто кривую момента.

\nu :x\mapsto (x,x^{2},x^{3})

То есть это замыкание единственной точкой на бесконечности аффинной кривой $(x,x^{2},x^{3})$ .

Скрученная кубика — проективное многообразие , определяемое как пересечение трех квадрик . В однородных координатах $[X:Y:Z:W]$ на П ³скрученная кубика — это замкнутая подсхема, определяемая обращением в нуль трех однородных многочленов

F_{0}=XZ-Y^{2}

F_{1}=YW-Z^{2}

F_{2}=XW-YZ.

Можно проверить, что эти три квадратичные формы исчезают одинаково при использовании явной параметризации, приведенной выше; то есть заменить x ³ для X и так далее.

Более строго, однородный идеал скрученной кубики C порождается этими тремя однородными многочленами степени 2.

Свойства [ править ]

Скрученный кубик обладает следующими свойствами:

Это теоретико-множественное полное пересечение $XZ-Y^{2}$ и $Z(YW-Z^{2})-W(XW-YZ)$ , но не теоретико-схемное или теоретико-идеальное полное пересечение; имеется в виду, что идеал многообразия не может быть порожден только двумя полиномами; необходимо минимум 3. (Попытка использовать только два многочлена делает полученный идеал нерадикальным , поскольку $(YW-Z^{2})^{2}$ есть в нем, но $YW-Z^{2}$ нет).
Любые четыре точки на C охватывают P ³.
Учитывая шесть очков в P ³ поскольку нет четырех компланарных, через них проходит уникальный скрученный куб.
Объединение C касательных секущих и линий ( разновидность ) скрученной кубики P заполняет секущая ³ и линии попарно не пересекаются, за исключением точек самой кривой. Фактически объединение касательной и секущей любой неплоской гладкой алгебраической кривой является трехмерным. Кроме того, любое гладкое алгебраическое многообразие , обладающее тем свойством, что каждая подсхема длины четыре охватывает P ³ обладает тем свойством, что касательная и секущая линии попарно не пересекаются, за исключением точек самого многообразия.
Проекция C на плоскость из точки, касательной к C, дает возвратную кубику .
Проекция точки на секущую линию C дает узловую кубику.
Проекция точки на C дает коническое сечение .

Ссылки [ править ]

Харрис, Джо (1992), Алгебраическая геометрия, первый курс , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97716-3 .