Квадрика (алгебраическая геометрия)

Эта статья о квадриках в алгебраической геометрии . Для квадрик над действительными числами см. квадрику .

Два семейства прямых на гладкой (разбитой) квадратичной поверхности

В математике квадрика квадричная или гиперповерхность — это подпространство N -мерного пространства, определяемое полиномиальным уравнением степени 2 над полем . Квадрики являются фундаментальными примерами алгебраической геометрии . Теория упрощается за счет работы в проективном, а не в аффинном пространстве. Примером может служить квадрика

$xy=zw$

в проективном пространстве ${\mathbf {P} }^{3}$ над комплексными числами C . Квадрика имеет естественное действие ортогональной группы , и поэтому изучение квадрик можно рассматривать как потомка евклидовой геометрии .

Многие свойства квадрик в более общем смысле справедливы для проективных однородных многообразий . Другое обобщение квадрик дают многообразия Фано .

Свойство квадрикиПо определению, квадрика X размерности n над полем k является подпространством $\mathbf {P} ^{n+1}$ определяется соотношением q = 0, где q — ненулевой однородный многочлен степени 2 над k от переменных $x_{0},\ldots ,x_{n+1}$. (Однородный многочлен также называется формой , поэтому q можно назвать квадратичной формой .) Если q — произведение двух линейных форм, то X — объединение двух гиперплоскостей . Принято считать, что $n\geq 1$ и q неприводим , что исключает этот особый случай.

Здесь алгебраические многообразия над полем k рассматриваются как специальный класс схем над k . Когда k , алгебраически замкнуто о проективном многообразии можно думать и более элементарно, как о подмножестве ${\mathbf {P} }^{N}(k)=(k^{N+1}-0)/k^{*}$ определяется однородными полиномиальными уравнениями с коэффициентами из k .

Особая квадрика, конус над гладкой конической кривой.

Если q можно записать (после некоторой линейной замены координат) в виде многочлена от правильного подмножества переменных, то X - проективный конус над квадрикой меньшей размерности. Разумно обратить внимание на случай, когда X не является конусом. Для k характеристики , отличной от 2, X не является конусом тогда и только тогда, X гладко когда над k . Когда k имеет характеристику, отличную от 2, гладкость квадрики также эквивалентна матрице Гессе , q имеющей ненулевой определитель , или связанной с ней билинейной форме b ( x , y ) = q ( x + y ) – q ( x ) – q ( y ) невырожден . В общем, для k характеристики, отличной от 2, ранг квадрики означает ранг матрицы Гессе. Квадрика ранга r — это повторный конус над гладкой квадрикой размерности r − 2.

Фундаментальный результат состоит в том, что гладкая квадрика над полем k рациональна над X k тогда и только тогда, когда имеет k - рациональную точку . То есть, если существует решение уравнения q = 0 вида $(a_{0},\ldots ,a_{n+1})$ с $a_{0},\ldots ,a_{n+1}$ в k , а не все нули (следовательно, соответствующие точке в проективном пространстве), то существует взаимно однозначное соответствие, определяемое рациональными функциями над k между ${\mathbf {P} }^{n}$ минус подмножество меньшей размерности и X минус подмножество меньшей размерности. Например, если k бесконечно, из этого следует, что если X имеет одну k -рациональную точку, то его их бесконечно много. Эта эквивалентность доказывается стереографической проекцией . В частности, каждая квадрика над алгебраически замкнутым полем рациональна.

Квадрика над полем k называется изотропной , если она имеет k -рациональную точку. Примером анизотропной квадрики является квадрика

$x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}=0$

в проективном пространстве ${\mathbf {P} }^{n+1}$ над действительными числами R .

Линейные подпространства квадрик

Центральной частью геометрии квадрик является изучение содержащихся в них линейных пространств. (В контексте проективной геометрии линейное подпространство ${\mathbf {P} }^{N}$ изоморфен ${\mathbf {P} }^{a}$ для некоторых $a\leq N$.) Ключевым моментом является то, что каждое линейное пространство, содержащееся в гладкой квадрике, имеет размерность не более половины размерности квадрики. Более того, когда k алгебраически замкнуто, это оптимальная оценка, означающая, что каждая гладкая квадрика размерности n над k содержит линейное подпространство размерности $\lfloor n/2\rfloor$.

Над любым полем k гладкая квадрика размерности n называется расщепленной , если она содержит линейное пространство размерности $\lfloor n/2\rfloor$ более К. ​Таким образом, всякая гладкая квадрика над алгебраически замкнутым полем расщепляется. Если квадрика X над полем k расщеплена, то ее можно записать (после линейной замены координат) в виде

$x_{0}x_{1}+x_{2}x_{3}+\cdots +x_{2m-2}x_{2m-1}+x_{2m}^{2}=0$

если X имеет размерность 2 m − 1, или

$x_{0}x_{1}+x_{2}x_{3}+\cdots +x_{2m}x_{2m+1}=0$

если X имеет размерность 2 м . В частности, над алгебраически замкнутым полем существует только одна гладкая квадрика каждой размерности с точностью до изоморфизма.

Для многих приложений важно описать пространство Y всех линейных подпространств максимальной размерности в заданной гладкой квадрике X . (Для ясности предположим, что X разделен по k .) Удивительным явлением является то, что Y связен , если X имеет нечетную размерность, тогда как он имеет два компонента связности, если X имеет четную размерность. То есть существует два разных «типа» максимальных линейных пространств в X, когда X имеет четную размерность.Эти два семейства можно описать следующим образом: для гладкой квадрики X размерности 2 m зафиксируйте одну m -плоскость Q, содержащуюся в X . Тогда два типа m -плоскостей P , содержащихся в X, различаются тем, является ли размерность пересечения $P\cap Q$ четное или нечетное. (Размерность пустого множества здесь принята равной −1.)

Низкоразмерные квадрики

Пусть X — расщепляемая квадрика над полем k . (В частности, X может быть любой гладкой квадрикой над алгебраически замкнутым полем.) В малых размерностях X и содержащиеся в нем линейные пространства можно описать следующим образом.

• Квадрика в $\mathbf {P} ^{2}$ называется коникой . Расщепленная коника над k изоморфна проективной прямой $\mathbf {P} ^{1}$ над k , вложенный в $\mathbf {P} ^{2}$ по 2-му вложению Веронезе . (Например, эллипсы, параболы и гиперболы — это разные виды коник на аффинной плоскости над R , но все их замыкания на проективной плоскости изоморфны $\mathbf {P} ^{1}$ над Р. )

• Расщепляемая квадрика X изоморфна $\mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1}$, встроенный в $\mathbf {P} ^{3}$ по вложению Сегре . Пространство прямых квадрики X имеет две компоненты связности, каждая из которых изоморфна $\mathbf {P} ^{1}$.

• Расщепляемую квадрику 3-мерного многообразия X можно рассматривать как изотропный грассманиан симплектической группы Sp(4, k ). (Это связано с исключительным изоморфизмом линейных алгебраических групп между SO(5, k ) и $\operatorname {Sp} (4,k)/\{\pm 1\}$.) А именно, для 4-мерного векторного пространства V с симплектической формой квадрика 3-мерного многообразия X может быть отождествлена ​​с пространством LGr(2,4) 2-плоскостей в V , на котором форма сужается до нуля. Более того, пространство прямых в трехмерном многообразии квадрики X изоморфно $\mathbf {P} ^{3}$.

• Расщепляемую квадрику 4-мерного многообразия X можно рассматривать как грассманиан Gr(2,4), пространство 2-плоскостей в 4-мерном векторном пространстве (или, что то же самое, прямых в $\mathbf {P} ^{3}$). (Это связано с исключительным изоморфизмом линейных алгебраических групп между SO(6, k ) и $\operatorname {SL} (4,k)/\{\pm 1\}$.) Пространство 2-плоскостей в квадрике 4-мерного многообразия X имеет две компоненты связности, каждая из которых изоморфна $\mathbf {P} ^{3}$.

• Пространство 2-плоскостей в расщепленной 5-мерной квадрике изоморфно расщепленной 6-мерной квадрике. Аналогично обе компоненты пространства 3-плоскостей в расщепленной 6-мерной квадрике изоморфны расщепленной 6-мерной квадрике. (Это связано с явлением тройственности группы Spin(8).)

Как показывают эти примеры, пространство m -плоскостей в расщепленной квадрике размерности 2 m всегда имеет две компоненты связности, каждая из которых изоморфна изотропному грассманиану ( m - 1)-плоскостей в расщепленной квадрике размерности 2 m - 1. Любое отражение в ортогональной группе изоморфно отображает один компонент в другой.

Разложение Брюа

Гладкая квадрика над полем k — это проективное однородное многообразие для ортогональной группы (и специальной ортогональной группы ), рассматриваемое как линейные алгебраические группы над k . Как и любое проективное однородное многообразие расщепляемой редуктивной группы , расщепляемая квадрика X имеет алгебраическое клеточное разложение, известное как разложение Брюа . (В частности, это относится к каждой гладкой квадрике над алгебраически замкнутым полем.) То есть X можно записать как конечное объединение непересекающихся подмножеств, изоморфных аффинным пространствам над k различных размерностей. (Для проективных однородных многообразий клетки называются клетками Шуберта , а их замыкания — многообразиями Шуберта .) Клеточные многообразия занимают особое место среди всех алгебраических многообразий. Например, клеточное многообразие рационально , и (при k = C ) теория Ходжа гладкого проективного клеточного многообразия тривиальна в том смысле, что $h^{p,q}(X)=0$ для $p\neq q$. Для клеточного многообразия группа Чоу алгебраических циклов на X является свободной абелевой группой на множестве клеток, как и целые гомологии X ( если k = C ).

Расщепляемая квадрика X размерности n имеет только одну ячейку каждой размерности r , за исключением среднего измерения четномерной квадрики, где есть две клетки. Соответствующие замыкания ячеек (многообразия Шуберта):

• Для $0\leq r<n/2$, линейное пространство $\mathbf {P} ^{r}$ в X. содержится

• При r = n /2 оба многообразия Шуберта являются линейными пространствами. $\mathbf {P} ^{r}$ содержится в X , по одному из каждого из двух семейств линейных пространств средней размерности (как описано выше).

• Для $n/2<r\leq n$многообразие Шуберта размерности r — это пересечение X с линейным пространством размерности r + 1 в $\mathbf {P} ^{n+1}$; значит, это r -мерная квадрика. Это повторный конус над гладкой квадрикой размерности 2 r − n .

Используя разложение Брюа, легко вычислить кольцо Чоу расщепляемой квадрики размерности n над полем следующим образом. Когда базовым полем являются комплексные числа, это также кольцо целых когомологий гладкой квадрики с $CH^{j}$ изоморфно отображающий $H^{2j}$. (Когомологии в нечетных степенях равны нулю.)

• Для n = 2 м − 1 $CH^{*}(X)\cong \mathbb {Z} [h,l]/(h^{m}-2l,l^{2})$, где | ч | = 1 и | л | = м .

• Для n = 2 м , $CH^{*}(X)\cong \mathbb {Z} [h,l]/(h^{m+1}-2hl,l^{2}-ah^{m}l)$, где | ч | = 1 и | л | = m , а a равно 0 для нечетного m и 1 для четного m .

Здесь h — класс гиперплоского сечения, а l — класс максимального линейного подпространства X . (Для n = 2 m классом другого типа максимального линейного подпространства является $h^{m}-l$.) Этот расчет показывает важность линейных подпространств квадрики: кольцо Чжоу всех алгебраических циклов на X порождается «очевидным» элементом h (выведенным из класса $c_{1}O(1)$ гиперплоскости в ${\mathbf {P} }^{n+1}$) вместе с классом максимального линейного подпространства X .

Изотропные грассманианы и проективное чистое спинорное многообразие

Пространство r -плоскостей в гладкой n -мерной квадрике (как и сама квадрика) представляет собой проективное однородное многообразие, известное как изотропный грассманиан или ортогональный грассманиан OGr( r + 1, n + 2). (Нумерация относится к размерностям соответствующих векторных пространств. В случае среднемерных линейных подпространств квадрики четной размерности 2 m пишут $\operatorname {OGr} _{+}(m+1,2m+2)$ для одной из двух компонент связности.) В результате изотропные грассманианы расщепленной квадрики над полем также имеют алгебраические клеточные разложения.

Изотропный грассманиан W = OGr( m ,2 m + 1) ( m − 1)-плоскостей в гладкой квадрике размерности 2 m − 1 можно также рассматривать как многообразие проективных чистых спиноров или простое спинорное многообразие , размерности m ( m + 1)/2. (Другое описание чистого спинорного многообразия таково: $\operatorname {OGr} _{+}(m+1,2m+2)$. ) Поясним название: наименьшее SO(2 m + 1) -эквивариантное проективное вложение W земель в проективное пространство размерности $2^{m}-1$. Действие SO(2 m + 1) на это проективное пространство происходит не из линейного представления SO(2 m +1) над k , а скорее из представления его односвязного двойного накрытия, спиновой группы Spin(2 m + 1) над k . Это называется спиновым представлением Spin(2 m + 1) размерности $2^{m}$.

Над комплексными числами изотропный грассманиан OGr( r + 1, n + 2) r -плоскостей в n -мерной квадрике X является однородным пространством для комплексной алгебраической группы $G=\operatorname {SO} (n+2,\mathbf {C} )$, а также для ее максимальной компактной подгруппы компактной группы Ли SO( n + 2). С последней точки зрения этот изотропный грассманиан

$\operatorname {SO} (n+2)/(\operatorname {U} (r+1)\times \operatorname {SO} (n-2r)),$

где U( r +1) — унитарная группа . При r = 0 изотропный грассманиан представляет собой саму квадрику, которую поэтому можно рассматривать как

$\operatorname {SO} (n+2)/(\operatorname {U} (1)\times \operatorname {SO} (n)).$

Например, комплексное проективизированное чистое спинорное многообразие OGr( m , 2 m + 1) можно рассматривать как SO(2 m + 1)/U( m ), а также как SO(2 m +2)/U( m + 1). Эти описания можно использовать для вычисления кольца когомологий (или, что то же самое, кольца Чоу) спинорного многообразия:

$CH^{*}\operatorname {OGr} (m,2m+1)\cong \mathbb {Z} [e_{1},\ldots ,e_{m}]/(e_{j}^{2}-2e_{j-1}e_{j+1}+2e_{j-2}e_{j+2}-\cdots +(-1)^{j}e_{2j}=0{\text{ for all }}j),$

где классы Черна $c_{j}$ естественного векторного расслоения ранга m равны $2e_{j}$. Здесь $e_{j}$ понимается как 0 для j > m .

Спинорные расслоения на квадриках

Спинорные расслоения играют особую роль среди всех векторных расслоений на квадрике, аналогично максимальным линейным подпространствам среди всех подмногообразий квадрики. Для описания этих расслоений пусть X — расщепляемая квадрика размерности n над полем k . Специальная ортогональная группа SO( n +2) над k действует на X , а значит, действует и ее двойное накрытие, спиновая группа G = Spin( n +2) над k . В этих терминах X — однородное пространство G / P , где P — максимальная параболическая в G. подгруппа Полупростая n часть P — это спиновая группа Spin( n существует стандартный способ расширить спиновые представления Spin( ) до представлений P. ), и (Существуют два спиновых представления $V_{+},V_{-}$ для n = 2 м каждый размером $2^{m-1}$и одно спиновое представление V для n = 2 m − 1 размерности $2^{m-1}$.) Тогда спинорные расслоения на квадрике X = G / P определяются как G -эквивариантные векторные расслоения, ассоциированные с этими представлениями P . Итак, существует два спинорных расслоения $S_{+},S_{-}$ ранга $2^{m-1}$ для n = 2 m и одно спинорное расслоение S ранга $2^{m-1}$ для n = 2 m − 1. При четном n любое отражение в ортогональной группе переключает два спинорных расслоения на X .

Например, два спинорных расслоения на квадричной поверхности $X\cong \mathbf {P} ^{1}\times \mathbf {P} ^{1}$ — линейные расслоения O(−1,0) и O(0,−1). Спинорное расслоение на квадрике 3-мерного многообразия X — это естественное подрасслоение ранга 2 на X , рассматриваемое как изотропный грассманиан 2-плоскостей в 4-мерном симплектическом векторном пространстве.

Чтобы указать на значимость спинорных расслоений: Михаил Капранов показал, что ограниченная производная категория когерентных пучков на расщепленной квадрике X над полем k имеет полный исключительный набор , включающий спинорные расслоения, наряду с «очевидными» линейными расслоениями O ( j ) ограничено проективным пространством:

$D^{b}(X)=\langle S_{+},S_{-},O,O(1),\ldots ,O(n-1)\rangle$

если n четно, и

$D^{b}(X)=\langle S,O,O(1),\ldots ,O(n-1)\rangle$

если n нечетно. Конкретно, это подразумевает разделенный случай Ричарда Свона расчета . алгебраических группы Гротендика векторных расслоений на гладкой квадрике; это свободная абелева группа

$K_{0}(X)=\mathbb {Z} \{S_{+},S_{-},O,O(1),\ldots ,O(n-1)\}$

для n даже, и

$K_{0}(X)=\mathbb {Z} \{S,O,O(1),\ldots ,O(n-1)\}$

для n нечетно. Когда k = C , топологическая K-группа $K^{0}(X)$ (непрерывных комплексных векторных расслоений на квадрике X ) задается той же формулой, и $K^{1}(X)$ равен нулю.

Ссылки

• Элман, Ричард ; Карпенко Никита; Меркурьев, Александр (2008), Алгебраическая и геометрическая теория квадратичных форм , Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4329-1 , МР   2427530
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечения , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98549-7 , МР   1644323
• Харрис, Джо (1995), Алгебраическая геометрия: первый курс , Springer-Verlag, ISBN  0-387-97716-3 , МР   1416564
• Капранов, Михаил (1988), «О производных категориях когерентных пучков в некоторых однородных пространствах», Inventiones Mathematicae , 92 (3): 479–508, Bibcode : 1988InMat..92..479K , doi : 10.1007/BF01393744 , MR   0939472 , S2CID   119584668
• Мимура, Мамору; Тода, Хироси (1992), Топология групп Ли , Американское математическое общество, ISBN  978-0821813423 , МР   1122592
• Оттавиани, Джорджио (1988), «Спинорные расслоения на квадриках», Труды Американского математического общества , 307 : 301–316, doi : 10.1090/S0002-9947-1988-0936818-5 , MR   0936818
• Свон, Ричард (1985), «K-теория квадратичных гиперповерхностей», Annals of Mathematics , 122 (1): 113–153, doi : 10.2307/1971371 , JSTOR   1971371 , MR   0799254