Триальность

Автоморфизмы диаграммы Дынкина D ₄ приводят к тройственности в Spin(8).

В математике . тройственность — это отношение между тремя векторными пространствами , аналогичное отношению двойственности между векторными пространствами двойственными Чаще всего он описывает те особенности диаграммы Дынкина D ₄ и связанной с ней группы Ли Spin(8) , двойного накрытия 8-мерной группы вращений SO(8) , возникающей из-за того, что группа имеет внешний автоморфизм третьего порядка. Существует геометрическая версия тройственности, аналогичная двойственности в проективной геометрии .

Из всех простых групп Ли Spin(8) имеет наиболее симметричную диаграмму Дынкина D ₄ . Диаграмма имеет четыре узла, один из которых расположен в центре, а остальные три прикреплены симметрично. Группа симметрии диаграммы — это симметрическая группа S3 _, которая действует путем перестановки трех ветвей. Это приводит к появлению группы S ₃ внешних автоморфизмов Spin(8). Эта группа автоморфизмов переставляет местами три 8-мерных неприводимых представления Spin(8); это векторное представление и два представления кирального спина . Эти автоморфизмы не проектируются в автоморфизмы SO(8). Векторное представление — естественное действие SO(8) (следовательно, Spin(8)) на $F 8$ - состоит из действительных чисел евклидовых 8-векторов и обычно известен как «определяющий модуль», в то время как представления кирального спина также известны как «представления полуспиновых» , и все три из них являются фундаментальными представлениями .

Ни одна другая связная диаграмма Дынкина не имеет группы автоморфизмов порядка больше 2; для других D _n (соответствующих другим четным спиновым группам, Spin(2 n )) все еще существует автоморфизм, соответствующий переключению двух полуспиновых представлений, но они не изоморфны векторному представлению.

Грубо говоря, симметрии диаграммы Дынкина приводят к автоморфизмам здания Титса, связанным с группой. Для специальных линейных групп получается проективная двойственность. Для Spin(8) обнаруживается любопытное явление, включающее 1-, 2- и 4-мерные подпространства 8-мерного пространства, исторически известное как «геометрическая тройственность».

Исключительная 3-кратная симметрия диаграммы D ₄ также приводит к появлению группы Стейнберга. ³Д4 _.

Общая формулировка [ править ]

Двойственность между двумя векторными пространствами над полем $F$ — это невырожденная билинейная форма.

V_{1}\times V_{2}\to F,

т. е. для каждого ненулевого вектора $v$ в одном из двух векторных пространств спаривание с $v$ является ненулевым линейным функционалом в другом.

Аналогично, тройственность между тремя векторными пространствами над полем $F$ представляет собой невырожденную трилинейную форму.

V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to F,

т. е. каждый ненулевой вектор в одном из трех векторных пространств вызывает двойственность между двумя другими.

Выбирая векторы $e i$ в каждом $Vi,$ на которых трилинейная форма имеет значение 1, мы обнаруживаем, что все три векторных пространства изоморфны друг другу и своим двойственным пространствам. Обозначая это общее векторное пространство через $V$ , тройственность можно выразить как билинейное умножение

V\times V\to V

где каждый $e i$ соответствует единичному элементу в $V$ . Условие невырожденности теперь означает, что $V$ — композиционная алгебра . Отсюда следует, что $V$ имеет размерность 1, 2, 4 или 8. Если далее $F = R$ и форма, используемая для отождествления $V$ с двойственным ей, положительно определена , то $V$ является евклидовой алгеброй Гурвица и, следовательно, изоморфна R , C , Х или О.

И наоборот, композиционные алгебры немедленно порождают тройственность, беря каждый $V i$ равным алгебре и сокращая умножение со скалярным произведением алгебры, чтобы получить трилинейную форму.

Альтернативная конструкция тройственности использует спиноры размерностей 1, 2, 4 и 8. Восьмимерный случай соответствует свойству тройственности Spin(8).

См. также [ править ]

Тройное произведение может быть связано с 4-мерной тройственностью (на кватернионах )

Ссылки [ править ]

Джон Фрэнк Адамс (1981), Spin(8), Triality, F ₄ и все такое , в «Суперпространстве и супергравитации», под редакцией Стивена Хокинга и Мартина Рочека, Cambridge University Press, страницы 435–445.
Джон Фрэнк Адамс (1996), Лекции по исключительным группам лжи (Чикагские лекции по математике), под редакцией Зафера Махмуда и Маморы Мимуры, University of Chicago Press, ISBN 0-226-00527-5 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев, Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998). Книга инволюций . Публикации коллоквиума. Том. 44. С предисловием Дж. Титса. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0904-0 . Збл 0955.16001 .
Уилсон, Роберт (2009). Конечные простые группы . Тексты для аспирантов по математике . Том. 251. Шпрингер-Верлаг . ISBN 1-84800-987-9 . Збл 1203.20012 .

Внешние ссылки [ править ]

Спиноры и триальности автора Джон Баэз
Триальность с Zometool Дэвида Рихтера