Строительство (математика)

В математике здание римановых (также здание Титса , названное в честь Жака Титса ) — комбинаторная и геометрическая структура, которая одновременно обобщает некоторые аспекты многообразий флагов , конечных проективных плоскостей и симметрических пространств . Здания были первоначально представлены Жаком Титсом как средство понимания структуры изотропных редуктивных линейных алгебраических групп над произвольными полями. Более специализированная теория зданий Брюа-Титса (названная также в честь Франсуа Брюа ) играет роль в изучении p -адических групп Ли, аналогичную теории симметричных пространств в теории групп Ли .

Обзор

Дерево Брюа–Титса для 2-адической группы Ли SL(2, Q ₂ ) .

Понятие здания было введено Жаком Титсом как средство описания простых алгебраических групп над произвольным полем . как каждой такой группе G можно сопоставить комплекс = ∆( G ) с действием G Титс продемонстрировал , , называемым сферическим зданием G. симплициальный ∆ Группа G накладывает очень сильные условия комбинаторной регулярности на комплексы ∆ , которые могут возникать таким образом. Рассматривая эти условия как аксиомы класса симплициальных комплексов, Титс пришел к своему первому определению здания. Часть данных, определяющих здание Δ, представляет собой группу Кокстера W , которая определяет высокосимметричный симплициальный комплекс Σ = Σ( W , S ) , называемый комплексом Кокстера . Здание Δ склеено из множества копий Σ , называемых его квартирами , определенным регулярным образом. Когда W — конечная группа Кокстера, комплекс Кокстера представляет собой топологическую сферу, и говорят, что соответствующие здания имеют сферический тип . Когда W — аффинная группа Вейля , комплекс Кокстера является подразделением аффинной плоскости, и говорят о аффинные , или евклидовы , здания. Аффинное построение типа М ₁ — это то же самое, что бесконечное дерево без конечных вершин.

Хотя теория полупростых алгебраических групп послужила первоначальной мотивацией для понятия здания, не все здания возникают из группы. В частности, проективные плоскости и обобщенные четырехугольники образуют два класса графов, изучаемых в геометрии инцидентности , которые удовлетворяют аксиомам здания, но не могут быть связаны ни с какой группой. Это явление, оказывается, связано с низким рангом соответствующей системы Кокстера (а именно двумя). Титс доказал замечательную теорему: все сферические здания ранга не ниже третьего связаны в группу; при этом если с группой связано здание ранга не ниже второго, то группа по существу определяется зданием ( Титс, 1974 ).

Ивахори–Мацумото, Борель–Титс и Брюа–Титс продемонстрировали, что по аналогии с построением Титсом сферических зданий аффинные здания также могут быть построены из определенных групп, а именно, редуктивных алгебраических групп над локальным неархимедовым полем . Более того, если разделенный ранг группы равен хотя бы трем, он по существу определяется ее построением. Позже Титс переработал основополагающие аспекты теории зданий, используя понятие камерной системы , кодируя здание исключительно с точки зрения свойств смежности симплексов максимальной размерности; это приводит к упрощениям как в сферическом, так и в аффинном случае. Он доказал, что по аналогии со сферическим случаем каждое здание аффинного типа и ранга не ниже четвертого возникает из группы.

Определение

n называемых -мерное здание X представляет собой абстрактный симплициальный комплекс , представляющий собой объединение подкомплексов A, квартирами , таких, что

• каждый k -симплекс X находится внутри не менее трех n -симплексов, если k < n ;
• любой ( n – 1) -симплекс в квартире A лежит ровно в двух соседних n -симплексах A и граф соседних n -симплексов связен;
• любые два симплекса из X лежат в некоторой общей квартире A ;
• если два симплекса лежат в квартирах A и A ′ , то существует симплициальный изоморфизм A на A ′, фиксирующий вершины двух симплексов.

n - симплекс в A называется камерой (первоначально chambre , т.е. комната по- французски ).

Ранг 1 здания определяется как n + .

Элементарные свойства

Каждая квартира А в здании представляет собой комплекс Кокстера . Фактически, для каждых двух n -симплексов, пересекающихся в ( n – 1) -симплексе или панели , существует единственный период двух симплициальных автоморфизмов A , называемый отражением , переносящий один n -симплекс на другой и фиксирующий их общие точки. . Эти отражения порождают группу Кокстера W , называемую Вейля A A а симплициальный комплекс группой соответствует стандартной геометрической реализации W. , Стандартные генераторы группы Кокстера задаются отражениями в стенках неподвижной камеры в A . Поскольку квартира A определяется с точностью до изоморфизма зданием, то же самое справедливо и для любых двух симплексов из X, в некоторой общей квартире A. лежащих Когда W конечно, здание называется сферическим . Когда это аффинная группа Вейля , здание называется аффинным или евклидовым .

Камерная система представляет собой граф смежности, образованный камерами; каждая пара соседних камер может дополнительно маркироваться одним из стандартныхгенераторы группы Кокстера (см. Титс, 1981 ).

Каждое здание имеет каноническую метрику длины, унаследованную от геометрической реализации, полученной путем отождествления вершин с ортонормированным базисом гильбертова пространства . Для аффинных зданий эта метрика удовлетворяет CAT(0) неравенству сравнения Александрова Брюа-Титса , известному в этом контексте как условие неположительной кривизны для геодезических треугольников: расстояние от вершины до середины противоположной стороны не больше больше, чем расстояние в соответствующем евклидовом треугольнике с одинаковыми длинами сторон (см. Брюа и Титс 1972 ).

Соединение ( B , N ) парами

Если группа G действует симплициально на здании X , транзитивно на парах ( C , A ) камер C и содержащих их квартир A , то стабилизаторы такой пары определяют ( B , N ) пару или систему Титса . Действительно, пара подгрупп

B = GC _​ и N = GA _​

удовлетворяет аксиомам пары ( B , N ) группу Вейля можно отождествить с N / N ∩ B. , и

И наоборот, здание можно восстановить из пары ( B , N ) , так что каждая пара ( B , N ) канонически определяет здание. Фактически, используя терминологию пар ( B , N ) и называя любую сопряженную к B подгруппу Бореля , а любую группу, содержащую подгруппу Бореля, - параболической подгруппой,

• вершины здания X соответствуют максимальным параболическим подгруппам;
• k + 1 вершина образует k -симплекс, если пересечение соответствующих максимальных параболических подгрупп также параболично;
• квартиры являются сопряженными относительно G симплициального подкомплекса с вершинами, заданными сопряженными относительно N максимальными параболиками, содержащими B .

Одно и то же здание часто можно описать разными парами ( B , N ) . Более того, не каждое здание происходит из пары ( B , N ) : это соответствует провалу результатов классификации в низком ранге и размерности (см. ниже).

Сферические и аффинные здания для SL _n

Симплициальную структуру аффинных и сферических зданий, связанных с SL _n ( Q _p ) , а также их взаимосвязи легко объяснить напрямую, используя лишь понятия из элементарной алгебры и геометрии (см. Garrett 1997 ). В данном случае есть три разных здания: два сферических и одно аффинное. Каждый из них представляет собой объединение квартир , которые сами по себе являются симплициальными комплексами. Для аффинного здания квартира представляет собой симплициальный комплекс, мозаичный евклидово пространство E ^{п -1} ( − n 1) -мерными симплексами; а для сферического здания — это конечный симплициальный комплекс, образованный всеми ( n − 1)! симплексы с заданной общей вершиной в аналогичном мозаике в E ^{п -2} .

Каждое здание представляет собой симплициальный комплекс X , который должен удовлетворять следующим аксиомам:

• X – объединение квартир.
• Любые два симплекса из X содержатся в одной квартире.
• Если симплекс содержится в двух квартирах, то существует симплициальный изоморфизм одной на другую, фиксирующий все общие точки.

Сферическое здание

Пусть F — , поле а X — симплициальный комплекс с вершинами — нетривиальными векторными подпространствами V = F. ^н . Два подпространства U ₁ и U ₂ связны, если одно из них является подмножеством другого. k -симплексы X + образованы наборами из k 1 взаимно связанных подпространств. Максимальная связность достигается взятием n - 1 собственных нетривиальных подпространств и соответствующий ( n - 1) -симплекс соответствует полному флагу

(0) ⊂ U ₁ ⊂ ··· ⊂ U _{n – 1} ⊂ V

Симплексы меньшей размерности соответствуют частичным флагам с меньшим количеством промежуточных подпространств U _i .

Чтобы определить квартиры в X , удобно определить фрейм в V базис ( vi _{) ,} определенный с точностью до скалярного умножения каждого из его векторов vi _как ; другими словами, фрейм — это набор одномерных подпространств L _i = F · v _i таких, что любое k из них порождает k -мерное подпространство. Теперь упорядоченный кадр L ₁ , ..., L _n определяет полный флаг через

U _я знак равно L ₁ ⊕ ··· ⊕ L _я

Поскольку переупорядочение различных Li _{образуют} также дает фрейм, нетрудно видеть, что подпространства, полученные как суммы Li _, симплициальный комплекс типа, необходимого для квартиры сферического здания. Аксиомы здания можно легко проверить, используя классический аргумент уточнения Шрайера, используемый для доказательства единственности разложения Йордана – Гёльдера .

Аффинное здание

Пусть K — поле, лежащее между Q и его p -адическим пополнением Q _p относительно обычной неархимедовой p -адической нормы ‖ x ‖ _p на Q для некоторого простого числа p . Пусть R — подкольцо кольца K , определенное формулой

р знак равно { Икс : ‖ Икс ‖ _р ≤ 1 }

Когда K = Q , R — локализация Z K точке p , а когда Qp , R _p = Zp , — _Z целые - адические числа , т.е. замыкание = в Qp _. в

Вершинами здания X являются R -решетки в V = K ^н , т.е. R - подмодули вида

L знак равно р · v ₁ ⊕ ··· ⊕ R · v _n

где ( vi _​ ) базис V над K. — Две решетки называются эквивалентными, если одна из них скалярно кратна другой на элемент мультипликативной группы K * группы K только целые степени числа p (на самом деле необходимо использовать решетки L1 _: и L2 _если называются смежными, это некоторая _L2 L1 и ее подрешеткой p · L1 лежит . _{). Две} решетка , эквивалентная отношение _между симметрично k - -симплексы X являются классами эквивалентности k + 1 взаимно смежных решеток. ( n 1) -симплексы после перемаркировки соответствуют цепям

p · L _n ⊂ L ₁ ⊂ L ₂ ⊂ ··· ⊂ L _{n – 1} ⊂ L _n

где каждое последующее частное имеет порядок p . Квартиры определяются путем фиксации базиса vi ) _V и ( базисом взятия всех решеток с ( p ^{а _с} v _i ) где ( a _i ) лежит в Z ^н и определяется однозначно с точностью до добавления одного и того же целого числа к каждой записи.

а их объединение представляет собой целое X. По определению каждая квартира имеет требуемую форму , Вторая аксиома следует из варианта аргумента уточнения Шрайера. Последняя аксиома вытекает из простого подсчета, основанного на порядках конечных абелевых групп вида

Л + п ^к · Л _и / п ^к · _Я

Стандартный аргумент компактности показывает, что фактически не зависит от выбора K. X В частности, если взять K = Q , то X счетно. С другой стороны, если взять = Qp , _K определение показывает, что допускает _{естественное} симплициальное действие _на GL n (Qp) здание.

снабжено маркировкой своих вершин значениями в Z / n Z. Здание Действительно, если зафиксировать опорную решетку L , метка M будет равна

метка ( M ) = журнал _р | М / п ^к Л | форма №

для k достаточно большого . Вершины любого ( n – 1) -симплекса в X проходящие через все Z / n Z. имеют разные метки , Любой симплициальный автоморфизм φ X Z определяет перестановку π Z ( / n label такую, что label( φ ( M )) = π ( M )) . В частности, для g в GL _n ( Q _p ) ,

метка( г · M ) = метка( M ) + журнал _п ‖ det г ‖ _{п по} модулю n .

Таким образом, g сохраняет метки, если g лежит в SL _n ( Q _p ) .

Автоморфизмы

Титс доказал, что любой сохраняющий метку автоморфизм аффинного построения возникает из элемента SL _n ( Q _p ) . Поскольку автоморфизмы здания переставляют метки, существует естественный гомоморфизм

Аут X → S _n .

Действие GL _n ( Q _p ) порождает n -цикл   τ . Остальные автоморфизмы здания возникают из внешних автоморфизмов SL n ₍ Q p ₎ , связанных с автоморфизмами диаграммы Дынкина . Принимая стандартную симметричную билинейную форму с ортонормированным базисом vi _, отображение, переводящее решетку в двойственную решетку, дает автоморфизм, квадрат которого равен единице, давая перестановку σ , которая переводит каждую метку в ее отрицательный модуль n . Образ указанного выше гомоморфизма порождается σ и τ и изоморфен группе диэдра D _n порядка 2 n ; когда n = 3 , это дает все S ₃ .

Если E — конечное расширение Галуа Q p _и здание построено из SL _n ( E ) вместо SL _n ( Q _p ) , группа Галуа Gal ( E / Q _p ) также будет действовать автоморфизмами на здании.

Геометрические отношения

Сферические здания возникают двумя совершенно разными способами в связи с аффинным зданием X для SL _n ( Q _p ) :

• Ссылка p каждой вершины L аффинном построении соответствует подмодулю L / p · L относительно конечного поля F = R / в · R = Z /( p ) . Это просто сферическое здание для SL _n ( F ) .
• Здание X можно компактифицировать , добавив сферическое здание для SL _n ( Q _p ) в качестве границы «на бесконечности» (см. Garrett 1997 или Brown 1989 ).

Брюа–Титса со

Если L — архимедово локальное поле, то на здание группы SL ₂ ( L ) можно наложить дополнительную структуру здания с комплексным умножением. Впервые они были представлены Мартином Л. Брауном ( Brown 2004 ). Эти здания возникают, когда квадратичное расширение L действует на векторное пространство L ² . Эти здания со сложным умножением можно распространить на любое глобальное поле. Они описывают действие операторов Гекке на точки Хегнера на классической модулярной кривой X ₀ ( N ), а также на модулярной кривой Дринфельда X ^Внутри
₀ ( я ) . Эти здания со сложным умножением полностью классифицированы для случая SL ₂ ( L ) в Brown 2004.

Классификация

Титс доказал, что все неприводимые сферические здания (т.е. с конечной группой Вейля ) ранга больше 2 связаны с простыми алгебраическими или классическими группами.

Аналогичный результат верен и для неприводимых аффинных зданий размерности больше 2 (их здания «на бесконечности» имеют сферическую форму ранга больше двух). В более низком ранге или измерении такой классификации нет. Действительно, каждая структура заболеваемости дает сферическое здание ранга 2 (см. Pott 1995 ); а Баллманн и Брин доказали, что каждый двумерный симплициальный комплекс, в котором связи вершин изоморфны комплексу флагов конечной проективной плоскости, имеет структуру здания, не обязательно классического. Многие двумерные аффинные здания были построены с использованием гиперболических групп отражений или других более экзотических конструкций, связанных с орбифолдами .

Титс также доказал, что каждый раз, когда здание описывается парой ( B , N ) в группе, то почти во всех случаях автоморфизмы здания соответствуют автоморфизмам группы (см. Титс, 1974 ).

Приложения

Теория зданий имеет важные применения в нескольких весьма разрозненных областях. Помимо уже упомянутых связей со строением редуктивных алгебраических групп над общими и локальными полями, здания используются для изучения их представлений . Результаты Титса по определению группы путем ее построения имеют глубокую связь с теоремами жесткости Джорджа Мостоу и Григория Маргулиса , а также с арифметикой Маргулиса .

Специальные типы зданий изучаются в дискретной математике, и идея геометрического подхода к характеристике простых групп оказалась весьма плодотворной при классификации конечных простых групп . Теория зданий типа более общего, чем сферический или аффинный, еще относительно неразвита, но эти обобщенные здания уже нашли приложения к построению групп Каца–Муди в алгебре, а также к многообразиям неположительной кривизны и гиперболическим группам в топологии и геометрической теории групп .

См. также

• Геометрия Бюкенхаута
• Группа Коксетера
• ( Б , Н ) пара
• Аффинная хеджирующая алгебра
• Разложение Брюа
• Обобщенный многоугольник
• Жесткость мостов
• Комплекс Коксетера
• Функция расстояния Вейля

Ссылки

• Баллманн, Вернер; Брин, Майкл (1995), «Орбиэдры неположительной кривизны» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 82 : 169–209, CiteSeerX   10.1.1.30.8282 , doi : 10.1007/bf02698640
• Барре, Сильвен (1995), «Конечные многогранники размерности 2 с кривизной ≤ 0 и рангом 2» , Annales de l'Institut Fourier , 45 (4): 1037–1059, doi : 10.5802/aif.1483 , заархивировано из оригинала. 5 июня 2011 г. , получено 3 января 2008 г.
• Барре, Сильвен; Пишо, Микаэль (2007), «О треугольных зданиях и их автоморфизмах» (PDF) , Geom. Посвященная , 130 :71–91, doi : 10.1007/s10711-007-9206-0
• Бурбаки, Николя (1968), Группы Ли и алгебры Ли: главы 4–6 , Элементы математики, Герман, ISBN  978-3-540-42650-9
• Браун, Кеннет С. (1989), Здания , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96876-6
• Браун, Мартин Л. (2004), Модули Хегнера и эллиптические кривые , Конспекты лекций Springer Verlag по математике, Vol. 1849, ISBN  978-3-540-22290-3
• Брюа, Франсуа; Титс, Жак (1972), «Редуктивные группы на локальном поле, I. Валютные корневые данные» , Опубл. Математика. IHÉS , 41 : 5–251, doi : 10.1007/BF02715544
• Гаррет, Пол (1997), Здания и классические группы , Chapman & Hall, ISBN  978-0-412-06331-2
• Кантор, Уильям М. (2001) [1994], «Строительство синиц» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Кантор, Уильям М. (1986), «Обобщенные многоугольники, SCAB и GAB», в Розати, Луизиана (ред.), Здания и геометрия диаграмм (сессия CIME, Комо, 1984) , лектор. конспекты по математике., вып. 1181, Springer, стр. 79–158, CiteSeerX   10.1.1.74.3986 , doi : 10.1007/BFb0075513 , ISBN  978-3-540-16466-1
• Потт, Александр (1995), Конечная геометрия и теория характеров , лектор. Заметки по математике, вып. 1601, Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0094449 , ISBN  978-3-540-59065-1
• Ронан, Марк (1995), Здания и геометрия диаграмм , лекция. Заметки по математике, вып. 1181, Springer-Verlag, стр. 159–190, doi : 10.1007/BFb0075518 , ISBN.  978-3-540-16466-1
• Ронан, Марк (1992), «Здания: основные идеи и приложения. II. Арифметические группы, здания и симметричные пространства», Bull. Лондонская математика. Соц. , 24 (2): 97–126, doi : 10.1112/blms/24.2.97 , МР   1148671
• Ронан, Марк (1992), «Здания: основные идеи и применение. I. Основные идеи», Bull. Лондонская математика. Соц. , 24 (1): 1–51, doi : 10.1112/blms/24.1.1 , МР   1139056
• Ронан, Марк (1989), Лекции о зданиях , Перспективы математики, том. 7, Академическое издательство, ISBN  978-0-12-594750-3
• Титс, Жак (1974), Здания сферического типа и конечные BN -пары , Конспекты лекций по математике, вып. 386, Springer-Verlag, номер домена : 10.1007/BFb0057391 , ISBN.  978-0-387-06757-5
• Титс, Жак (1981), «Локальный подход к зданиям» , Геометрическая жилка: The Coxeter Festschrift , Springer-Verlag, стр. 519–547 , ISBN  978-0-387-90587-7
• Титс, Жак (1986), «Immeubles de type affine», в Розати, Луизиана (ред.), Здания и геометрия диаграмм (сессия CIME, Комо, 1984) , Lect. конспекты по математике., вып. 1181, Springer, стр. 159–190, doi : 10.1007/BFb0075514 , ISBN.  978-3-540-16466-1
• Вайс, Ричард М. (2003), Структура сферических зданий , Princeton University Press, ISBN  978-0-691-11733-1

Внешние ссылки

• Руссо: Евклидовы здания