( Б , Н ) пара

В математике пара ( B , N ) — это структура на группах лиева типа , позволяющая давать единообразные доказательства многих результатов вместо того, чтобы давать большое количество доказательств в каждом конкретном случае. Грубо говоря, это показывает, что все такие группы подобны общей линейной группе над полем. Они были введены математиком Жаком Титсом и иногда называются системами Титса .

Определение

Пара ( B , N ) — это пара подгрупп B и N группы G такая, что выполняются следующие аксиомы:

• G порождается B и N. ​
• Пересечение T и B , N является подгруппой N нормальной .
• Группа W = N/T порождается множеством S элементов порядка 2 таким, что
  • Если s — элемент S , а w — элемент W , то sBw содержится в объединении BswB и BwB .
  • Ни один элемент не нормализует B. S

Множество S однозначно определяется B и N , а пара ( W , S ) является системой Кокстера .

Терминология

Пары BN тесно связаны с редуктивными группами , и терминология в обоих предметах частично совпадает. Размер S называется рангом . Мы звоним

• B (стандартная) подгруппа Бореля ,
• T (стандартная) подгруппа Картана и
• Группа ​ Вейля .

Подгруппа группы G называется

• параболический, если он содержит сопряжение B ,
• стандартная парабола , если она фактически содержит сам B , и
• борелевская , (или минимальная параболическая если она сопряжена с B. )

Примеры

Абстрактные примеры пар BN возникают в результате определенных групповых действий.

• Предположим, что G — любая дважды транзитивная группа подстановок на множестве E, содержащем более двух элементов. Мы позволяем B быть подгруппой G, фиксирующей точку x , и мы позволяем N быть подгруппой, фиксирующей или меняющей местами 2 точки x и y . Тогда подгруппа T представляет собой набор элементов, фиксирующих как x, так и y , а W имеет порядок 2, а ее нетривиальный элемент представлен чем-либо, меняющим местами x и y .
• Обратно, если G имеет пару (B, N) ранга 1, то действие G на смежных классах B транзитивно дважды . Таким образом, пары BN ранга 1 более или менее аналогичны дважды транзитивным действиям на множествах, содержащих более двух элементов.

Более конкретные примеры пар BN можно найти в редуктивных группах.

• Предположим, что G — общая линейная группа GL _n ( K над полем K. ) Мы возьмем B в качестве верхних треугольных матриц, T в качестве диагональных матриц и N в качестве мономиальных матриц , т. е. матриц с ровно одним ненулевым элементом в каждой строке и столбце. Существует n - 1 генераторов, представленных матрицами, полученными путем замены двух соседних строк диагональной матрицы. Группа Вейля — симметричная группа из n букв.
• В более общем смысле, если G — редуктивная группа над полем K , то группа G = G ( K ) имеет пару BN, в которой
  • B = P ( K ), где P — минимальная параболическая подгруппа группы G , и
  • N = N ( K ), где N — нормализатор расщепимого максимального тора, содержащегося P. в
• В частности, любая конечная группа лиева типа имеет структуру BN-пары.
  • Над полем из двух элементов подгруппа Картана в этом примере тривиальна.
• Полупростая односвязная алгебраическая группа над локальным полем имеет BN-пару, где B — подгруппа Ивахори .

Характеристики

Разложение Брюа

утверждает Разложение Брюа , что G = BWB . Точнее, классы G/B представлены набором подъемов W B \ в N. двойные

Параболические подгруппы

Каждая параболическая подгруппа равна нормализатору в G. своему

Каждая стандартная параболика имеет вид BW ( X ) B для некоторого подмножества X группы S , где W ( X порожденную X. ) обозначает подгруппу Кокстера , Более того, две стандартные параболики сопряжены тогда и только тогда, когда их множества X одинаковы. Следовательно, существует биекция между подмножествами S и стандартными параболиками. В более общем смысле эта биекция распространяется на классы сопряженных параболических подгрупп.

Теорема Титса о простоте

BN-пары можно использовать для доказательства того, что многие группы лиева типа просты по модулю своих центров. Точнее, если G имеет BN -пару такую, что B — разрешимая группа , пересечение всех сопряженных с B тривиально и множество образующих группы W не может быть разложено на два непустых коммутирующих множества, то G является простой всякий раз, когда это идеальная группа . На практике все эти условия, за исключением идеальности G , легко проверить. Проверка того, что G идеальна, требует некоторых немного запутанных вычислений (и на самом деле существует несколько небольших групп лиева типа, которые не идеальны). Но доказать, что группа идеальна, обычно гораздо проще, чем показать, что это просто.

Ссылки

• Абраменко, Петр; Браун, Кеннет С. (2008). Здания. Теория и приложения . Спрингер. ISBN  978-0-387-78834-0 . МР   2439729 . Збл   1214.20033 . В разделе 6.2.6 обсуждаются пары BN.
• Борель, Арманд (1991) [1969], Линейные алгебраические группы , Тексты для аспирантов по математике, том. 126 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer Nature , номер документа : 10.1007/978-1-4612-0941-6 , ISBN.  0-387-97370-2 , МР   1102012
• Бурбаки, Николя (1981). Группы Ли и алгебры Ли: главы 4–6 . Элементы математики (на французском языке). Германн. ISBN  2-225-76076-4 . МР   0240238 . Збл   0483.22001 . Глава IV, § 2 является стандартным справочником для пар BN.
• Бурбаки, Николя (2002). Группы Ли и алгебры Ли: главы 4–6 . Элементы математики. Спрингер. ISBN  3-540-42650-7 . МР   1890629 . Збл   0983.17001 .
• Серр, Жан-Пьер (2003). Деревья . Спрингер. ISBN  3-540-44237-5 . Збл   1013.20001 .