Подгруппа Ивахори

В алгебре подгруппа Ивахори — это подгруппа редуктивной алгебраической группы над неархимедовым локальным полем , аналогичная борелевской подгруппе алгебраической группы. Парагорическая подгруппа — это собственная подгруппа, которая представляет собой конечное объединение двойных смежных классов подгруппы Ивахори, поэтому она аналогична параболической подгруппе алгебраической группы. Подгруппы Ивахори названы в честь Нагайоши Ивахори , а «парахорический» представляет собой смесь слов «параболический» и «Ивахори». Ивахори и Мацумото (1965) изучали подгруппы Ивахори для групп Шевалле над p -адическими полями, а Брюа и Титс (1972) распространили свою работу на более общие группы.

Грубо говоря, подгруппа Ивахори алгебраической группы G ( K ) для локального поля K с целыми числами O и полем вычетов k является обратным образом в G ( O ) борелевской подгруппы группы G ( k ).

Редуктивная группа над локальным полем имеет систему Титса ( B , N ), где B — парагорическая группа, а группа Вейля системы Титса — аффинная группа Коксетера .

Определение

Точнее, Ивахори и парахорические подгруппы можно описать с помощью теории аффинных построек Титса . (Приведенное) построение B ( G ) группы G допускает разложение на грани . Когда G квазипрост , фасеты являются симплексами , а фасетное разложение дает B ( G ) структуру симплициального комплекса ; в общем случае грани являются полисимплексами, то есть произведениями симплексов. Грани максимального размера называются нишами здания.

Когда G полупроста стабилизаторами и односвязна , парагорические подгруппы по определению являются фасета ниши . в G, а подгруппы Ивахори по определению являются стабилизаторами Если G не удовлетворяет этим гипотезам, то можно дать аналогичные определения, но с техническими усложнениями.

Когда G полупроста, но не обязательно односвязна, стабилизатор фасета слишком велик, и парагорик определяется как некоторая подгруппа конечного индекса стабилизатора. Стабилизатор может быть наделен канонической структурой О- группы, а подгруппа конечного индекса, т. е. парагорическая, является по определению О -точками алгебраической связной компоненты этой О -группы. Здесь важно работать с компонентой алгебраической связности, а не с компонентой топологической связности , поскольку неархимедово локальное поле полностью несвязно .

Когда G — произвольная редуктивная группа, используется предыдущая конструкция, но вместо этого берется стабилизатор в подгруппе G, состоящей из элементов, образ которых под любым является целым характером G .

Примеры

Максимальные парагорические подгруппы группы GL _n ( K ) являются стабилизаторами O- решеток в K ^н. В частности, GL _n ( O ) — максимальный парагорик. Всякий максимальный парагорик группы GL _n ( K ) сопряжен с GL _n ( O ). Подгруппы Ивахори сопряжены с подгруппой I матриц в GL _n ( O ), которые сводятся к верхней треугольной матрице в GL _n ( k ), где k - поле вычетов O ; парагорические подгруппы — это все группы между I и GL _n ( O ), которые взаимно однозначно отображают параболические подгруппы GL _n ( k ), содержащие верхние треугольные матрицы.
Аналогично, максимальные парагорические подгруппы в SL _n ( K ) являются стабилизаторами O-решеток в K ^н, а SL _n ( O ) — максимальный парагорик. Однако в отличие от GL _n ( K ) SL _n ( K ) имеет n классов сопряженности максимальных парагориков.
Когда G коммутативна , она имеет единственную максимальную компактную подгруппу и уникальную подгруппу Ивахори, которая содержится в первой. Эти группы не всегда согласны. Например, пусть L — конечное сепарабельное расширение K степени ветвления e . Тор L ^×/К ^× компактен. Однако его подгруппа Ивахори - O _L^×/ _ХОРОШО^×, подгруппа индекса e , коядро которой порождается униформизатором L .

Ссылки

Брюа, Ф.; Титс, Жак (1972), «Редуктивные группы на локальном теле» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 41 : 5–251, doi : 10.1007/bf02715544 , ISSN 1618-1913 , MR 0327923 , S2CID 125864274
Брюа, Ф.; Титс, Жак (1984), «Редуктивные группы на локальном теле II. Групповые диаграммы. Существование ценных корневых данных» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 60 : 5–184, doi : 10.1007/BF02700560 , ISSN 1618-1913 , МР 0756316 , S2CID 122178785
Брюа, Ф.; Титс, Жак (1984), «Групповые диаграммы и построения классических групп на локальном поле» , Bulletin de la Société Mathématique de France , 112 : 259–301, doi : 10.24033/bsmf.2006 , MR 0788969
Ивахори, Н.; Мацумото, Х. (1965), «О некотором разложении Брюа и структуре колец Гекке p-адических групп Шевалле» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 25 (25): 5–48, doi : 10.1007/BF02684396 , ISSN 1618-1913 , MR 0185016 , S2CID 4591855
Титс, Жак (1979), «Редуктивные группы над локальными полями» (PDF) , Автоморфные формы, представления и L-функции (Proc. Sympos. Pure Math., Университет штата Орегон, Корваллис, Орегон, 1977), Часть 1 , том. XXXIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 29–69, MR 0546588 , заархивировано из оригинала (PDF) 11 октября 2006 г.