Мультипликативный характер

В математике мультипликативный характер (или линейный характер , или просто характер ) на группе G — это групповой гомоморфизм из G в мультипликативную группу поля Артин , ( 1966 ), обычно поля комплексных чисел . Если G — любая группа, то множество Ch( G ) этих морфизмов образует абелеву группу при поточечном умножении.

называется группой символов G. группа Эта Иногда только унитарные рассматриваются символы (персонажи, изображение которых находится в единичном круге ); другие такие гомоморфизмы тогда называются квазихарактерами . Персонажи Дирихле можно рассматривать как частный случай этого определения.

Мультипликативные символы линейно независимы , т.е. если $\chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$ это разные персонажи в группе G, то из $a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\cdots +a_{n}\chi _{n}=0$ отсюда следует, что $a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0.$

Примеры

• Рассмотрим ( ax + b )-группу

$G:=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\ \right|\ a>0,\ b\in \mathbf {R} \right\}.$

Функции f _u : G → C такие, что $f_{u}\left({\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\right)=a^{u},$ где u варьируется в пределах комплексных чисел . C — мультипликативные символы.

• Рассмотрим мультипликативную группу положительных действительных чисел ( R ⁺ , ·). Тогда функции f _u : ( R ⁺ ,·) → C такой, что f _u ( a ) = a ^в , где a — элемент из ( R ⁺ , ·) и u пробегают комплексные числа C , являются мультипликативными символами.

Ссылки

• Артин, Эмиль (1966), Теория Галуа , Математические лекции Нотр-Дама, номер 2, Артур Нортон Милгрэм (перепечатанные Dover Publications, 1997), ISBN  978-0-486-62342-9 Лекции, прочитанные в Университете Нотр-Дам