Группа персонажей
В математике группа характеров группа представлений группы комплекснозначными функциями это — . Эти функции можно рассматривать как одномерные матричные представления, и поэтому они являются особыми случаями групповых характеров , возникающими в соответствующем контексте теории характеров . Всякий раз, когда группа представлена матрицами, функция, определяемая следом матриц , называется символом; однако эти следы, как правило, не образуют группу. Некоторые важные свойства этих одномерных символов применимы к символам в целом:
- Символы инвариантны относительно классов сопряженности .
- Характеры неприводимых представлений ортогональны.
Основное значение группы характеров для конечных абелевых групп находится в теории чисел , где она используется для построения характеров Дирихле . Группа характеров циклической группы появляется также в теории дискретного преобразования Фурье . Для локально компактных абелевых групп группа характеров (с предположением непрерывности) является центральной в анализе Фурье .
Предварительные сведения [ править ]
Позволять быть абелевой группой. Функция отображение группы в ненулевые комплексные числа характером называется если это гомоморфизм группы из к - то есть, если для всех .
Если является характером конечной группы , то каждое значение функции является корнем из единицы , так как для каждого Существует такой, что , и поэтому .
Каждый характер f является константой на классах сопряженности группы G , то есть f ( hgh −1 ) знак равно ж ( г ). По этой причине символ иногда называют функцией класса .
Конечная абелева группа порядка n имеет ровно n различных характеров. Они обозначены f 1 , ..., f n . Функция f 1 является тривиальным представлением, которое имеет вид для всех . Он называется главным характером G ; остальные называются неглавными персонажами .
Определение [ править ]
Если G набор характеров fk — абелева группа, то образует абелеву группу при точечном умножении. То есть произведение символов и определяется для всех . Эта группа является группой характеров G и иногда обозначается как . Элемент идентичности является главным символом f 1 , а обратный характеру f k является его обратным 1/ f k . Если конечно порядка n , то также имеет порядок n . В этом случае, поскольку для всех , обратный символ равен комплексно -сопряженному .
Альтернативное определение [ править ]
Существует еще одно определение группы символов. [1] стр. 29 который использует как цель, а не просто . Это полезно при изучении комплексных торов , поскольку группа характеров решетки комплексного тора канонически изоморфен двойственному тору по теореме Аппеля-Гумберта . То есть,
Мы можем явно выразить элементы в группе символов следующим образом: напомним, что элементы в может быть выражено как
для . Если мы рассмотрим решетку как подгруппу основного вещественного векторного пространства , то гомоморфизм
можно рассматривать как карту
Это следует из элементарных свойств гомоморфизмов. Обратите внимание, что
давая нам желаемую факторизацию. Как группа
мы имеем изоморфизм группы характеров как группы с группой гомоморфизмов к . С для любой абелевой группы , у нас есть
после составления комплексной экспоненты мы обнаруживаем, что
что является ожидаемым результатом.
Примеры [ править ]
порожденные Конечно группы абелевы
Поскольку каждая конечно порожденная абелева группа изоморфна
группу символов можно легко вычислить во всех конечно порожденных случаях. Из универсальных свойств и изоморфизма между конечными произведениями и копроизведениями мы имеем группы характеров изоморфен
в первом случае это изоморфно , второе вычисляется путем просмотра карт, которые отправляют генератору различным полномочиям -ые корни единства .
Ортогональность символов [ править ]
Рассмотрим матрица A = A ( G ), матричные элементы которой где является k -м элементом G .
Сумма записей в j- й строке A определяется выражением
- если , и
- .
Сумма записей в k -м столбце A определяется выражением
- если , и
- .
Позволять обозначают транспонирование A . сопряженное Затем
- .
Это подразумевает желаемое соотношение ортогональности для символов: т.е.
- ,
где это дельта Кронекера и представляет собой комплексное сопряжение .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Биркенхаке, Кристина; Х. Ланге (2004). Сложные абелевы многообразия (2-е, дополненное изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-20488-1 . OCLC 54475368 .
- См. главу 6 Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3 , МР 0434929 , Збл 0335.10001