Группа персонажей

В математике группа характеров группа представлений группы ​ комплекснозначными это функциями . — Эти функции можно рассматривать как одномерные матричные представления, и поэтому они являются особыми случаями групповых характеров , которые возникают в соответствующем контексте теории характеров . Всякий раз, когда группа представлена ​​матрицами, функция, определяемая следом матриц , называется символом; однако эти следы, как правило, не образуют группу. Некоторые важные свойства этих одномерных символов применимы к символам в целом:

• Символы инвариантны относительно классов сопряженности .
• Характеры неприводимых представлений ортогональны.

Основное значение группы характеров для конечных абелевых групп находится в теории чисел , где она используется для построения характеров Дирихле . Группа характеров циклической группы появляется также в теории дискретного преобразования Фурье . Для локально компактных абелевых групп группа характеров (с предположением непрерывности) является центральной в анализе Фурье .

Предварительные сведения

Основная статья: Характер (математика)

Позволять $G$ быть абелевой группой. Функция $f:G\to \mathbb {C} \setminus \{0\}$ отображение группы в ненулевые комплексные числа характером называется $G$ если это гомоморфизм группы из $G$ к $\mathbb {C} ^{\times }$- то есть, если $f(g_{1}g_{2})=f(g_{1})f(g_{2})$ для всех $g_{1},g_{2}\in G$.

Если $f$ является характером конечной группы $G$, то каждое значение функции $f(g)$ является корнем из единицы , так как для каждого $g\in G$ существует $k\in \mathbb {N}$ такой, что $g^{k}=e$, и, следовательно, $f(g)^{k}=f(g^{k})=f(e)=1$.

Каждый характер f является константой на классах сопряженности группы G , то есть f ( hgh ⁻¹ ) знак равно ж ( г ). По этой причине символ иногда называют функцией класса .

Конечная абелева группа порядка n имеет ровно n различных характеров. Они обозначены f ₁ , ..., f _n . Функция f ₁ является тривиальным представлением, которое имеет вид $f_{1}(g)=1$ для всех $g\in G$. Он называется главным характером G ; остальные называются неглавными персонажами .

Определение

Если G — абелева группа, то набор характеров образует _fk абелеву группу при точечном умножении. То есть произведение символов $f_{j}$ и $f_{k}$ определяется $(f_{j}f_{k})(g)=f_{j}(g)f_{k}(g)$ для всех $g\in G$. Эта группа является группой характеров G и иногда обозначается как ${\hat {G}}$. Элемент идентичности ${\hat {G}}$ является главным символом f ₁ , а обратный характеру f _k является его обратным 1/ f _k . Если $G$ конечно порядка n , то ${\hat {G}}$ также имеет порядок n . В этом случае, поскольку $|f_{k}(g)|=1$ для всех $g\in G$, обратный символ равен комплексно -сопряженному .

Альтернативное определение

Существует еще одно определение группы символов. ^{стр. 29} который использует $U(1)=\{z\in \mathbb {C} ^{*}:|z|=1\}$ как цель, а не просто $\mathbb {C} ^{*}$. Это полезно при изучении комплексных торов , поскольку группа характеров решетки комплексного тора $V/\Lambda$ канонически изоморфен двойственному тору по теореме Аппеля-Гумберта . То есть,

${\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong V^{\vee }/\Lambda ^{\vee }=X^{\vee }$

Мы можем явно выразить элементы в группе символов следующим образом: напомним, что элементы в $U(1)$ может быть выражено как

$e^{2\pi ix}$

для $x\in \mathbb {R}$. Если мы рассмотрим решетку как подгруппу основного вещественного векторного пространства $V$, то гомоморфизм

$\phi :\Lambda \to U(1)$

можно рассматривать как карту

$\phi :\Lambda \to \mathbb {R} \xrightarrow {\exp({2\pi i\cdot })} U(1)$

Это следует из элементарных свойств гомоморфизмов. Обратите внимание, что

${\begin{aligned}\phi (x+y)&=\exp({2\pi i}f(x+y))\\&=\phi (x)+\phi (y)\\&=\exp(2\pi if(x))\exp(2\pi if(y))\end{aligned}}$

давая нам желаемую факторизацию. Как группа

${\text{Hom}}(\Lambda ,\mathbb {R} )\cong {\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} )$

мы имеем изоморфизм группы характеров как группы с группой гомоморфизмов $\mathbb {Z} ^{2n}$ к $\mathbb {R}$. С ${\text{Hom}}(\mathbb {Z} ,G)\cong G$ для любой абелевой группы $G$, у нас есть

${\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{2n}$

после составления комплексной экспоненты мы обнаруживаем, что

${\text{Hom}}(\mathbb {Z} ^{2n},U(1))\cong \mathbb {R} ^{2n}/\mathbb {Z} ^{2n}$

что является ожидаемым результатом.

Примеры

группы

Поскольку каждая конечно порожденная абелева группа изоморфна

$G\cong \mathbb {Z} ^{n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{m}\mathbb {Z} /a_{i}$

группу символов можно легко вычислить во всех конечно порожденных случаях. Из универсальных свойств и изоморфизма между конечными произведениями и копроизведениями мы имеем группы характеров $G$ изоморфен

${\text{Hom}}(\mathbb {Z} ,\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}\oplus \bigoplus _{i=1}^{k}{\text{Hom}}(\mathbb {Z} /n_{i},\mathbb {C} ^{*})$

в первом случае это изоморфно $(\mathbb {C} ^{*})^{\oplus n}$, второе вычисляется путем просмотра карт, которые отправляют генератору $1\in \mathbb {Z} /n_{i}$ различным полномочиям $n_{i}$-ые корни единства $\zeta _{n_{i}}=\exp(2\pi i/n_{i})$.

Ортогональность символов

Рассмотрим $n\times n$ матрица A = A ( G ), матричные элементы которой $A_{jk}=f_{j}(g_{k})$ где $g_{k}$ является k- м элементом G .

Сумма записей в j -й строке A определяется выражением

$\sum _{k=1}^{n}A_{jk}=\sum _{k=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0$ если $j\neq 1$, и

$\sum _{k=1}^{n}A_{1k}=n$.

Сумма записей в k- м столбце A определяется выражением

$\sum _{j=1}^{n}A_{jk}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(g_{k})=0$ если $k\neq 1$, и

$\sum _{j=1}^{n}A_{j1}=\sum _{j=1}^{n}f_{j}(e)=n$.

Позволять $A^{\ast }$ обозначают транспонирование A . сопряженное Затем

$AA^{\ast }=A^{\ast }A=nI$.

Это подразумевает желаемое соотношение ортогональности для символов: т.е.

$\sum _{k=1}^{n}{f_{k}}^{*}(g_{i})f_{k}(g_{j})=n\delta _{ij}$ ,

где $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера и $f_{k}^{*}(g_{i})$ представляет собой комплексное сопряжение $f_{k}(g_{i})$.

См. также

• Двойственность Понтрягина

Ссылки

• См. главу 6 Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90163-3 , МР   0434929 , Збл   0335.10001