Дирихле персонаж

В аналитической теории чисел и смежных разделах математики комплекснозначная арифметическая функция $\chi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C}$ является характером Дирихле модуля $m$ (где $m$ — целое положительное число), если для всех целых чисел $a$ и $b$:

1. $\chi (ab)=\chi (a)\chi (b);$ то есть, $\chi$ полностью мультипликативна .
2. $\chi (a){\begin{cases}=0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\neq 0&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}$ (НОД — наибольший общий делитель )
3. $\chi (a+m)=\chi (a)$; то есть, $\chi$ является периодическим с периодом $m$.

Самый простой возможный символ, называемый главным символом , обычно обозначается $\chi _{0}$, (см. обозначения ниже) существует для всех модулей:

$\chi _{0}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}$

Немецкий математик Петер Густав Лежен Дирихле , в честь которого назван персонаж, ввел эти функции в своей статье 1837 года о простых числах в арифметических прогрессиях .

Обозначения

$\phi (n)$ — это полная функция Эйлера .

$\zeta _{n}$ — комплексный примитивный корень n-й степени из единицы :

$\zeta _{n}^{n}=1,$ но $\zeta _{n}\neq 1,\zeta _{n}^{2}\neq 1,...\zeta _{n}^{n-1}\neq 1.$

$(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ это мод группы юнитов $m$. Там есть порядок $\phi (m).$

${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}$ это мод группы персонажей Дирихле $m$.

$p,p_{k},$ и т. д. являются простыми числами .

$(m,n)$ это стандарт аббревиатура для $\gcd(m,n)$

$\chi (a),\chi '(a),\chi _{r}(a),$ и т. д. являются персонажами Дирихле. (строчная греческая буква чи означает «характер»)

Не существует стандартного обозначения символов Дирихле, включающего модуль. Во многих контекстах (например, при доказательстве теоремы Дирихле) модуль фиксирован. В других контекстах, таких как эта статья, появляются символы разных модулей. Там, где это уместно, в этой статье используется вариант маркировки Конри (представленный Брайаном Конри и используемый LMFDB ).

В этой маркировке символы модуля $m$ обозначаются $\chi _{m,t}(a)$ где индекс $t$ описано в разделе группа символов ниже. В этой маркировке $\chi _{m,\_}(a)$ обозначает неопределенный символ и $\chi _{m,1}(a)$ обозначает мод основного персонажа $m$.

Отношение к персонажам группы

Слово « характер » используется в математике по-разному. В этом разделе речь идет о гомоморфизме группы $G$ (записывается мультипликативно) к мультипликативной группе поля комплексных чисел:

$\eta :G\rightarrow \mathbb {C} ^{\times },\;\;\eta (gh)=\eta (g)\eta (h),\;\;\eta (g^{-1})=\eta (g)^{-1}.$

Набор символов обозначается ${\widehat {G}}.$ Если произведение двух символов определяется поточечным умножением $\eta \theta (a)=\eta (a)\theta (a),$ тождество по тривиальному персонажу $\eta _{0}(a)=1$ и обратное путем комплексной инверсии $\eta ^{-1}(a)=\eta (a)^{-1}$ затем ${\widehat {G}}$ становится абелевой группой.

Если $A$ конечная абелева группа, то существует 1) изоморфизм $A\cong {\widehat {A}}$ 2) отношения ортогональности:

$\sum _{a\in A}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}\eta =\eta _{0}\\0&{\text{ if }}\eta \neq \eta _{0}\end{cases}}$ и $\sum _{\eta \in {\widehat {A}}}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}a=1\\0&{\text{ if }}a\neq 1.\end{cases}}$

Элементы конечной абелевой группы $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ являются классами остатков $[a]=\{x:x\equiv a{\pmod {m}}\}$ где $(a,m)=1.$

Групповой персонаж $\rho :(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }$ может быть расширено до персонажа Дирихле $\chi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C}$ определяя

$\chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}[a]\not \in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)>1\\\rho ([a])&{\text{if }}[a]\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)=1,\end{cases}}$

и наоборот, модификация персонажа Дирихле. $m$ определяет групповой символ на $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.$

Перефразируя Давенпорта Характеры Дирихле можно рассматривать как частный случай характеров абелевой группы. Но эта статья следует за Дирихле, давая о них прямое и конструктивное описание. Частично это объясняется историческими причинами, поскольку работе Дирихле на несколько десятилетий предшествовало развитие теории групп, а частично — математической причиной, а именно тем, что рассматриваемая группа имеет простую и интересную структуру, которая становится неясной, если относиться к ней так же, как к ней относятся. общая абелева группа.

Элементарные факты

4) Поскольку $\gcd(1,m)=1,$ свойство 2) говорит $\chi (1)\neq 0$ поэтому его можно отменить с обеих сторон $\chi (1)\chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)$:

$\chi (1)=1.$

5) Свойство 3) эквивалентно

если $a\equiv b{\pmod {m}}$ затем $\chi (a)=\chi (b).$

6) Из свойства 1) следует, что для любого натурального числа $n$

$\chi (a^{n})=\chi (a)^{n}.$

7) Теорема Эйлера утверждает, что если $(a,m)=1$ затем $a^{\phi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}.$ Поэтому,

$\chi (a)^{\phi (m)}=\chi (a^{\phi (m)})=\chi (1)=1.$

То есть ненулевые значения $\chi (a)$ являются $\phi (m)$-ые корни из единицы :

$\chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\zeta _{\phi (m)}^{r}&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}$

для некоторого целого числа $r$ что зависит от $\chi ,\zeta ,$ и $a$. Это означает, что для данного модуля существует только конечное число символов.

8) Если $\chi$ и $\chi '$ это два символа для одного и того же модуля, как и их произведение $\chi \chi ',$ определяется поточечным умножением:

$\chi \chi '(a)=\chi (a)\chi '(a)$   ( $\chi \chi '$ очевидно удовлетворяет 1-3).

Главный герой – личность:

$\chi \chi _{0}(a)=\chi (a)\chi _{0}(a)={\begin{cases}0\times 0&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\chi (a)\times 1&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}$

9) Пусть $a^{-1}$ обозначаем обратную величину $a$ в $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$.Затем

$\chi (a)\chi (a^{-1})=\chi (aa^{-1})=\chi (1)=1,$ так $\chi (a^{-1})=\chi (a)^{-1},$ которое расширяет 6) на все целые числа.

Комплексно -сопряженное значение корня из единицы также является его обратным (подробности см. здесь ), поэтому для $(a,m)=1$

${\overline {\chi }}(a)=\chi (a)^{-1}=\chi (a^{-1}).$   ( ${\overline {\chi }}$ также очевидно удовлетворяет 1-3).

Таким образом, для всех целых чисел $a$

$\chi (a){\overline {\chi }}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}};$ другими словами $\chi {\overline {\chi }}=\chi _{0}$. 

10) Умножение и тождество, определенные в 8), и обращение, определенное в 9), превращают множество характеров Дирихле для данного модуля в конечную абелеву группу .

Группа персонажей

Имеются три различных случая, поскольку группы $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ имеют различную структуру в зависимости от того, $m$ является степенью двойки, степенью нечетного простого числа или произведением степеней простых чисел.

Степени нечетных простых чисел

Если $q=p^{k}$ это нечетное число $(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }$ является циклическим порядка $\phi (q)$; генератор называется примитивным корневым модом $q$. Позволять $g_{q}$ быть примитивным корнем и для $(a,q)=1$ определить функцию $\nu _{q}(a)$ ( индекс ​ $a$) к

$a\equiv g_{q}^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},$

$0\leq \nu _{q}<\phi (q).$

Для $(ab,q)=1,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}$ тогда и только тогда, когда $\nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).$ С

$\chi (a)=\chi (g_{q}^{\nu _{q}(a)})=\chi (g_{q})^{\nu _{q}(a)},$   $\chi$ определяется его стоимостью в $g_{q}.$

Позволять $\omega _{q}=\zeta _{\phi (q)}$ быть примитивным $\phi (q)$-й корень из единицы. Из свойства 7) выше возможные значения $\chi (g_{q})$ являются $\omega _{q},\omega _{q}^{2},...\omega _{q}^{\phi (q)}=1.$ Эти различные ценности порождают $\phi (q)$ Мод персонажей Дирихле $q.$ Для $(r,q)=1$ определять $\chi _{q,r}(a)$ как

$\chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,q)>1\\\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}\gcd(a,q)=1.\end{cases}}$

Тогда для $(rs,q)=1$ и все $a$ и $b$

$\chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab),$ показывая это $\chi _{q,r}$ это персонаж и

$\chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a),$ что дает явный изоморфизм ${\widehat {(\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.$

Примеры m = 3, 5, 7, 9

2 — это примитивный корень мода 3. ( $\phi (3)=2$)

$2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {3}},$

поэтому значения $\nu _{3}$ являются

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2\\\hline \nu _{3}(a)&0&1\\\end{array}}$.

Ненулевые значения символов mod 3 равны

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2\\\hline \chi _{3,1}&1&1\\\chi _{3,2}&1&-1\\\end{array}}$

2 — это примитивный корень мода 5. ( $\phi (5)=4$)

$2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 3,\;2^{4}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {5}},$

поэтому значения $\nu _{5}$ являются

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4\\\hline \nu _{5}(a)&0&1&3&2\\\end{array}}$.

Ненулевые значения символов mod 5 равны

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4\\\hline \chi _{5,1}&1&1&1&1\\\chi _{5,2}&1&i&-i&-1\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1\\\chi _{5,4}&1&-1&-1&1\\\end{array}}$

3 - это примитивный корень мода 7.( $\phi (7)=6$)

$3^{1}\equiv 3,\;3^{2}\equiv 2,\;3^{3}\equiv 6,\;3^{4}\equiv 4,\;3^{5}\equiv 5,\;3^{6}\equiv 3^{0}\equiv 1{\pmod {7}},$

поэтому значения $\nu _{7}$ являются

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4&5&6\\\hline \nu _{7}(a)&0&2&1&4&5&3\\\end{array}}$.

Ненулевые значения символов по модулю 7: ( $\omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1$)

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4&5&6\\\hline \chi _{7,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{7,2}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{7,3}&1&\omega ^{2}&\omega &-\omega &-\omega ^{2}&-1\\\chi _{7,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{7,5}&1&-\omega &-\omega ^{2}&\omega ^{2}&\omega &-1\\\chi _{7,6}&1&1&-1&1&-1&-1\\\end{array}}$.

2 - это примитивный корневой мод 9.( $\phi (9)=6$)

$2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 8,\;2^{4}\equiv 7,\;2^{5}\equiv 5,\;2^{6}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {9}},$

поэтому значения $\nu _{9}$ являются

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&4&5&7&8\\\hline \nu _{9}(a)&0&1&2&5&4&3\\\end{array}}$.

Ненулевые значения символов по модулю 9: ( $\omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1$)

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&4&5&7&8\\\hline \chi _{9,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{9,2}&1&\omega &\omega ^{2}&-\omega ^{2}&-\omega &-1\\\chi _{9,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{9,5}&1&-\omega ^{2}&-\omega &\omega &\omega ^{2}&-1\\\chi _{9,7}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{9,8}&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}$.

Полномочия 2

$(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }$ — тривиальная группа с одним элементом. $(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }$ является циклическим порядка 2. Для 8, 16 и более высоких степеней двойки примитивный корень отсутствует; степени 5 - это единицы $\equiv 1{\pmod {4}}$ а их отрицательные значения - это единицы $\equiv 3{\pmod {4}}.$Например

$5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {8}}$

$5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 9,\;5^{3}\equiv 13,\;5^{4}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {16}}$

$5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 25,\;5^{3}\equiv 29,\;5^{4}\equiv 17,\;5^{5}\equiv 21,\;5^{6}\equiv 9,\;5^{7}\equiv 13,\;5^{8}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {32}}.$

Позволять $q=2^{k},\;\;k\geq 3$; затем $(\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }$ является прямым произведением циклической группы порядка 2 (порождённой −1) и циклической группы порядка ${\frac {\phi (q)}{2}}$ (генерируется 5).Для нечетных чисел $a$ определить функции $\nu _{0}$ и $\nu _{q}$ к

$a\equiv (-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},$

$0\leq \nu _{0}<2,\;\;0\leq \nu _{q}<{\frac {\phi (q)}{2}}.$

Для нечетных $a$ и $b,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}$ тогда и только тогда, когда $\nu _{0}(a)=\nu _{0}(b)$ и $\nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).$Для нечетных $a$ ценность $\chi (a)$ определяется значениями $\chi (-1)$ и $\chi (5).$

Позволять $\omega _{q}=\zeta _{\frac {\phi (q)}{2}}$ быть примитивным ${\frac {\phi (q)}{2}}$-й корень из единицы. Возможные значения $\chi ((-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)})$ являются $\pm \omega _{q},\pm \omega _{q}^{2},...\pm \omega _{q}^{\frac {\phi (q)}{2}}=\pm 1.$ Эти различные ценности порождают $\phi (q)$ Мод персонажей Дирихле $q.$ Для нечетных $r$ определять $\chi _{q,r}(a)$ к

$\chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\nu _{0}(r)\nu _{0}(a)}\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}a{\text{ is odd}}.\end{cases}}$

Тогда для нечетного $r$ и $s$ и все $a$ и $b$

$\chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab)$ показывая это $\chi _{q,r}$ это персонаж и

$\chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a)$ показывая это ${\widehat {(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.$

Примеры m = 2, 4, 8, 16

Единственный мод персонажа 2 - главный персонаж. $\chi _{2,1}$.

−1 — примитивный корень по модулю 4 ( $\phi (4)=2$)

${\begin{array}{|||}a&1&3\\\hline \nu _{0}(a)&0&1\\\end{array}}$

Ненулевые значения символов mod 4 равны

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3\\\hline \chi _{4,1}&1&1\\\chi _{4,3}&1&-1\\\end{array}}$

−1 и 5 генерируют единицы по модулю 8 ( $\phi (8)=4$)

${\begin{array}{|||}a&1&3&5&7\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1\\\nu _{8}(a)&0&1&1&0\\\end{array}}$.

Ненулевые значения символов mod 8 равны

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3&5&7\\\hline \chi _{8,1}&1&1&1&1\\\chi _{8,3}&1&1&-1&-1\\\chi _{8,5}&1&-1&-1&1\\\chi _{8,7}&1&-1&1&-1\\\end{array}}$

−1 и 5 генерируют единицы по модулю 16 ( $\phi (16)=8$)

${\begin{array}{|||}a&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1&0&1&0&1\\\nu _{16}(a)&0&3&1&2&2&1&3&0\\\end{array}}$.

Ненулевые значения символов по модулю 16 равны

${\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,5}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{16,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,11}&1&i&i&1&-1&-i&-i&-1\\\chi _{16,13}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}$.

Продукты первичных сил

Позволять $m=p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{k}^{m_{k}}=q_{1}q_{2}\cdots q_{k}$ где $p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}$ быть факторизацией $m$ в высшие силы. Группа юнитов мод $m$ изоморфно прямому произведению групп mod $q_{i}$:

$(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /q_{2}\mathbb {Z} )^{\times }\times \dots \times (\mathbb {Z} /q_{k}\mathbb {Z} )^{\times }.$

Это означает, что 1) существует взаимно однозначное соответствие между $a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ и $k$-кортежи $(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})$ где $a_{i}\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }$ и 2) мод умножения $m$ соответствует покоординатному умножению $k$-кортежи:

$ab\equiv c{\pmod {m}}$ соответствует

$(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\times (b_{1},b_{2},\dots ,b_{k})=(c_{1},c_{2},\dots ,c_{k})$ где $c_{i}\equiv a_{i}b_{i}{\pmod {q_{i}}}.$

Китайская теорема об остатках (CRT) подразумевает, что $a_{i}$ просто $a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.$

Есть подгруппы $G_{i}<(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ такой, что

$G_{i}\cong (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }$ и

$G_{i}\equiv {\begin{cases}(\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }&\mod q_{i}\\\{1\}&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}$

Затем $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong G_{1}\times G_{2}\times ...\times G_{k}$и каждый $a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ соответствует $k$-кортеж $(a_{1},a_{2},...a_{k})$ где $a_{i}\in G_{i}$ и $a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.$ Каждый $a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ может быть однозначно факторизован как $a=a_{1}a_{2}...a_{k}.$

Если $\chi _{m,\_}$ это мод персонажа $m,$ в подгруппе $G_{i}$ он должен быть идентичен некоторым $\chi _{q_{i},\_}$ против $q_{i}$ Затем

$\chi _{m,\_}(a)=\chi _{m,\_}(a_{1}a_{2}...)=\chi _{m,\_}(a_{1})\chi _{m,\_}(a_{2})...=\chi _{q_{1},\_}(a_{1})\chi _{a_{2},\_}(a_{2})...,$

показывая, что каждый мод персонажа $m$ это продукт мода персонажей $q_{i}$.

Для $(t,m)=1$ определять

$\chi _{m,t}=\chi _{q_{1},t}\chi _{q_{2},t}...$

Тогда для $(rs,m)=1$ и все $a$ и $b$

$\chi _{m,r}(a)\chi _{m,r}(b)=\chi _{m,r}(ab),$ показывая это $\chi _{m,r}$ это персонаж и

$\chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a),$ демонстрирующий изоморфизм ${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.$

Примеры м = 15, 24, 40

$(\mathbb {Z} /15\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.$

Факторизация символов по модулю 15:

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{5,1}&\chi _{5,2}&\chi _{5,3}&\chi _{5,4}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{15,1}&\chi _{15,7}&\chi _{15,13}&\chi _{15,4}\\\chi _{3,2}&\chi _{15,11}&\chi _{15,2}&\chi _{15,8}&\chi _{15,14}\\\end{array}}$

Ненулевые значения символов по модулю 15 равны

${\begin{array}{|||}&1&2&4&7&8&11&13&14\\\hline \chi _{15,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{15,2}&1&-i&-1&i&i&-1&-i&1\\\chi _{15,4}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{15,7}&1&i&-1&i&-i&1&-i&-1\\\chi _{15,8}&1&i&-1&-i&-i&-1&i&1\\\chi _{15,11}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1\\\chi _{15,13}&1&-i&-1&-i&i&1&i&-1\\\chi _{15,14}&1&1&1&-1&1&-1&-1&-1\\\end{array}}$.

$(\mathbb {Z} /24\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }.$Факторизация символов по модулю 24:

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{24,1}&\chi _{24,19}&\chi _{24,13}&\chi _{24,7}\\\chi _{3,2}&\chi _{24,17}&\chi _{24,11}&\chi _{24,5}&\chi _{24,23}\\\end{array}}$

Ненулевые значения символов по модулю 24 равны

${\begin{array}{|||}&1&5&7&11&13&17&19&23\\\hline \chi _{24,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{24,5}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\chi _{24,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{24,11}&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\\chi _{24,13}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{24,17}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\chi _{24,19}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{24,23}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\end{array}}$.

$(\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.$Факторизация символов по модулю 40:

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{5,1}&\chi _{40,1}&\chi _{40,11}&\chi _{40,21}&\chi _{40,31}\\\chi _{5,2}&\chi _{40,17}&\chi _{40,27}&\chi _{40,37}&\chi _{40,7}\\\chi _{5,3}&\chi _{40,33}&\chi _{40,3}&\chi _{40,13}&\chi _{40,23}\\\chi _{5,4}&\chi _{40,9}&\chi _{40,19}&\chi _{40,29}&\chi _{40,39}\\\end{array}}$

Ненулевые значения символов по модулю 40 равны

${\begin{array}{|||}&1&3&7&9&11&13&17&19&21&23&27&29&31&33&37&39\\\hline \chi _{40,1}&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{40,3}&1&i&i&-1&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1\\\chi _{40,7}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{40,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{40,11}&1&1&-1&1&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1\\\chi _{40,13}&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1&1&i&i&-1\\\chi _{40,17}&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1\\\chi _{40,19}&1&-1&1&1&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1\\\chi _{40,21}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&1&-1&1\\\chi _{40,23}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{40,27}&1&-i&-i&-1&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1\\\chi _{40,29}&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1&1&-1&1&1\\\chi _{40,31}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{40,33}&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1\\\chi _{40,37}&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1&1&-i&-i&-1\\\chi _{40,39}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\end{array}}$.

Краткое содержание

Позволять $m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots =q_{1}q_{2}\cdots$, $p_{1}<p_{2}<\dots$ быть факторизацией $m$ и предположим $(rs,m)=1.$

Есть $\phi (m)$ Мод персонажей Дирихле $m.$ Они обозначаются $\chi _{m,r},$ где $\chi _{m,r}=\chi _{m,s}$ эквивалентно $r\equiv s{\pmod {m}}.$Личность $\chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a)\;$ является изоморфизмом ${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.$

Каждый мод персонажа $m$ имеет уникальную факторизацию как произведение символов по модулю простых степеней, делящих $m$:

$\chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...$

Если $m=m_{1}m_{2},(m_{1},m_{2})=1$ продукт $\chi _{m_{1},r}\chi _{m_{2},s}$ это персонаж $\chi _{m,t}$ где $t$ дается $t\equiv r{\pmod {m_{1}}}$ и $t\equiv s{\pmod {m_{2}}}.$

Также, $\chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)$

Ортогональность

Два отношения ортогональности:

$\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;\chi =\chi _{0}\\0&{\text{ if }}\;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}$ и $\sum _{\chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1{\pmod {m}}\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1{\pmod {m}}.\end{cases}}$

Отношения можно записать в симметричной форме

$\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;r\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;r\not \equiv 1\end{cases}}$ и $\sum _{r\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1.\end{cases}}$

Первое соотношение легко доказать: если $\chi =\chi _{0}$ есть $\phi (m)$ ненулевые слагаемые, каждое из которых равно 1. Если $\chi \neq \chi _{0}$есть некоторый $a^{*},\;(a^{*},m)=1,\;\chi (a^{*})\neq 1.$ Затем

$\chi (a^{*})\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*})\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*}a)=\sum _{a}\chi (a),$ подразумевая

$(\chi (a^{*})-1)\sum _{a}\chi (a)=0.$ Деление на первый множитель дает $\sum _{a}\chi (a)=0,$ КЭД. Личность $\chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)$ для $(rs,m)=1$ показывает, что отношения эквивалентны друг другу.

Второе соотношение доказывается непосредственно таким же способом, но требует леммы

Данный $a\not \equiv 1{\pmod {m}},\;(a,m)=1,$ есть $\chi ^{*},\;\chi ^{*}(a)\neq 1.$

Второе соотношение имеет важное следствие: если $(a,m)=1,$ определить функцию

$f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }{\bar {\chi }}(a)\chi (n).$ Затем

$f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1})\chi (n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1}n)={\begin{cases}1,&n\equiv a{\pmod {m}}\\0,&n\not \equiv a{\pmod {m}},\end{cases}}$

То есть $f_{a}=\mathbb {1} _{[a]}$ индикаторная функция класса вычетов $[a]=\{x:\;x\equiv a{\pmod {m}}\}$. Он является основным в доказательстве теоремы Дирихле.

Классификация персонажей

Дирижер; Примитивные и индуцированные персонажи

Любая модификация персонажа с основной силой также является модификацией персонажа с любой большей силой. Например мод 16

${\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}$

$\chi _{16,3}$ имеет период 16, но $\chi _{16,9}$ имеет период 8 и $\chi _{16,15}$ имеет период 4: $\chi _{16,9}=\chi _{8,5}$ и $\chi _{16,15}=\chi _{8,7}=\chi _{4,3}.$

Мы говорим, что персонаж $\chi$ модуля $q$ имеет квазипериод $d$ если $\chi (m)=\chi (n)$ для всех $m$, $n$ взаимно простой с $q$ удовлетворяющий $m\equiv n$ против $d$. Например, $\chi _{2,1}$, единственный характер Дирихле модуля $2$, имеет квазипериод $1$, но не период $1$ (имеет период $2$, хотя). Наименьшее положительное целое число, для которого $\chi$ квазипериодический, проводником является $\chi$. Так, например, $\chi _{2,1}$ имеет проводника $1$.

Дирижер $\chi _{16,3}$ 16 лет, дирижер $\chi _{16,9}$ это 8 и что $\chi _{16,15}$ и $\chi _{8,7}$ равно 4. Если модуль и проводник равны, символ является примитивным , в противном случае — непримитивным . Импримитивный характер индуцируется символом наименьшего модуля: $\chi _{16,9}$ индуцируется из $\chi _{8,5}$ и $\chi _{16,15}$ и $\chi _{8,7}$ индуцируются из $\chi _{4,3}$.

Аналогичное явление может произойти с модификацией персонажа, являющейся произведением простых чисел; его ненулевые значения могут быть периодическими с меньшим периодом.

Например, мод 15,

${\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,8}&1&i&0&-1&0&0&-i&-i&0&0&-1&0&i&1&0\\\chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\end{array}}$.

Ненулевые значения $\chi _{15,8}$ имеют период 15, но те из $\chi _{15,11}$ имеют период 3 и периоды $\chi _{15,13}$ имеют период 5. Это легче увидеть, сопоставив их с символами mod 3 и 5:

${\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{3,2}&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0\\\hline \chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0\\\end{array}}$.

Если мод персонажа $m=qr,\;\;(q,r)=1,\;\;q>1,\;\;r>1$ определяется как

$\chi _{m,\_}(a)={\begin{cases}0&{\text{ if }}\gcd(a,m)>1\\\chi _{q,\_}(a)&{\text{ if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}$или, что эквивалентно, как $\chi _{m,\_}=\chi _{q,\_}\chi _{r,1},$

его ненулевые значения определяются модом персонажа $q$ и есть период $q$.

Наименьший период ненулевых значений является проводником символа. Например, дирижер $\chi _{15,8}$ 15 лет, дирижер $\chi _{15,11}$ равно 3, а это $\chi _{15,13}$ это 5.

Как и в случае с простой степенью, если проводник равен модулю, символ является примитивным , в противном случае — примитивным . Если он примитивен, он индуцируется из символа с меньшим модулем. Например, $\chi _{15,11}$ индуцируется из $\chi _{3,2}$ и $\chi _{15,13}$ индуцируется из $\chi _{5,3}$

Главный герой не примитивен.

Персонаж $\chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...$ является примитивным тогда и только тогда, когда каждый из факторов примитивен.

Примитивные символы часто упрощают (или делают возможным) формулы в теориях L-функций. и модульные формы .

Паритет

$\chi (a)$ если даже ​ $\chi (-1)=1$ и странно , если $\chi (-1)=-1.$

Это различие появляется в функциональном уравнении Дирихле L-функции .

Заказ

Порядок порядок символа — это его как элемента группы. ${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}$, т.е. наименьшее положительное целое число $n$ такой, что $\chi ^{n}=\chi _{0}.$ Из-за изоморфизма ${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }$ порядок $\chi _{m,r}$ аналогичен порядку $r$ в $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.$ Главный персонаж имеет порядок 1; другие реальные персонажи имеют порядок 2, а воображаемые персонажи имеют порядок 3 или выше. По теореме Лагранжа порядок символа делит порядок ${\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}$ который $\phi (m)$

Реальные персонажи

$\chi (a)$ является действительным или квадратичным, если все его значения действительны (они должны быть $0,\;\pm 1$); в противном случае оно сложное или воображаемое.

$\chi$ действительно тогда и только тогда, когда $\chi ^{2}=\chi _{0}$; $\chi _{m,k}$ действительно тогда и только тогда, когда $k^{2}\equiv 1{\pmod {m}}$; в частности, $\chi _{m,-1}$ является действительным и неглавным.

Оригинальное доказательство Дирихле, что $L(1,\chi )\neq 0$ (что было справедливо только для простых модулей) принимало две разные формы в зависимости от того, было ли $\chi$ было реальным или нет. Его более позднее доказательство, справедливое для всех модулей, было основано на его формуле числа классов .

Реальные символы — это символы Кронекера ; например, главный персонаж может быть записан $\chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)$.

Настоящие персонажи в примерах:

Главный

Если $m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...,\;p_{1}<p_{2}<\;...$ главный герой - это $\chi _{m,1}=\left({\frac {p_{1}^{2}p_{2}^{2}...}{\bullet }}\right).$

$\chi _{16,1}=\chi _{8,1}=\chi _{4,1}=\chi _{2,1}=\left({\frac {4}{\bullet }}\right)$  $\chi _{9,1}=\chi _{3,1}=\left({\frac {9}{\bullet }}\right)$  $\chi _{5,1}=\left({\frac {25}{\bullet }}\right)$  $\chi _{7,1}=\left({\frac {49}{\bullet }}\right)$  $\chi _{15,1}=\left({\frac {225}{\bullet }}\right)$  $\chi _{24,1}=\left({\frac {36}{\bullet }}\right)$  $\chi _{40,1}=\left({\frac {100}{\bullet }}\right)$  

Примитивный

Если модуль является абсолютным значением фундаментального дискриминанта, то существует реальный примитивный характер (их два, если модуль кратен 8); в противном случае, если есть какие-либо примитивные символы они воображаемые.

$\chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)$  $\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)$  $\chi _{5,4}=\left({\frac {5}{\bullet }}\right)$  $\chi _{7,6}=\left({\frac {-7}{\bullet }}\right)$  $\chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)$  $\chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)$  $\chi _{15,14}=\left({\frac {-15}{\bullet }}\right)$  $\chi _{24,5}=\left({\frac {-24}{\bullet }}\right)$  $\chi _{24,11}=\left({\frac {24}{\bullet }}\right)$  $\chi _{40,19}=\left({\frac {-40}{\bullet }}\right)$  $\chi _{40,29}=\left({\frac {40}{\bullet }}\right)$

примитивный

$\chi _{8,7}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)$  $\chi _{9,8}=\chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)$  $\chi _{15,4}=\chi _{5,4}\chi _{3,1}=\left({\frac {45}{\bullet }}\right)$  $\chi _{15,11}=\chi _{3,2}\chi _{5,1}=\left({\frac {-75}{\bullet }}\right)$  $\chi _{16,7}=\chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)$  $\chi _{16,9}=\chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)$  $\chi _{16,15}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)$  

$\chi _{24,7}=\chi _{8,7}\chi _{3,1}=\chi _{4,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-36}{\bullet }}\right)$  $\chi _{24,13}=\chi _{8,5}\chi _{3,1}=\left({\frac {72}{\bullet }}\right)$  $\chi _{24,17}=\chi _{3,2}\chi _{8,1}=\left({\frac {-12}{\bullet }}\right)$  $\chi _{24,19}=\chi _{8,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-72}{\bullet }}\right)$  $\chi _{24,23}=\chi _{8,7}\chi _{3,2}=\chi _{4,3}\chi _{3,2}=\left({\frac {12}{\bullet }}\right)$  

$\chi _{40,9}=\chi _{5,4}\chi _{8,1}=\left({\frac {20}{\bullet }}\right)$  $\chi _{40,11}=\chi _{8,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-200}{\bullet }}\right)$  $\chi _{40,21}=\chi _{8,5}\chi _{5,1}=\left({\frac {200}{\bullet }}\right)$  $\chi _{40,31}=\chi _{8,7}\chi _{5,1}=\chi _{4,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-100}{\bullet }}\right)$  $\chi _{40,39}=\chi _{8,7}\chi _{5,4}=\chi _{4,3}\chi _{5,4}=\left({\frac {-20}{\bullet }}\right)$  

Приложения

L-функции

Основная статья: L-функция Дирихле

L-серия Дирихле для персонажа $\chi$ является

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.$

Этот ряд сходится только при ${\mathfrak {R}}s>1$; ее можно аналитически продолжить до мероморфной функции

Дирихле представил $L$-функционирует вместе с персонажами его статьи 1837 года.

Модульные формы и функции

Основная статья: Модульная форма

Характеры Дирихле появляются в нескольких местах в теории модулярных форм и функций. Типичный пример:

Позволять $\chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /M\mathbb {Z} )^{\times }}}$ и пусть $\chi _{1}\in {\widehat {(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{\times }}}$ быть примитивным.

Если

$f(z)=\sum a_{n}q^{n}\in M_{k}(M,\chi )$

определять

$f_{\chi _{1}}(z)=\sum \chi _{1}(n)a_{n}z^{n}$,  

Затем

$f_{\chi _{1}}(z)\in M_{k}(MN^{2},\chi \chi _{1}^{2})$. Если $f$ это форма возврата, поэтому $f_{\chi _{1}}.$

в тета-ряде персонажа Дирихле Другой пример см. .

Сумма Гаусса

Основная статья: сумма Гаусса

Сумма Гаусса характера Дирихле по модулю N равна

$G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{\frac {2\pi ia}{N}}.$

Он появляется в функциональном уравнении Дирихле L-функции .

Сумма Якоби

Основная статья: сумма Якоби

Если $\chi$ и $\psi$ являются ли персонажи Дирихле модом простого числа $p$ их сумма Якоби равна

$J(\chi ,\psi )=\sum _{a=2}^{p-1}\chi (a)\psi (1-a).$

Суммы Якоби можно разложить на произведения сумм Гаусса.

Сумма Клоостермана

Основная статья: сумма Клоостермана

Если $\chi$ это мод персонажа Дирихле $q$ и $\zeta =e^{\frac {2\pi i}{q}}$ сумма Клоостермана $K(a,b,\chi )$ определяется как

$K(a,b,\chi )=\sum _{r\in (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (r)\zeta ^{ar+{\frac {b}{r}}}.$

Если $b=0$ это сумма Гаусса.

Достаточные условия

Чтобы показать, что функция является характером Дирихле, не обязательно устанавливать определяющие свойства 1)–3).

Из книги Давенпорта

Если $\mathrm {X} :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C}$ такой, что

1)   $\mathrm {X} (ab)=\mathrm {X} (a)\mathrm {X} (b),$

2)   $\mathrm {X} (a+m)=\mathrm {X} (a)$,

3) Если $\gcd(a,m)>1$ затем $\mathrm {X} (a)=0$, но

4)   $\mathrm {X} (a)$ не всегда 0,

затем $\mathrm {X} (a)$ является одним из $\phi (m)$ мод персонажей $m$

Состояние Саркози

Характер Дирихле — это полностью мультипликативная функция. $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ которое удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению : то есть, если $a_{1}f(n+b_{1})+\cdots +a_{k}f(n+b_{k})=0$

для всех положительных целых чисел $n$, где $a_{1},\ldots ,a_{k}$ не все равны нулю и $b_{1},\ldots ,b_{k}$ тогда они различны $f$ персонаж Дирихле.

Chudakov's Condition

Характер Дирихле — это полностью мультипликативная функция. $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C}$ удовлетворяющий следующим трем свойствам: а) $f$ принимает только конечное число значений; б) $f$ исчезает только в конечном числе простых чисел; в) есть $\alpha \in \mathbb {C}$ за что остаток

$\left|\sum _{n\leq x}f(n)-\alpha x\right|$

равномерно ограничено, так как $x\rightarrow \infty$. Это эквивалентное определение характеров Дирихле было предложено Чудаковым. в 1956 году и доказали в 2017 году Клурман и Мангерель.

См. также

• Сумма символов
• Мультипликативная группа целых чисел по модулю n
• Примитивный корень по модулю n
• Мультипликативный характер

Ссылки

• Чудаков Н.Г. "Теория характеров числовых полугрупп". Дж. Индийская математика. Соц . 20 :11–15.
• Давенпорт, Гарольд (1967). Мультипликативная теория чисел . Лекции по высшей математике. Том. 1. Чикаго: Маркхэм. Збл   0159.06303 .
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание) , Нью-Йорк: Springer , ISBN  0-387-97329-Х
• Клурман, Алексей; Мангерель, Александр П. (2017). «Теоремы жесткости для мультипликативных функций». Математика. Энн . 372 (1): 651–697. arXiv : 1707.07817 . Бибкод : 2017arXiv170707817K . дои : 10.1007/s00208-018-1724-6 . S2CID   119597384 .
• Коблиц, Нил (1993). Введение в эллиптические кривые и модульные формы . Тексты для аспирантов по математике. Том. 97 (2-е исправленное изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-97966-2 .
• Ландау, Эдмунд (1966), Элементарная теория чисел , Нью-Йорк: Челси
• Саркози, Андрас. «О мультипликативных арифметических функциях, удовлетворяющих линейной рекурсии». Студия Sci. Математика. Хунг . 13 (1–2): 79–104.

Внешние ссылки

• Английский перевод статьи Дирихле 1837 года о простых числах в арифметических прогрессиях.
• В LMFDB перечислены 30 397 486 символов Дирихле с модулем до 10 000 и их L-функции.