Сумма Клоостермана

В математике сумма Клоостермана представляет собой особый вид экспоненциальной суммы . Они названы в честь голландского математика Хендрика Клоостермана , который представил их в 1926 году. когда он адаптировал метод круга Харди-Литтлвуда для решения проблемы, связанной с положительно определенными диагональными квадратичными формами с четырьмя переменными, укрепив свои диссертационные исследования 1924 года по пяти или более переменным.

Пусть a , b , m — натуральные числа . Затем

$K(a,b;m)=\sum _{\stackrel {0\leq x\leq m-1}{\gcd(x,m)=1}}e^{{\frac {2\pi i}{m}}(ax+bx^{*})}.$

Здесь x* является обратным x по модулю m .

Контекст

Суммы Клоостермана являются конечным кольцевым аналогом функций Бесселя . Они встречаются (например) в разложении Фурье модулярных форм .

Существуют приложения к средним значениям , включающие дзета-функцию Римана , простые числа в коротких интервалах, простые числа в арифметических прогрессиях, спектральную теорию автоморфных функций и смежные темы.

Свойства сумм Клоостермана.

• Если a = 0 или b = 0 , то сумма Клоостермана сводится к сумме Рамануджана .
• K ( a , b ; m ) зависит только от класса вычетов a и b по модулю m . Кроме того, K ( a , b ; m ) = K ( b , a ; m ) и K ( ac , b ; m ) = K ( a , bc ; m ), если gcd( c , m ) = 1 .
• Пусть m = m ₁ m ₂ , где m ₁ и m ₂ взаимно простые. Выберем n ₁ и n ₂ такие, что n ₁ m ₁ ≡ 1 mod m ₂ и n ₂ m ₂ ≡ 1 mod m ₁ . Затем

$K(a,b;m)=K\left(n_{2}a,n_{2}b;m_{1}\right)K\left(n_{1}a,n_{1}b;m_{2}\right).$

Это сводит вычисление сумм Клоостермана к случаю, когда m = p ^к для простого числа p и целого числа k ≥ 1 .

• Значение K ( a , b ; m ) всегда является алгебраическим действительным числом . Фактически K ( a , b ; m ) является элементом подполя $K\subset \mathbb {R}$ который представляет собой совокупность полей

$\mathbb {Q} \left(\zeta _{p^{\alpha }}+\zeta _{p^{\alpha }}^{-1}\right)$

где p пробегает все нечетные простые числа такие, что p ^а || м и

$\mathbb {Q} \left(\zeta _{2^{\alpha -1}}+\zeta _{2^{\alpha -1}}^{-1}\right)$

для 2 ^а || м с α > 3 .

• Личность Сельберга:

$K(a,b;m)=\sum _{d\mid \gcd(a,b,m)}d\cdot K\left({\tfrac {ab}{d^{2}}},1;{\tfrac {m}{d}}\right).$

была сформулирована Атле Сельбергом и впервые доказана Кузнецовым с использованием спектральной теории модулярных форм . В настоящее время известны элементарные доказательства этого тождества.

• Поскольку p — нечетное простое число, не существует известных простых формул для K ( a , b ; p ) , а гипотеза Сато-Тейта предполагает, что ни одна не существует. Однако приведенные ниже формулы подъема часто не уступают явной оценке. Если gcd( a , p ) = 1, также происходит важное преобразование:

$K(a,a;p)=\sum _{m=0}^{p-1}\left({\frac {m^{2}-4a^{2}}{p}}\right)e^{\frac {2\pi im}{p}},$

где $\left({\tfrac {\ell }{m}}\right)$ обозначает символ Якоби .

• Пусть m = p ^к при k > 1, p простое число и предположим, что gcd( p , 2 ab ) = 1 . Затем:

$K(a,b;m)={\begin{cases}2\left({\frac {\ell }{m}}\right){\sqrt {m}}{\text{ Re}}\left(\varepsilon _{m}e^{\frac {4\pi i\ell }{m}}\right)&\left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {b}{p}}\right)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

где ℓ выбран так, что ℓ ² ≡ ab mod m и ε _m определяется следующим образом (обратите внимание, что m нечетно):

$\varepsilon _{m}={\begin{cases}1&m\equiv 1{\bmod {4}}\\i&m\equiv 3{\bmod {4}}\end{cases}}$

Эту формулу впервые нашел Ганс Салие. и в литературе имеется много простых доказательств.

Оценки

Поскольку суммы Клоостермана встречаются в разложении Фурье модулярных форм, оценки сумм Клоостермана также дают оценки коэффициентов Фурье модулярных форм. Самая известная оценка принадлежит Андре Вейлю и гласит:

$|K(a,b;m)|\leq \tau (m){\sqrt {\gcd(a,b,m)}}{\sqrt {m}}.$

Здесь $\tau (m)$ — количество положительных делителей m . Благодаря мультипликативным свойствам сумм Клоостермана эти оценки могут быть сведены к случаю, когда m — простое число p . Фундаментальный метод Вейля уменьшает оценку

$|K(a,b;p)|\leq 2{\sqrt {p}},$

когда ab ≠ 0, к его результатам о локальных дзета-функциях . Геометрически сумма берется вдоль «гиперболы» XY = ab , и мы рассматриваем это как определение алгебраической кривой над конечным полем с p элементами. Эта кривая имеет разветвленное покрытие Артина-Шрайера C , и Вейль показал, что локальная дзета-функция C имеет факторизацию; это теория L-функций Артина для случая глобальных полей , которые являются функциональными полями, для которой Вейль приводит в качестве ссылки на статью Дж. Вайссингера 1938 года (в следующем году он привел статью Хассе 1935 года в качестве более ранней ссылки на эту идею); учитывая довольно клеветническое замечание Вейля о способностях специалистов по аналитической теории чисел самостоятельно разработать этот пример в его Сборнике статей , эти идеи, по-видимому, были довольно давним «фольклором»). Неполярные факторы имеют тип 1 − Kt , где K — сумма Клоостермана. Тогда эта оценка следует из основной работы Вейля 1940 года.

На самом деле этот метод показывает в гораздо более общем плане, что полные экспоненциальные суммы «вдоль» алгебраических многообразий имеют хорошие оценки в зависимости от гипотез Вейля в размерности > 1. Гораздо дальше его продвинули Пьер Делинь , Жерар Ломон и Николас Кац .

Краткие суммы Клоостермана

Короткие суммы Клоостермана определяются как тригонометрические суммы вида

$\sum _{n\in A}\exp \left(2\pi i{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right),$

где n проходит через набор A чисел , взаимно простых с m , количество элементов $\|A\|$ в котором существенно меньше m , а символ $n^{*}$ обозначает класс сравнения, обратный n по модулю m : $nn^{*}\equiv 1{\bmod {m}}.$

До начала 1990-х годов оценки сумм такого типа были известны преимущественно в случае, когда число слагаемых превышало √ m . Такие оценки были сделаны Х.Д. Клоостерманом , И.М. Виноградовым , Х. Салие, Л. Карлитц , С. Утияма и А. Вейль . Исключение составляли лишь специальные модули вида m = p ^а , где p — фиксированное простое число, а показатель степени α возрастает до бесконечности (этот случай исследовался А. Г. Постниковым с помощью метода Ивана Матвеевича Виноградова ).

В 1990-е годы Анатолий Алексеевич Карацуба разработал новый метод оценки коротких сумм Клоостермана. Метод Карацубы позволяет оценивать суммы Клоостермана, число слагаемых в которых не превышает $m^{\varepsilon }$, а в некоторых случаях даже $\exp\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}$, где $\varepsilon >0$ — сколь угодно малое фиксированное число. Последняя статья А. А. Карацубы по этой теме. была опубликована после его смерти.

Различные аспекты метода Карацубы нашли применение при решении следующих задач аналитической теории чисел:

• нахождение асимптотики сумм дробных частей вида:

${\sum _{n\leq x}}'\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},{\sum _{p\leq x}}'\left\{{\frac {ap^{*}+bp}{m}}\right\},$

где n пробегает одно за другим целые числа, удовлетворяющие условию $(n,m)=1$, а p пробегает простые числа, не делящие модуль m (А.А.Карацуба);

• нахождение нижней оценки числа решений неравенств вида:

$\alpha <\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\}\leq \beta$

в целых числах n , 1 ≤ n ≤ x , взаимно простых с m , $x<{\sqrt {m}}$(А.А. Карацуба);

• точность аппроксимации произвольного действительного числа на отрезке [0, 1] дробными частями вида:

$\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},$

где $1\leq n\leq x,(n,m)=1,x<{\sqrt {m}}$(А.А. Карацуба);

• более точная константа c в теореме Брюна – Титчмарша :

$\pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}},$

где $\pi (x;q,l)$ — количество простых чисел p , не превышающих x и принадлежащих арифметической прогрессии $p\equiv l{\bmod {q}}$ ( Й. Фридлендер , Х. Иванец );

• нижнюю оценку наибольшего простого делителя произведения чисел вида: n ³ + 2, N < n ≤ 2 N .( Д. Р. Хит-Браун );
• доказывая, что существует бесконечно много простых чисел вида: a ² + б ⁴ .( Дж. Фридлендер , Х. Иванец );
• комбинаторные свойства множества чисел (А.А.Глибичук):

$n^{*}{\bmod {m}},1\leq n\leq m^{\varepsilon }.$

Поднятие сумм Клоостермана

Хотя суммы Клоостермана в целом не могут быть вычислены, их можно «перенести» на поля алгебраических чисел, что часто дает более удобные формулы. Позволять $\tau$ быть целым числом без квадратов с $\gcd(\tau ,m)=1.$ Предположим, что для любого простого множителя p числа m имеем

$\left({\frac {\tau }{p}}\right)=-1.$

Тогда для всех целых чисел a , b, взаимно простых с m, имеем

$K(a,b;m)=(-1)^{\Omega (m)}\sum _{\stackrel {v,w{\bmod {m}}}{v^{2}-\tau w^{2}\equiv ab{\bmod {m}}}}e^{\frac {4\pi iv}{m}}.$

Здесь Ω( m ) — количество простых делителей числа m с учетом кратности. Сумму справа можно интерпретировать как сумму по целым алгебраическим числам в поле $\mathbb {Q} ({\sqrt {\tau }}).$ Эта формула принадлежит Янбо Йе, вдохновленному Доном Загиром и расширившему работу Эрве Жаке и Йе по формуле относительного следа для GL(2) . Действительно, можно поднять гораздо более общие экспоненциальные суммы.

Формула следа Кузнецова

Основная статья: Формула следа Кузнецова

Формула Кузнецова, или относительная формула следов , связывает суммы Клоостермана на глубоком уровне со спектральной теорией автоморфных форм . Первоначально это можно было бы сформулировать следующим образом. Позволять $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ быть достаточно « хорошо себя ведущей » функцией. Тогда называют тождества следующего типа формулой следа Кузнецова :

$\sum _{c\equiv 0{\bmod {N}}}c^{-r}K(m,n,c)g\left({\frac {4\pi {\sqrt {mn}}}{c}}\right)={\text{ Integral transform }}\ +\ {\text{ Spectral terms}}.$

Часть интегрального преобразования — это некоторое интегральное преобразование g , а спектральная часть — это сумма коэффициентов Фурье, взятых по пространствам голоморфных и неголоморфных модулярных форм, скрученных некоторым интегральным преобразованием g . Формула следов Кузнецова была найдена Кузнецовым при изучении роста автоморфных функций веса нуль. Используя оценки сумм Клоостермана, он смог получить оценки коэффициентов Фурье модулярных форм в тех случаях, когда Пьера Делинь доказательство гипотезы Вейля было неприменимо.

Позже Жаке перевел его в рамки теории представлений . Пусть G — редуктивная группа над числовым полем F и $H\subset G$ быть подгруппой. В то время как обычная формула следов изучает гармонический анализ на G , формула относительного следа является инструментом для изучения гармонического анализа на симметричном пространстве G / H . Обзор и многочисленные варианты применения см. в ссылках.

История

Оценку Вейля теперь можно изучить в книге В. М. Шмидта , Уравнения над конечными полями: элементарный подход , 2-е изд. (Кендрик Пресс, 2004). Основные идеи здесь принадлежат С. Степанову и черпают вдохновение из Акселя Туэ работ по диофантовому приближению .

Существует множество связей между суммами Клоостермана и модулярными формами . Фактически суммы впервые появились (без названия) в статье Анри Пуанкаре о модулярных формах в 1912 году. Ганс Салье ввел форму суммы Клоостермана, искаженную характером Дирихле : Такие суммы Салье имеют элементарную оценку.

После открытия Кузнецовым в 1979 году важных формул, связывающих суммы Клоостермана с неголоморфными модулярными формами получили дальнейшее развитие , которые содержали некоторую «экономию в среднем» по сравнению с оценкой квадратного корня, Иванец и Дешуйе в основополагающей статье в Inventiones Mathematicae ( 1982). Последующие приложения к аналитической теории чисел были разработаны рядом авторов, в частности Бомбьери , Фуври, Фридлендером и Иванцем.

Поле остается несколько недоступным. Подробное введение в спектральную теорию, необходимое для понимания формул Кузнецова, дано в RC Baker, Kloosterman Sums and Maass Forms , vol. Я (Кендрик Пресс, 2003). Для студентов и исследователей, интересующихся этой областью, также актуальна работа Iwaniec & Kowalski (2004) .

Итан Чжан использовал суммы Клоостермана в своем доказательстве ограниченности промежутков между простыми числами.

См. также

• Хассе связан

Ссылки

• Архипов Г.И.; Чубариков В.Н.; Карацуба, А.А. (2004). Тригонометрические суммы в теории чисел и анализе . Выставки де Грюйтера по математике. Том. 39. Берлин – Нью-Йорк: Вальтер де Грюйтер. ISBN  3-11-016266-0 . Збл   1074.11043 .
• Иванец, Хенрик ; Ковальски, Эммануэль (2004). Аналитическая теория чисел . Публикации коллоквиума. Том. 53. Американское математическое общество . ISBN  0-8218-3633-1 . Збл   1059.11001 .
• Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1997). Конечные поля . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 20 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-39231-4 . Збл   0866.11069 .
• Вейль, Андре (1948). «О некоторых показательных суммах». Учеб. Натл. акад. Наука . 34 : 204–207. Збл   0032.26102 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Сумма Клоостермана» . Математический мир .
• «Сумма Клоостермана» . ПланетаМатематика .
• «Граница Бомбьери-Вейля — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org .