Алгебраическое целое число

Эта статья о кольце целых комплексных чисел по $\mathbb {Z}$. Общее понятие алгебраического целого числа см. в разделе Целостность .

Не путать с алгебраическим элементом или алгебраическим числом .

В теории алгебраических чисел алгебраическое целое число — это комплексное число , являющееся целым по целым числам . То есть целое алгебраическое число является комплексным корнем некоторого монического многочлена ( многочлена которого , старший коэффициент равен 1), коэффициенты которого являются целыми числами. Множество всех целых алгебраических чисел A замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения и, следовательно, является коммутативным подкольцом комплексных чисел.

Определения

Ниже приведены эквивалентные определения целого алгебраического числа.

• $\alpha \in \mathbb {C}$ является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда существует монический полином $f(x)\in \mathbb {Z} [x]$ такой, что $f(\alpha )=0$.
• $\alpha \in \mathbb {C}$ является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда минимальный монический полином $\alpha$ над $\mathbb {Q}$ в $\mathbb {Z} [x]$.
• $\alpha \in \mathbb {C}$ является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда $\mathbb {Z} [\alpha ]$ конечно порождена как абелева группа (т. е. как $\mathbb {Z}$-модуль).
• $\alpha \in \mathbb {C}$ является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда существует ненулевое конечно порожденное $\mathbb {Z}$- субмодуль $M\subset \mathbb {C}$ такой, что $\alpha M\subseteq M$.

в числовом

Понятие целого алгебраического числа в числовом поле K можно определить так же, как понятие целого алгебраического числа в комплексных числах. Каждое алгебраическое целое число $\alpha \in \mathbb {C}$ также принадлежит кольцу целых чисел числового поля, а именно полю $\mathbb {Q} (\alpha ).$

Кольцо целых чисел в K , обозначаемое ${\mathcal {O}}_{K},$определяется как набор всех целых алгебраических чисел в K . Если K является подмножеством $\mathbb {C}$, то кольцо целых чисел ${\mathcal {O}}_{K}$ просто пересечение K A и . это также можно охарактеризовать более абстрактно, как максимальный порядок K Его или использовать следующий критерий (который обеспечивает другое эквивалентное определение понятия алгебраического целого числа):

• $\alpha \in K$ является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда $\nu (\alpha )\geq 0$ для каждой дискретной оценки $\nu :K\to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}.$

Примеры

• Единственные целые алгебраические числа, которые встречаются в множестве рациональных чисел, — это целые числа. Другими словами, пересечение $\mathbb {Q}$ и А точно $\mathbb {Z}$. Рациональное число a / b не является целым алгебраическим числом, если b не делит a . Старшим коэффициентом многочлена bx − a является целое число b . Еще один частный случай: квадратный корень ${\sqrt {n}}$ неотрицательного целого числа n является алгебраическим целым числом, но иррационально , если только n не является полным квадратом .
• Если d — целое число без квадратов , то расширение $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)$— квадратичное поле рациональных чисел. Кольцо целых алгебраических чисел O _K содержит ${\sqrt {d}}$ так как это корень монического многочлена x ² - д . Более того, если d ≡ 1 mod 4 , то элемент ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$также является целым алгебраическим числом. Он удовлетворяет полиному x ² − х + 1/4 , постоянный (1 − d ) где член 1/4 целое d (1 − ) — число. Полное кольцо целых чисел генерируется ${\sqrt {d}}$ или ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$соответственно. см. в разделе Квадратное целое число . Дополнительную информацию
• Кольцо целых чисел поля $F=\mathbb {Q} [\alpha ]$, а = ³ √ m имеет следующий целочисленный базис , записывая m = hk ² для двух без квадратов взаимно простых целых чисел h и k :
  $${\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$
• Если ζ _n — примитивный корень n-й степени из единицы , то кольцо целых чисел кругового поля $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ это именно $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$.
• Если α — целое алгебраическое число, то β = ^н √ α — еще одно алгебраическое целое число. Полином для β получается заменой x ^н в полиноме для α .

Непример

• Если P ( x ) является примитивным полиномом с целыми коэффициентами, но не является моническим, P неприводим и по $\mathbb {Q}$, то ни один из корней P не является целым алгебраическим числом (но является алгебраическим числом ). Здесь примитив используется в том смысле, что старший общий делитель коэффициентов P равен 1; это слабее, чем требование, чтобы коэффициенты были попарно относительно простыми.

Факты

• Сумма, разность и произведение двух целых алгебраических чисел является целым алгебраическим числом. В общем, их частного нет. Используемый монический многочлен обычно имеет более высокую степень , чем у исходных алгебраических целых чисел, и его можно найти, взяв результирующие значения и разложив их на множители. Например, если х ² − x − 1 = и 0 ³ − y − 1 = 0 и z = xy , затем исключение x и y из z − xy = 0 и полиномов, удовлетворяющих x и y , с использованием полученного результата дает z ⁶ − 3 з ⁴ − 4 з ³ + я ² + z − 1 = 0 , которое неприводимо и представляет собой моническое уравнение, которому удовлетворяет произведение. (Чтобы увидеть, что xy является корнем x -результата z − xy и x ² − x − 1 , можно использовать тот факт, что результат содержится в идеале , порожденном двумя входными полиномами.)
• Следовательно, любое число, которое можно составить из целых чисел с корнями, сложением и умножением, является алгебраическим целым числом; но не все целые алгебраические числа являются такими конструктивными: в наивном смысле большинство корней неприводимых квинтик таковыми не являются. Это теорема Абеля-Руффини .
• Каждый корень монического многочлена, коэффициенты которого являются целыми алгебраическими числами, сам по себе является целым алгебраическим числом. Другими словами, целые алгебраические числа образуют кольцо, целозамкнутое в любом из своих расширений.
• Кольцо целых алгебраических чисел является областью Безу , как следствие теоремы о главном идеале .
• Если унитарный полином, связанный с целым алгебраическим числом, имеет постоянный член 1 или -1, то обратное число этого алгебраического целого числа также является целым алгебраическим числом, и каждый из них является единицей , элементом группы единиц кольца целых алгебраических чисел.
• Если x — алгебраическое число, то a _n x — целое алгебраическое число, где x удовлетворяет полиному p ( x ) с целыми коэффициентами и где a _n x ^н является членом высшей степени p ( x ) . Значение y = a _n x является целым алгебраическим числом, поскольку оно является корнем q ( y ) = a ^{п - 1}
  _n   p ( y / a _n ) , где q ( y ) — монический полином с целыми коэффициентами.
• Если x — алгебраическое число, то его можно записать как отношение целого алгебраического числа к ненулевому целому алгебраическому числу. Фактически, знаменатель всегда можно выбрать как целое положительное число. Соотношение | п _​ | х / | п _​ | , где x удовлетворяет полиному p ( x ) с целыми коэффициентами и где a _n x ^н является членом высшей степени p ( x ) .

См. также

• Интегральный элемент
• Гауссово целое число
• целое число Эйзенштейна
• Корень единства
• Теорема Дирихле о единице
• Основные единицы

Ссылки

• Штейн, Уильям . Алгебраическая теория чисел: вычислительный подход (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 2 ноября 2013 г.