Домен Безу

В математике область Безу — это область целостности , в которой сумма двух главных идеалов также является главным идеалом. Это означает, что тождество Безу справедливо для любой пары элементов и что каждый конечно порожденный идеал является главным. Домены Безу — это разновидность домена Прюфера .

Любая область главных идеалов (PID) является областью Безу, но область Безу не обязательно должна быть нетеровым кольцом , поэтому она может иметь неконечно порожденные идеалы; если да, то это не уникальный домен факторизации (UFD), но все же домен GCD . Теория доменов Безу сохраняет многие свойства PID, не требуя нетеровости.

Домены Безу названы в честь французского математика Этьена Безу .

Примеры

Все PID являются доменами Безу.
Примеры областей Безу, которые не являются PID, включают кольцо целых функций (функций, голоморфных на всей комплексной плоскости) и кольцо всех алгебраических целых чисел . ^{[ 1 ]} В случае целых функций единственными неприводимыми элементами являются функции, связанные с полиномиальной функцией степени 1, поэтому элемент имеет факторизацию только в том случае, если он имеет конечное число нулей. В случае целых алгебраических чисел неприводимых элементов вообще нет, поскольку для любого целого алгебраического числа его квадратный корень (например) также является целым алгебраическим числом. В обоих случаях это показывает, что кольцо не является UFD и, следовательно, не PID.
Кольца оценок представляют собой области Безу. Любое ненетерово кольцо нормирования является примером ненетеровой области Безу.
Следующая общая конструкция создает домен S Безу , который не является UFD, из любого домена Безу R , который не является полем, например, из PID; случай R = Z — это основной пример, который следует иметь в виду. Пусть F — поле частных R — , и положим S = R + XF [ X ] подкольцо многочленов в F [ X с постоянным членом в R. ] Это кольцо не нётерово, поскольку элемент типа X с нулевым постоянным членом может бесконечно делиться необратимыми элементами кольца R , которые все еще необратимы в S , а идеал, порожденный всеми этими факторами кольца, не является конечно порожденным (и поэтому X имеет нет факторизации в S ). Следующим образом показывается, что S — область Безу.

Достаточно доказать, что для каждой пары a , b в S существуют s , t в S такие, что as + bt делит и a , и b .
Если a и b имеют общий делитель d , достаточно доказать это для a / d и b / d те же s , t . , поскольку подойдут
Мы можем предположить, что полиномы a и b ненулевые; если оба имеют нулевой постоянный член, то пусть n — минимальный показатель степени такой, что хотя бы один из них имеет ненулевой коэффициент при X ^н; можно найти f в F такую, что fX ^н является общим делителем a и b и делим на него.
Поэтому мы можем предположить, что по крайней мере один из a и b имеет ненулевой постоянный член. Если a и b, рассматриваемые как элементы F [ X ], не являются относительно простыми, в этом UFD существует наибольший общий делитель a и b , который имеет постоянный член 1 и, следовательно, лежит в S ; мы можем разделить на этот коэффициент.
Поэтому мы также можем предположить, что a и b взаимно просты в F [ X ], так что 1 лежит в aF [ X ] + bF [ X ] , а некоторый постоянный многочлен r из R лежит в aS + bS . Кроме того, поскольку R является областью Безу, НОД d в R постоянных членов a ₀ и b ₀ лежит в a ₀ R + b ₀ R . Поскольку любой элемент без постоянного члена, например a − a ₀ или b − b ₀ , делится на любую ненулевую константу, константа d является общим делителем в S чисел a и b ; мы покажем, что это на самом деле наибольший общий делитель, показав, что он лежит в aS + bS . Умножение a и b соответственно на коэффициенты Безу для d относительно a ₀ и b ₀ дает полином p от aS + bS с постоянным членом d . Тогда p − d имеет нулевой постоянный член и поэтому является кратным в S постоянному многочлену r и, следовательно, лежит в aS + bS . Но тогда то же самое делает и d , что завершает доказательство.

Характеристики

Кольцо является областью Безу тогда и только тогда, когда оно является областью целостности, в которой любые два элемента имеют наибольший общий делитель , который является их линейной комбинацией : это эквивалентно утверждению, что идеал, порожденный двумя элементами, также является областью Безу. порождается одним элементом, а индукция показывает, что все конечно порожденные идеалы являются главными. Выражение наибольшего общего делителя двух элементов ПИД в виде линейной комбинации часто называют тождеством Безу , откуда и терминология.

Обратите внимание, что приведенное выше условие НОД сильнее, чем простое существование НОД. Область целостности, в которой НОД существует для любых двух элементов, называется областью НОД, и, следовательно, домены Безу являются доменами НОД. В частности, в области Безу неприводимые являются простыми (но, как показывает пример с алгебраическими целыми числами, они не обязательно должны существовать).

Для области Безу R следующие условия эквивалентны:

R — область главных идеалов.
R — нетерово.
R — это уникальная область факторизации (UFD).
R удовлетворяет условию возрастающей цепи главных идеалов (ACCP).
Каждая ненулевая неединица в R разлагается на произведение неприводимых (R — атомная область ).

Эквивалентность (1) и (2) отмечалась выше. Поскольку область Безу является областью НОД, отсюда сразу следует, что (3), (4) и (5) эквивалентны. Наконец, если R не нётерово, то существует бесконечная возрастающая цепочка конечно порожденных идеалов, поэтому в области Безу бесконечная возрастающая цепочка главных идеалов. Таким образом, (4) и (2) эквивалентны.

Область Безу — это область Прюфера , т. е. область, в которой каждый конечно порожденный идеал обратим, или, другими словами, коммутативная полунаследственная область.)

Следовательно, можно рассматривать эквивалентность «домен Безу тогда и только тогда, когда домен Прюфера и НОД-домен» аналогичен более знакомому «PID тогда и только тогда, когда домен Дедекинда и УФО».

Области Прюфера можно охарактеризовать как области целостности, локализации которых во всех простых (т. е. во всех максимальных ) идеалах являются областями нормирования . Таким образом, локализация области Безу в простом идеале является областью нормирования. Поскольку обратимый идеал в локальном кольце является главным, локальное кольцо является областью Безу тогда и только тогда, когда оно является областью нормирования. Более того, область нормирования с нециклической (эквивалентно недискретной ) группой значений не является нетеровой, и каждая полностью упорядоченная абелева группа является группой значений некоторой области нормирования. Это дает множество примеров ненетеровских областей Безу.

В некоммутативной алгебре правые области Безу — это области, чьи конечно порожденные правые идеалы являются главными правыми идеалами, то есть имеют форму xR для некоторого x из R . Одним из примечательных результатов является то, что правая область Безу является правой областью Оре . Этот факт не представляет интереса в коммутативном случае, поскольку каждая коммутативная область является областью Оре. Правые области Безу также являются полунаследственными справа кольцами.

Модули в домене Безу

Некоторые факты о модулях через PID распространяются и на модули в домене Безу. Пусть R — область Безу и M — порождённый модуль над R. конечно Тогда M плоское тогда и только тогда, когда оно не имеет кручения. ^{[ 2 ]}

См. также

Полупихта (коммутативная полуель - это в точности область Безу.)
Кольцо Безу

Ссылки

^ Кон
^ Бурбаки 1989 , Глава I, §2, № 4, Предложение 3

Библиография

Кон, П.М. (1968), «Кольца Безу и их подкольца» (PDF) , Proc. Кембриджская философия. Соц. , 64 : 251–264, doi : 10.1017/s0305004100042791 , MR 0222065
Хельмер, Олаф (1940), «Свойства делимости целых функций», Duke Math. J. , 6 : 345–356, doi : 10.1215/s0012-7094-40-00626-3 , ISSN 0012-7094 , MR 0001851
Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца , Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. x+180, MR 0254021.
Бурбаки, Николя (1989), Коммутативная алгебра
«Кольцо Безу» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Кон

[2] Бурбаки 1989 , Глава I, §2, № 4, Предложение 3

[ 1 ]

[ 2 ]