Jump to content

Оценочное кольцо

В абстрактной алгебре кольцо нормирования — это область целостности D такая, что для каждого ненулевого элемента x его поля частных F хотя бы один из x или x −1 принадлежит Д.

Для данного поля F , если D является подкольцом F x таким, что либо , либо x −1 принадлежит D ненулевого x в F , то D называется кольцом нормирования поля F или местом в F. для каждого Поскольку F в этом случае действительно является полем частных D , кольцо нормирования поля является кольцом нормирования. Другой способ охарактеризовать кольца нормирования поля F состоит в том, что кольца нормирования D поля F имеют F в качестве поля частных, а их идеалы упорядочены полностью путем включения ; или, что то же самое, их главные идеалы полностью упорядочены путем включения. В частности, каждое нормированное кольцо является локальным кольцом .

Кольца нормирования поля — это максимальные элементы множества локальных подколец в поле, частично упорядоченных по доминированию или уточнению . [1] где

доминирует если и . [2]

Каждое локальное кольцо в поле K мажорируется некоторым кольцом нормирования K. поля

Область целостности, локализация которой в любом простом идеале является кольцом нормирования, называется областью Прюфера .

Определения [ править ]

Существует несколько эквивалентных определений кольца оценок (характеристику с точки зрения доминирования см. ниже). Для области целостности D и ее поля частных K следующие условия эквивалентны:

  1. Для каждого ненулевого x в K хотя бы один из x или x −1 в Д. находится
  2. Идеалы D по полностью упорядочены включению.
  3. Главные идеалы D по полностью упорядочены включению (т.е. элементы в D полностью упорядочены до единиц с точностью по делимости ).
  4. Существует полностью упорядоченная абелева группа Γ (называемая группой значений ) и нормирование ν: K → Γ ∪ {∞} с D = { x K | ν( х ) ≥ 0 }.

Эквивалентность первых трех определений легко вытекает. Теорема ( Крулл, 1939 ) утверждает, что любое кольцо , удовлетворяющее первым трем условиям, удовлетворяет четвертому: возьмем Γ в качестве фактора K × / Д × единичной группы K и на единичную группу D возьмем ν в качестве естественной проекции. Мы можем превратить Γ в полностью упорядоченную группу , объявив вычетные классы элементов группы D «положительными». [а]

Более того, для любой вполне упорядоченной абелевой группы Γ существует кольцо нормирования D с группой значений Γ (см. ряд Хана ).

Из того факта, что идеалы кольца нормирования полностью упорядочены, можно заключить, что кольцо нормирования является локальной областью и что каждый конечно порожденный идеал кольца нормирования является главным (т. е. кольцо нормирования является областью Безу ). Фактически, это теорема Крулля о том, что область целостности является кольцом нормирования тогда и только тогда, когда она является локальной областью Безу. [3] Отсюда также следует, что кольцо нормирования нётерово тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов . В этом случае оно либо является полем, либо имеет ровно один ненулевой простой идеал; в последнем случае оно называется кольцом дискретного нормирования . (По соглашению поле не является кольцом дискретного нормирования.)

Группа значений называется дискретной , если она изоморфна аддитивной группе целых чисел , а кольцо нормирования имеет группу дискретного нормирования тогда и только тогда, когда оно является кольцом дискретного нормирования . [4]

Очень редко кольцо оценки может относиться к кольцу, которое удовлетворяет второму или третьему условию, но не обязательно является доменом. Более распространенный термин для этого типа колец — однорядное кольцо .

Примеры [ править ]

  • Любое поле является оценочным кольцом. Например, поле рациональных функций об алгебраическом многообразии . [5] [6]
  • Простой пример - это область целостности. поскольку инверсия общего является .
  • Поле силового ряда :
имеет оценку . Подкольцо также является оценочным кольцом.
  • локализация целых чисел в простом идеале ( p ), состоящем из отношений, где числитель — любое целое число, а знаменатель не делится на p . Поле дробей – это поле рациональных чисел
  • Кольцо мероморфных функций на всей комплексной плоскости , имеющих ряд Маклорена ( разложение в ряд Тейлора в нуле), является кольцом нормирования. Полем дробей являются функции, мероморфные на всей плоскости. Если f не имеет ряда Маклорена, то он есть у 1/ f .
  • Любое кольцо p -адических целых чисел для данного простого числа p является локальным кольцом с полем частных p -адических чисел. . Интегральное закрытие целых p -адических чисел также является локальным кольцом с полем дробей ( алгебраическое замыкание p -адических чисел). Оба и являются оценочными кольцами.
  • Пусть k упорядоченное поле . Элемент k называется конечным, если он лежит между двумя целыми числами n < x < m ; в противном случае его называют бесконечным. Множество D конечных элементов поля k является кольцом нормирования. Множество элементов x таких, что x D и x −1 D — множество бесконечно малых элементов; и элемент x такой, что x D и x −1 D называется бесконечным.
  • Кольцо F конечных элементов гипервещественного поля * R (упорядоченное поле, содержащее действительные числа ) является кольцом нормирования * R . F состоит из всех гипердействительных чисел, отличающихся от стандартного действительного на бесконечно малую величину, что эквивалентно высказыванию гипердействительного числа x такого, что − n < x < n для некоторого стандартного целого числа n . Поле вычетов , конечные гипердействительные числа по модулю идеала бесконечно малых гипердействительных чисел, изоморфно действительным числам.
  • Типичный геометрический пример — алгебраические плоские кривые . Рассмотрим кольцо полиномов и неприводимый полином в этом ринге. Затем кольцо — кольцо полиномиальных функций на кривой . Выберите точку такой, что и это правильная точка на кривой; т. е. локальное кольцо R в точке является регулярным локальным кольцом размерности Крулля один или кольцом дискретного нормирования .
  • Например, рассмотрим включение . Все это подкольца в области ограниченных снизу степенных рядов. .

и интегральная замкнутость Доминирование

Единицы x или обратимые элементы кольца нормирования — это элементы в D такие , что x  −1 является членом D. также Другие элементы D не имеют обратного в D и образуют идеал M. , называемые неединицами , является максимальным среди (полностью упорядоченных) идеалов D. Поскольку M идеал , факторкольцо D / M является полем, называемым полем вычетов D. максимальный Этот идеал

В общем, мы говорим локальное кольцо доминирует на местном ринге если и ; другими словами, включение является локальным кольцевым гомоморфизмом . Каждое местное кольцо в поле K доминирует некоторое кольцо нормирования поля K . Действительно, множество, состоящее из всех подколец R кольца K, содержащих A и непусто и индуктивен; таким образом, имеет максимальный элемент по лемме Цорна . Мы утверждаем, что R — кольцо нормирования. R — локальное кольцо с максимальным идеалом, содержащим по максимальности. Опять же по максимальности оно также целозамкнуто. Теперь, если , то по максимальности и таким образом мы можем написать:

.

С является единичным элементом, это означает, что является целым по R ; таким образом, это в R . Это доказывает, что R является кольцом нормирования. ( R доминирует над A, поскольку его максимальный идеал содержит по конструкции.)

Локальное кольцо R в поле K является кольцом нормирования тогда и только тогда, когда оно является максимальным элементом множества всех локальных колец, содержащихся в K, частично упорядоченных по доминантности. Это легко следует из вышесказанного. [б]

Пусть A — подкольцо поля K и в гомоморфизм кольца алгебраически замкнутое поле k . Тогда f продолжается до кольцевого гомоморфизма , D некоторое кольцо нормирования K, содержащее A . (Доказательство: Пусть — максимальное расширение, которое, очевидно, существует по лемме Цорна. По максимальности R — локальное кольцо с максимальным идеалом, ядро ​​f содержащим . Если S — локальное кольцо, доминирующее над R , то S алгебраично над R ; если не, содержит кольцо полиномов до которого продолжается g , что противоречит максимальности. Отсюда следует является алгебраическим полевым расширением . Таким образом, расширяет г ; следовательно, S = R .)

Если подкольцо R поля K содержит кольцо нормирования D поля K , то, согласно определению 1, R также является кольцом нормирования поля K . В частности, R локально и его максимальный идеал стягивается к некоторому простому идеалу из D , скажем, . Затем с доминирует , которое является кольцом нормирования, поскольку идеалы полностью упорядочены. Это наблюдение сводится к следующему: [7] существует биективное соответствие множество всех подколец кольца K, содержащих D . В частности, D целозамкнуто, [8] [с] а размерность Крулла D K — это количество собственных подколец кольца , содержащих D .

В действительности, целочисленное замыкание области целостности A в поле частных есть пересечение K A всех колец нормирования K, содержащих A . [9] Действительно, интегральное замыкание содержится в пересечении, поскольку кольца нормирования целозамкнуты. Обратно, пусть x принадлежит K но не является целым по A. , Поскольку идеал не , [д] он содержится в максимальном идеале . Тогда существует кольцо нормирования R , которое доминирует в локализации в . С , .

Доминирование используется в алгебраической геометрии . Пусть X — алгебраическое многообразие над полем k . Тогда мы говорим кольцо нормирования R в имеет «центр x на X », если доминирует на местном ринге пучка структуры в точке x . [10]

в оценочных Идеалы кольцах

Мы можем описать идеалы в кольце нормирования посредством его группы ценностей.

Пусть Г — вполне упорядоченная абелева группа . Подмножество Δ из Γ называется сегментом , если оно непусто и для любого α из Δ любой элемент между −α и α также находится в Δ (включая конечные точки). Подгруппа группы Γ называется изолированной подгруппой, если она является сегментом и является собственной подгруппой.

Пусть D — кольцо нормирования со нормированием v и группой значений Γ. Для любого подмножества A из D положим быть дополнением союза и в . Если I — собственный идеал, то является сегментом . Фактически, отображение определяет обращающую включение биекцию между множеством собственных идеалов D и множеством сегментов . [11] При этом соответствии ненулевые простые идеалы группы D биективно соответствуют изолированным подгруппам группы Γ.

Пример: Кольцо p -адических целых чисел. представляет собой оценочное кольцо с группой значений . Нулевая подгруппа соответствует единственному максимальному идеалу и всю группу к нулевому идеалу . Максимальный идеал — единственная изолированная подгруппа .

Множество изолированных подгрупп полностью упорядочено по включению. Высота . или ранг r (Γ) группы Γ определяется как мощность множества изолированных подгрупп группы Γ Поскольку ненулевые простые идеалы вполне упорядочены и соответствуют изолированным подгруппам группы Γ, высота Γ равна размерности Крулля кольца нормирования D, связанного с Γ.

Наиболее важным частным случаем является высота один, что эквивалентно тому, что Γ является подгруппой действительных чисел. при сложении (или, что то же самое, положительных действительных чисел при умножении.) Кольцо нормирования с нормированием высоты единица имеет соответствующее абсолютное значение, определяющее ультраметрическое место . Особым случаем являются кольца дискретного нормирования, упомянутые ранее.

Рациональный ранг rr (Γ) определяется как ранг группы значений как абелевой группы:

Места [ править ]

Общее определение [ править ]

Местом D поля K гомоморфизм колец p кольца нормирования поля K называется в некоторое поле такой, что для любого , . Образ места — это поле, называемое вычетов p полем . Например, каноническое отображение это место.

Пример [ править ]

Пусть A дедекиндова область и главный идеал. Тогда каноническое отображение это место.

Специализация мест [ править ]

Мы говорим, что место p специализируется на месте p , обозначаемом , если кольцо нормирования p содержит кольцо нормирования p ' . В алгебраической геометрии мы говорим, что простой идеал специализируется на если . Эти два понятия совпадают: тогда и только тогда, когда простой идеал, соответствующий p, специализируется до простого идеала, соответствующего p в некотором кольце нормирования (напомним, что если являются кольцами нормирования одного и того же поля, то D соответствует простому идеалу .)

Пример [ править ]

Например, в поле функции некоторого алгебраического многообразия каждый главный идеал содержится в максимальном идеале дает специализацию .

Замечания [ править ]

Можно показать: если , затем для некоторой позиции q поля вычетов из п . (Наблюдать представляет собой оценочное кольцо и пусть q — соответствующее место; остальное механическое.) Если D — кольцо нормирования p , то его размерность Крулля — это мощность специализаций, отличных от p, до p . Таким образом, для любой точки p с кольцом нормирования D поля K над полем k имеем:

.

Если p — место и A — подкольцо кольца нормирования p , то называется центром p в A .

Места в бесконечности [ править ]

Для функционального поля на аффинном многообразии существуют оценки, не связанные ни с одним из простых чисел . Эти оценки называются местами на бесконечности . [1] Например, аффинная линия имеет функциональное поле . Место, связанное с локализацией

в максимальном идеале

это место в бесконечности.

Примечания [ править ]

  1. ^ Точнее, Γ полностью упорядочен, определяя тогда и только тогда, когда где [ x ] и [ y ] — классы эквивалентности в Γ. ср. Эфрат (2006) , с. 39
  2. ^ Доказательство: если R — максимальный элемент, то он доминируется кольцом нормирования; таким образом, оно само должно быть оценочным кольцом. Обратно, пусть R — кольцо нормирования, а S — локальное кольцо, которое доминирует над R , но не доминирует над R . Существует x который находится в S , но не находится в R. , Затем находится в R и фактически в максимальном идеале R . Но тогда , что абсурдно. быть не может Следовательно, такого S .
  3. ^ Чтобы более наглядно увидеть, что кольца нормирования целозамкнуты, предположим, что x н + 1 х п -1 + ... + a 0 = 0. Тогда деление на х п -1 дает нам x = − a 1 − ... − a 0 x п +1 . Если бы x не было в D , то x −1 будет в D, и это будет выражать x как конечную сумму элементов в D , так что x будет в D , противоречие.
  4. ^ В общем, является целым по A тогда и только тогда, когда

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 71f518ed9a58effcdc638ee747e1bd09__1713307620
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/71/09/71f518ed9a58effcdc638ee747e1bd09.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Valuation ring - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)