Оценочное кольцо
В абстрактной алгебре кольцо нормирования — это область целостности D такая, что для каждого ненулевого элемента x его поля частных F хотя бы один из x или x −1 принадлежит Д.
Для данного поля F , если D является подкольцом F x таким, что либо , либо x −1 принадлежит D ненулевого x в F , то D называется кольцом нормирования поля F или местом в F. для каждого Поскольку F в этом случае действительно является полем частных D , кольцо нормирования поля является кольцом нормирования. Другой способ охарактеризовать кольца нормирования поля F состоит в том, что кольца нормирования D поля F имеют F в качестве поля частных, а их идеалы упорядочены полностью путем включения ; или, что то же самое, их главные идеалы полностью упорядочены путем включения. В частности, каждое нормированное кольцо является локальным кольцом .
Кольца нормирования поля — это максимальные элементы множества локальных подколец в поле, частично упорядоченных по доминированию или уточнению . [1] где
- доминирует если и . [2]
Каждое локальное кольцо в поле K мажорируется некоторым кольцом нормирования K. поля
Область целостности, локализация которой в любом простом идеале является кольцом нормирования, называется областью Прюфера .
Определения [ править ]
Существует несколько эквивалентных определений кольца оценок (характеристику с точки зрения доминирования см. ниже). Для области целостности D и ее поля частных K следующие условия эквивалентны:
- Для каждого ненулевого x в K хотя бы один из x или x −1 в Д. находится
- Идеалы D по полностью упорядочены включению.
- Главные идеалы D по полностью упорядочены включению (т.е. элементы в D полностью упорядочены до единиц с точностью по делимости ).
- Существует полностью упорядоченная абелева группа Γ (называемая группой значений ) и нормирование ν: K → Γ ∪ {∞} с D = { x ∈ K | ν( х ) ≥ 0 }.
Эквивалентность первых трех определений легко вытекает. Теорема ( Крулл, 1939 ) утверждает, что любое кольцо , удовлетворяющее первым трем условиям, удовлетворяет четвертому: возьмем Γ в качестве фактора K × / Д × единичной группы K и на единичную группу D возьмем ν в качестве естественной проекции. Мы можем превратить Γ в полностью упорядоченную группу , объявив вычетные классы элементов группы D «положительными». [а]
Более того, для любой вполне упорядоченной абелевой группы Γ существует кольцо нормирования D с группой значений Γ (см. ряд Хана ).
Из того факта, что идеалы кольца нормирования полностью упорядочены, можно заключить, что кольцо нормирования является локальной областью и что каждый конечно порожденный идеал кольца нормирования является главным (т. е. кольцо нормирования является областью Безу ). Фактически, это теорема Крулля о том, что область целостности является кольцом нормирования тогда и только тогда, когда она является локальной областью Безу. [3] Отсюда также следует, что кольцо нормирования нётерово тогда и только тогда, когда оно является областью главных идеалов . В этом случае оно либо является полем, либо имеет ровно один ненулевой простой идеал; в последнем случае оно называется кольцом дискретного нормирования . (По соглашению поле не является кольцом дискретного нормирования.)
Группа значений называется дискретной , если она изоморфна аддитивной группе целых чисел , а кольцо нормирования имеет группу дискретного нормирования тогда и только тогда, когда оно является кольцом дискретного нормирования . [4]
Очень редко кольцо оценки может относиться к кольцу, которое удовлетворяет второму или третьему условию, но не обязательно является доменом. Более распространенный термин для этого типа колец — однорядное кольцо .
Примеры [ править ]
- Любое поле является оценочным кольцом. Например, поле рациональных функций об алгебраическом многообразии . [5] [6]
- Простой пример - это область целостности. поскольку инверсия общего является .
- Поле силового ряда :
- имеет оценку . Подкольцо также является оценочным кольцом.
- локализация целых чисел в простом идеале ( p ), состоящем из отношений, где числитель — любое целое число, а знаменатель не делится на p . Поле дробей – это поле рациональных чисел
- Кольцо мероморфных функций на всей комплексной плоскости , имеющих ряд Маклорена ( разложение в ряд Тейлора в нуле), является кольцом нормирования. Полем дробей являются функции, мероморфные на всей плоскости. Если f не имеет ряда Маклорена, то он есть у 1/ f .
- Любое кольцо p -адических целых чисел для данного простого числа p является локальным кольцом с полем частных p -адических чисел. . Интегральное закрытие целых p -адических чисел также является локальным кольцом с полем дробей ( алгебраическое замыкание p -адических чисел). Оба и являются оценочными кольцами.
- Пусть k — упорядоченное поле . Элемент k называется конечным, если он лежит между двумя целыми числами n < x < m ; в противном случае его называют бесконечным. Множество D конечных элементов поля k является кольцом нормирования. Множество элементов x таких, что x ∈ D и x −1 ∉ D — множество бесконечно малых элементов; и элемент x такой, что x ∉ D и x −1 ∈ D называется бесконечным.
- Кольцо F конечных элементов гипервещественного поля * R (упорядоченное поле, содержащее действительные числа ) является кольцом нормирования * R . F состоит из всех гипердействительных чисел, отличающихся от стандартного действительного на бесконечно малую величину, что эквивалентно высказыванию гипердействительного числа x такого, что − n < x < n для некоторого стандартного целого числа n . Поле вычетов , конечные гипердействительные числа по модулю идеала бесконечно малых гипердействительных чисел, изоморфно действительным числам.
- Типичный геометрический пример — алгебраические плоские кривые . Рассмотрим кольцо полиномов и неприводимый полином в этом ринге. Затем кольцо — кольцо полиномиальных функций на кривой . Выберите точку такой, что и это правильная точка на кривой; т. е. локальное кольцо R в точке является регулярным локальным кольцом размерности Крулля один или кольцом дискретного нормирования .
- Например, рассмотрим включение . Все это подкольца в области ограниченных снизу степенных рядов. .
и интегральная замкнутость Доминирование
Единицы x или обратимые элементы кольца нормирования — это элементы в D такие , что x −1 является членом D. также Другие элементы D не имеют обратного в D и образуют идеал M. , называемые неединицами , является максимальным среди (полностью упорядоченных) идеалов D. Поскольку M — идеал , факторкольцо D / M является полем, называемым полем вычетов D. максимальный Этот идеал
В общем, мы говорим локальное кольцо доминирует на местном ринге если и ; другими словами, включение является локальным кольцевым гомоморфизмом . Каждое местное кольцо в поле K доминирует некоторое кольцо нормирования поля K . Действительно, множество, состоящее из всех подколец R кольца K, содержащих A и непусто и индуктивен; таким образом, имеет максимальный элемент по лемме Цорна . Мы утверждаем, что R — кольцо нормирования. R — локальное кольцо с максимальным идеалом, содержащим по максимальности. Опять же по максимальности оно также целозамкнуто. Теперь, если , то по максимальности и таким образом мы можем написать:
- .
С является единичным элементом, это означает, что является целым по R ; таким образом, это в R . Это доказывает, что R является кольцом нормирования. ( R доминирует над A, поскольку его максимальный идеал содержит по конструкции.)
Локальное кольцо R в поле K является кольцом нормирования тогда и только тогда, когда оно является максимальным элементом множества всех локальных колец, содержащихся в K, частично упорядоченных по доминантности. Это легко следует из вышесказанного. [б]
Пусть A — подкольцо поля K и в гомоморфизм кольца алгебраически замкнутое поле k . Тогда f продолжается до кольцевого гомоморфизма , D некоторое кольцо нормирования K, содержащее A . (Доказательство: Пусть — максимальное расширение, которое, очевидно, существует по лемме Цорна. По максимальности R — локальное кольцо с максимальным идеалом, ядро f содержащим . Если S — локальное кольцо, доминирующее над R , то S алгебраично над R ; если не, содержит кольцо полиномов до которого продолжается g , что противоречит максимальности. Отсюда следует является алгебраическим полевым расширением . Таким образом, расширяет г ; следовательно, S = R .)
Если подкольцо R поля K содержит кольцо нормирования D поля K , то, согласно определению 1, R также является кольцом нормирования поля K . В частности, R локально и его максимальный идеал стягивается к некоторому простому идеалу из D , скажем, . Затем с доминирует , которое является кольцом нормирования, поскольку идеалы полностью упорядочены. Это наблюдение сводится к следующему: [7] существует биективное соответствие множество всех подколец кольца K, содержащих D . В частности, D целозамкнуто, [8] [с] а размерность Крулла D K — это количество собственных подколец кольца , содержащих D .
В действительности, целочисленное замыкание области целостности A в поле частных есть пересечение K A всех колец нормирования K, содержащих A . [9] Действительно, интегральное замыкание содержится в пересечении, поскольку кольца нормирования целозамкнуты. Обратно, пусть x принадлежит K но не является целым по A. , Поскольку идеал не , [д] он содержится в максимальном идеале . Тогда существует кольцо нормирования R , которое доминирует в локализации в . С , .
Доминирование используется в алгебраической геометрии . Пусть X — алгебраическое многообразие над полем k . Тогда мы говорим кольцо нормирования R в имеет «центр x на X », если доминирует на местном ринге пучка структуры в точке x . [10]
в оценочных Идеалы кольцах
Мы можем описать идеалы в кольце нормирования посредством его группы ценностей.
Пусть Г — вполне упорядоченная абелева группа . Подмножество Δ из Γ называется сегментом , если оно непусто и для любого α из Δ любой элемент между −α и α также находится в Δ (включая конечные точки). Подгруппа группы Γ называется изолированной подгруппой, если она является сегментом и является собственной подгруппой.
Пусть D — кольцо нормирования со нормированием v и группой значений Γ. Для любого подмножества A из D положим быть дополнением союза и в . Если I — собственный идеал, то является сегментом . Фактически, отображение определяет обращающую включение биекцию между множеством собственных идеалов D и множеством сегментов . [11] При этом соответствии ненулевые простые идеалы группы D биективно соответствуют изолированным подгруппам группы Γ.
Пример: Кольцо p -адических целых чисел. представляет собой оценочное кольцо с группой значений . Нулевая подгруппа соответствует единственному максимальному идеалу и всю группу к нулевому идеалу . Максимальный идеал — единственная изолированная подгруппа .
Множество изолированных подгрупп полностью упорядочено по включению. Высота . или ранг r (Γ) группы Γ определяется как мощность множества изолированных подгрупп группы Γ Поскольку ненулевые простые идеалы вполне упорядочены и соответствуют изолированным подгруппам группы Γ, высота Γ равна размерности Крулля кольца нормирования D, связанного с Γ.
Наиболее важным частным случаем является высота один, что эквивалентно тому, что Γ является подгруппой действительных чисел. при сложении (или, что то же самое, положительных действительных чисел при умножении.) Кольцо нормирования с нормированием высоты единица имеет соответствующее абсолютное значение, определяющее ультраметрическое место . Особым случаем являются кольца дискретного нормирования, упомянутые ранее.
Рациональный ранг rr (Γ) определяется как ранг группы значений как абелевой группы:
Места [ править ]
Общее определение [ править ]
Местом D поля K гомоморфизм колец p кольца нормирования поля K называется в некоторое поле такой, что для любого , . Образ места — это поле, называемое вычетов p полем . Например, каноническое отображение это место.
Пример [ править ]
Пусть A — дедекиндова область и главный идеал. Тогда каноническое отображение это место.
Специализация мест [ править ]
Мы говорим, что место p специализируется на месте p ′ , обозначаемом , если кольцо нормирования p содержит кольцо нормирования p ' . В алгебраической геометрии мы говорим, что простой идеал специализируется на если . Эти два понятия совпадают: тогда и только тогда, когда простой идеал, соответствующий p, специализируется до простого идеала, соответствующего p ′ в некотором кольце нормирования (напомним, что если являются кольцами нормирования одного и того же поля, то D соответствует простому идеалу .)
Пример [ править ]
Например, в поле функции некоторого алгебраического многообразия каждый главный идеал содержится в максимальном идеале дает специализацию .
Замечания [ править ]
Можно показать: если , затем для некоторой позиции q поля вычетов из п . (Наблюдать представляет собой оценочное кольцо и пусть q — соответствующее место; остальное механическое.) Если D — кольцо нормирования p , то его размерность Крулля — это мощность специализаций, отличных от p, до p . Таким образом, для любой точки p с кольцом нормирования D поля K над полем k имеем:
- .
Если p — место и A — подкольцо кольца нормирования p , то называется центром p в A .
Места в бесконечности [ править ]
Для функционального поля на аффинном многообразии существуют оценки, не связанные ни с одним из простых чисел . Эти оценки называются местами на бесконечности . [1] Например, аффинная линия имеет функциональное поле . Место, связанное с локализацией
в максимальном идеале
это место в бесконечности.
Примечания [ править ]
- ^ Точнее, Γ полностью упорядочен, определяя тогда и только тогда, когда где [ x ] и [ y ] — классы эквивалентности в Γ. ср. Эфрат (2006) , с. 39
- ^ Доказательство: если R — максимальный элемент, то он доминируется кольцом нормирования; таким образом, оно само должно быть оценочным кольцом. Обратно, пусть R — кольцо нормирования, а S — локальное кольцо, которое доминирует над R , но не доминирует над R . Существует x который находится в S , но не находится в R. , Затем находится в R и фактически в максимальном идеале R . Но тогда , что абсурдно. быть не может Следовательно, такого S .
- ^ Чтобы более наглядно увидеть, что кольца нормирования целозамкнуты, предположим, что x н + 1 х п -1 + ... + a 0 = 0. Тогда деление на х п -1 дает нам x = − a 1 − ... − a 0 x − п +1 . Если бы x не было в D , то x −1 будет в D, и это будет выражать x как конечную сумму элементов в D , так что x будет в D , противоречие.
- ^ В общем, является целым по A тогда и только тогда, когда
Цитаты [ править ]
- ^ Хартсхорн 1977 , Теорема I.6.1A.
- ^ Эфрат 2006 , с. 55.
- ^ Кон 1968 , Предложение 1.5.
- ^ Эфрат 2006 , с. 43.
- ^ Роль колец нормирования в алгебраической геометрии
- ^ Существует ли риманова поверхность, соответствующая каждому расширению поля? Нужна ли еще какая-нибудь гипотеза?
- ^ Зариски и Сэмюэл 1975 , гл. VI, Теорема 3.
- ^ Эфрат 2006 , с. 38.
- ^ Мацумура 1989 , Теорема 10.4.
- ^ Хартсхорн 1977 , Глава II. Упражнение 4.5.
- ^ Зариски и Сэмюэл 1975 , гл. VI, Теорема 15.
Источники [ править ]
- Бурбаки, Николя (1972). Коммутативная алгебра . Элементы математики (Первое изд.). Аддисон-Уэсли. ISBN 978-020100644-5 .
- Кон, П.М. (1968), «Кольца Безу и их подкольца» (PDF) , Proc. Кембриджская философия. Соц. , 64 (2): 251–264, Бибкод : 1968PCPS...64..251C , doi : 10.1017/s0305004100042791 , ISSN 0008-1981 , MR 0222065 , S2CID 123667384 , Zbl 0157.0 8401
- Эфрат, Идо (2006), Оценки, упорядочения и К -теория Милнора , Математические обзоры и монографии, том. 124, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 0-8218-4041-Х , Збл 1103.12002
- Фукс, Ласло; Сальсе, Луиджи (2001), Модули над ненетеровыми областями , Математические обзоры и монографии, том. 84, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-1963-0 , МР 1794715 , Збл 0973.13001
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
- Крулл, Вольфганг (1939), «Вклад в арифметику коммутативных областей целостности. VI. Общая дискриминантная теорема. Расширения неразветвленных колец», Mathematical Journal , 45 (1): 1–19, doi : 10.1007/BF01580269 , ISSN 0025- 5874 , МР 1545800 , С2КИД 121374449 , Збл 0020.34003
- Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 8, Перевод с японского Майлза Рида (второе изд.), ISBN 0-521-36764-6 , Збл 0666.13002
- Зариски, Оскар ; Сэмюэл, Пьер (1975), Коммутативная алгебра. Том. II , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90171-8 , МР 0389876