Ультраметрическое пространство

В математике ультраметрическое пространство — это метрическое пространство , в котором неравенство треугольника усилено до $d(x,z)\leq \max \left\{d(x,y),d(y,z)\right\}$ для всех $x$ , $y$ , и $z$ . Иногда связанную метрику также называют неархимедовой метрикой или суперметрикой .

Формальное определение [ править ]

Ультраметрика . на множестве $M$ — это вещественная функция

d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R}

(где $ℝ$ обозначают действительные числа ), такие, что для всех $x, y, z \in M$ :

$d (Икс, у) \geq 0$ ;
$d (Икс, y) знак равно d (y, Икс)$ ( симметрия );
$d (Икс, Икс) знак равно 0$ ;
если $d (x, y) = 0$ , то $x = y$ ;
$d (x, z) \leq max {d (x, y), d (y, z)$ } ( сильное неравенство треугольника или ультраметрическое неравенство ).

Ультраметрическое пространство — это пара $(M, d),$ состоящая из множества $M$ вместе с ультраметрикой $d$ на $M$ , которая называется связанной с пространством функцией расстояния (также называемой метрикой ).

Если $d$ удовлетворяет всем условиям, кроме, возможно, условия 4, то $d$ называется ультрапсевдометрическим на $M$ . Ультрапсевдометрическое пространство — это пара $(M, d),$ из множества $M$ и ультрапсевдометрического $d$ на $M.$ состоящая ^[1]

В случае, когда $M$ — абелева группа (записанная аддитивно), а $d$ порождается функцией длины $\|\cdot \|$ (так что $d(x,y)=\|x-y\|$ ), последнее свойство можно усилить, используя заточку Крулла , чтобы:

\|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}

с равенством, если

\|x\|\neq \|y\|

.

Мы хотим доказать, что если $\|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}$ , то равенство имеет место, если $\|x\|\neq \|y\|$ . Не ограничивая общности , будем считать, что $\|x\|>\|y\|.$ Это означает, что $\|x+y\|\leq \|x\|$ . Но мы также можем вычислить $\|x\|=\|(x+y)-y\|\leq \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}$ . Теперь значение $\max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}$ не может быть $\|y\|$ , ибо если это так, мы имеем $\|x\|\leq \|y\|$ вопреки первоначальному предположению. Таким образом, $\max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}=\|x+y\|$ , и $\|x\|\leq \|x+y\|$ . Используя исходное неравенство, имеем $\|x\|\leq \|x+y\|\leq \|x\|$ и поэтому $\|x+y\|=\|x\|$ .

Свойства [ править ]

Из приведенного выше определения можно сделать вывод о нескольких типичных свойствах ультраметрик. Например, для всех $x,y,z\in M$ , хотя бы одно из трёх равенств $d(x,y)=d(y,z)$ или $d(x,z)=d(y,z)$ или $d(x,y)=d(z,x)$ держит. То есть каждая тройка точек в пространстве образует равнобедренный треугольник , поэтому всё пространство представляет собой равнобедренное множество .

Определение (открытого) шара радиуса $r>0$ сосредоточено в $x\in M$ как $B(x;r):=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}$ , мы имеем следующие свойства:

Каждая точка внутри шара является его центром, т.е. если $d(x,y)<r$ затем $B(x;r)=B(y;r)$ .
Пересекающиеся шары содержатся друг в друге, т. е. если $B(x;r)\cap B(y;s)$ непусто , то либо $B(x;r)\subseteq B(y;s)$ или $B(y;s)\subseteq B(x;r)$ .
Все шары строго положительного радиуса являются одновременно открытыми и замкнутыми множествами в индуцированной топологии . То есть открытые шары также являются закрытыми, а закрытые (замените $<$ с $\leq$ ) также открыты.
Набор всех открытых шаров радиуса $r$ и центр в замкнутом шаре радиуса $r>0$ образует перегородку последнего, а взаимное расстояние двух различных открытых шаров (больше или) равно $r$ .

Доказательство этих утверждений является поучительным занятием. ^[2] Все они напрямую вытекают из ультраметрического неравенства треугольника. Обратите внимание, что согласно второму утверждению шар может иметь несколько центральных точек, расстояние между которыми не равно нулю. Интуиция, лежащая в основе таких, казалось бы, странных эффектов, заключается в том, что из-за сильного неравенства треугольника расстояния в ультраметрике не складываются.

Примеры [ править ]

Дискретная метрика является ультраметрикой.
p образуют полное -адические числа ультраметрическое пространство.
Рассмотрим множество слов произвольной длины (конечной или бесконечной), Σ ^*, над некоторым алфавитом Σ. Определите расстояние между двумя разными словами, равное 2. ^{− п}, где n — первое место, в котором слова различаются. Полученная метрика является ультраметрикой.
Множество слов со склеенными концами длины n в некотором алфавите Σ является ультраметрическим пространством относительно p -близкого расстояния. Два слова x и y являются p -близкими, если любая подстрока из p последовательных букв ( p < n ) встречается одинаковое количество раз (которое также может быть равно нулю) как в x , так и в y . ^[3]
Если r = ( r _n ) — последовательность действительных чисел , убывающая к нулю, то | х | _r := lim sup _{n →∞} | х _п | ^{р _н} индуцирует ультраметрику в пространстве всех комплексных последовательностей, для которых она конечна. (Обратите внимание, что это не полунорма , поскольку ей не хватает однородности . Если r _n может быть равным нулю, здесь следует использовать довольно необычное соглашение, согласно которому 0 ⁰ = 0.)
Если G , взвешенный по ребрам — неориентированный граф , все веса ребер положительны, а d ( u , v ) — это вес минимаксного пути между u и v (то есть наибольший вес ребра на пути, выбранном для минимизируйте этот наибольший вес), то вершины графа с расстоянием, измеренным d , образуют ультраметрическое пространство, и все конечные ультраметрические пространства могут быть представлены таким образом. ^[4]

Приложения [ править ]

Тогда сжимающее отображение можно рассматривать как способ аппроксимации конечного результата вычисления (существование которого может быть гарантировано банаховой теоремой о неподвижной точке ). Подобные идеи можно найти в теории предметной области . p -адический анализ активно использует ультраметрическую природу p -адической метрики .
В физике конденсированного состояния самоусредняющееся Джорджио перекрытие между спинами в модели СК спиновых стекол демонстрирует ультраметрическую структуру, причем решение дается с помощью процедуры нарушения симметрии полной реплики, впервые описанной Паризи и его коллегами. ^[5] Ультраметричность появляется и в теории апериодических твердых тел. ^[6]
В таксономии и построении филогенетических деревьев ультраметрические расстояния также используются методами UPGMA и WPGMA . ^[7] Эти алгоритмы требуют предположения о постоянной скорости и создают деревья, в которых расстояния от корня до каждой вершины ветвей равны. Когда анализируются данные ДНК , РНК и белков , предположение об ультраметричности называется молекулярными часами .
В моделях перемежаемости в трехмерной турбулентности жидкостей используются так называемые каскады, а в дискретных моделях - диадические каскады, имеющие ультраметрическую структуру. ^[8]
В географии и ландшафтной экологии ультраметрические расстояния применялись для измерения сложности ландшафта и оценки того, насколько одна функция ландшафта важнее другой. ^[9]

Ссылки [ править ]

^ Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 1–18.
^ «Ультраметрическое неравенство треугольника» . Обмен стеками .
^ Осипов, Гуткин (2013), «Кластеризация периодических орбит в хаотических системах», Нелинейность , 26 (26): 177–200, Бибкод : 2013Nonli..26..177G , doi : 10.1088/0951-7715/26/1/ 177 .
^ Леклерк, Бруно (1981), «Комбинаторное описание ультраметрики», Центр социальной математики. Практическая школа повышения квалификации. Математика и гуманитарные науки (на французском языке) (73): 5–37, 127, MR 0623034 .
^ Мезар, М; Паризи, Дж; и Вирасоро, М.: ТЕОРИЯ СПИНОВОГО СТЕКЛА И НЕ ТОЛЬКО , World Scientific, 1986. ISBN 978-9971-5-0116-7
^ Раммаль, Р.; Тулуза, Г.; Вирасоро, М. (1986). «Ультраметричность для физиков» . Обзоры современной физики . 58 (3): 765–788. Бибкод : 1986РвМП...58..765Р . дои : 10.1103/RevModPhys.58.765 . Проверено 20 июня 2011 г.
^ Лежандр П. и Лежандр Л. 1998. Численная экология. Второе английское издание. Развитие экологического моделирования 20. Elsevier, Амстердам.
^ Бензи, Р.; Биферале, Л.; Трубадур, Э. (1997). «Ультраметрическая структура многомасштабных энергетических корреляций в турбулентных моделях». Письма о физических отзывах . 79 (9): 1670–1674. arXiv : чао-дин/9705018 . Бибкод : 1997PhRvL..79.1670B . дои : 10.1103/PhysRevLett.79.1670 . S2CID 53120932 .
^ Пападимитриу, Фивос (2013). «Математическое моделирование землепользования и сложности ландшафта с помощью ультраметрической топологии» . Журнал науки о землепользовании . 8 (2): 234–254. дои : 10.1080/1747423x.2011.637136 . ISSN 1747-423X . S2CID 121927387 .

Библиография [ править ]

Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Капланский, И. (1977), Теория множеств и метрические пространства , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2694-2 .

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с неархимедовой геометрией, на Викискладе?

[FOOTNOTENariciBeckenstein20111–18-1] Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 1–18.

[2] «Ультраметрическое неравенство треугольника» . Обмен стеками .

[3] Осипов, Гуткин (2013), «Кластеризация периодических орбит в хаотических системах», Нелинейность , 26 (26): 177–200, Бибкод : 2013Nonli..26..177G , doi : 10.1088/0951-7715/26/1/ 177 .

[4] Леклерк, Бруно (1981), «Комбинаторное описание ультраметрики», Центр социальной математики. Практическая школа повышения квалификации. Математика и гуманитарные науки (на французском языке) (73): 5–37, 127, MR 0623034 .

[5] Мезар, М; Паризи, Дж; и Вирасоро, М.: ТЕОРИЯ СПИНОВОГО СТЕКЛА И НЕ ТОЛЬКО , World Scientific, 1986. ISBN 978-9971-5-0116-7

[physics_apps-6] Раммаль, Р.; Тулуза, Г.; Вирасоро, М. (1986). «Ультраметричность для физиков» . Обзоры современной физики . 58 (3): 765–788. Бибкод : 1986РвМП...58..765Р . дои : 10.1103/RevModPhys.58.765 . Проверено 20 июня 2011 г.

[7] Лежандр П. и Лежандр Л. 1998. Численная экология. Второе английское издание. Развитие экологического моделирования 20. Elsevier, Амстердам.

[8] Бензи, Р.; Биферале, Л.; Трубадур, Э. (1997). «Ультраметрическая структура многомасштабных энергетических корреляций в турбулентных моделях». Письма о физических отзывах . 79 (9): 1670–1674. arXiv : чао-дин/9705018 . Бибкод : 1997PhRvL..79.1670B . дои : 10.1103/PhysRevLett.79.1670 . S2CID 53120932 .

[9] Пападимитриу, Фивос (2013). «Математическое моделирование землепользования и сложности ландшафта с помощью ультраметрической топологии» . Журнал науки о землепользовании . 8 (2): 234–254. дои : 10.1080/1747423x.2011.637136 . ISSN 1747-423X . S2CID 121927387 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]