Функция длины

В математической области геометрической теории групп функция длины — это функция , которая присваивает номер каждому элементу группы .

Определение

Функция длины L : G → R ⁺ на группе G является функцией, удовлетворяющей: ^[1]^[2]^[3]

{\begin{aligned}L(e)&=0,\\L(g^{-1})&=L(g)\\L(g_{1}g_{2})&\leq L(g_{1})+L(g_{2}),\quad \forall g_{1},g_{2}\in G.\end{aligned}}

Сравните с аксиомами метрики и алгебры фильтрованной .

Слово метрика

Важным примером длины является метрика слова : при представлении группы образующими и отношениями длина элемента равна длине кратчайшего слова, его выражающего.

Группы Кокстера (включая симметричную группу ) имеют комбинаторные важные функции длины, используя простые отражения в качестве генераторов (таким образом, каждое простое отражение имеет длину 1). См. также: длина элемента группы Вейля .

Самый длинный элемент группы Кокстера одновременно важен и уникален с точностью до сопряжения (с точностью до различного выбора простых отражений).

Характеристики

Группа с функцией длины не образует фильтруемую группу , то есть подуровень устанавливает $S_{i}:=\{g\mid L(g)\leq i\}$ не образуют подгрупп вообще .

Однако групповая алгебра группы с функциями длины образует фильтрованную алгебру : аксиома $L(gh)\leq L(g)+L(h)$ соответствует аксиоме фильтрации.

Ссылки

^ Линдон, Роджер К. (1963), «Функции длины в группах», Mathematica Scandinavica , 12 : 209–234, doi : 10.7146/math.scand.a-10684 , JSTOR 24489388 , MR 0163947
^ Харрисон, Нэнси (1972), «Функции действительной длины в группах», Труды Американского математического общества , 174 : 77–106, doi : 10.2307/1996098 , MR 0308283
^ Чизуэлл, И.М. (1976), «Абстрактные функции длины в группах», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 80 (3): 451–463, doi : 10.1017/S0305004100053093 , MR 0427480

Эта статья включает в себя материал из функции длины в PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[1] Линдон, Роджер К. (1963), «Функции длины в группах», Mathematica Scandinavica , 12 : 209–234, doi : 10.7146/math.scand.a-10684 , JSTOR 24489388 , MR 0163947

[2] Харрисон, Нэнси (1972), «Функции действительной длины в группах», Труды Американского математического общества , 174 : 77–106, doi : 10.2307/1996098 , MR 0308283

[3] Чизуэлл, И.М. (1976), «Абстрактные функции длины в группах», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 80 (3): 451–463, doi : 10.1017/S0305004100053093 , MR 0427480

[1]

[2]

[3]