Самый длинный элемент группы Кокстера

В математике самый длинный элемент группы Кокстера — это единственный элемент максимальной длины в конечной группе Кокстера относительно выбранного порождающего набора, состоящего из простых отражений. Его часто обозначают w ₀ . См. ( Хамфрис 1992 , раздел 1.8: Простая транзитивность и самый длинный элемент, стр. 15–16 ) и ( Дэвис 2007 , раздел 4.6, стр. 51–53).

Характеристики

Группа Кокстера имеет самый длинный элемент тогда и только тогда, когда он конечен; «только если» связано с тем, что размер группы ограничен количеством слов длиной меньше или равной максимальной.
Самый длинный элемент группы Кокстера — это единственный максимальный элемент относительно порядка Брюа .
Самый длинный элемент является инволюцией (имеет порядок 2: $w_{0}^{-1}=w_{0}$ ), по уникальности максимальной длины (обратный элемент имеет ту же длину, что и сам элемент). ^[1]
Для любого $w\in W,$ длина удовлетворяет $\ell (w_{0}w)=\ell (w_{0})-\ell (w).$ ^[1]
Сокращенное выражение для самого длинного элемента, как правило, не является уникальным.
В сокращенном выражении для самого длинного элемента каждое простое отражение должно произойти хотя бы один раз. ^[1]
группа Кокстера конечна, то длина w0 _Если равна числу положительных корней . ^[1]
Открытая ячейка Bw ₀ B в разложении Брюа полупростой алгебраической группы G плотна в топологии Зарисского ; топологически это ячейка верхнего измерения разложения, представляющая фундаментальный класс .
Самым длинным элементом является центральный элемент –1, за исключением $A_{n}$ ( $n\geq 2$ ), $D_{n}$ для n нечетно, $E_{6},$ и $I_{2}(p)$ для p нечетного, когда оно равно –1, умноженному на автоморфизм порядка 2 диаграммы Кокстера . ^[2]