Разложение Брюа

В математике разложение Брюа (введенное Франсуа Брюа для классических групп и Клодом Шевалле в целом) G = BWB некоторых алгебраических групп G на ячейки можно рассматривать как общее выражение принципа исключения Гаусса–Жордана , который в общем виде записывает матрица как произведение верхнетреугольной и нижнетреугольной матриц, но в исключительных случаях. Это связано с по ячейкам Шуберта разложением многообразий флагов : об этом см. в группе Вейля .

В более общем смысле, любая группа с парой ( B , N ) имеет разложение Брюа.

Определения

• G — связная редуктивная над алгебраическая группа алгебраически замкнутым полем .
• B — борелевская подгруппа группы G
• W — группа Вейля группы G, соответствующая максимальному тору группы B .

группы Разложение Брюа G — это разложение

$G=BWB=\bigsqcup _{w\in W}BwB$

группы G как дизъюнктное объединение двойных смежных классов группы B, параметризованное элементами группы Вейля W . (Обратите внимание, что хотя W, вообще говоря, не является подгруппой G , смежный класс wB по-прежнему корректно определен, поскольку максимальный тор содержится в B. )

Примеры

Пусть G — общая линейная группа GL _n обратимых $n\times n$ матрицы с элементами в некотором алгебраически замкнутом поле, являющемся редуктивной группой . Тогда группа Вейля W изоморфна симметрической группе Sn _буквах на n с матрицами перестановок в качестве представителей. В этом случае мы можем взять B в качестве подгруппы верхнетреугольных обратимых матриц, поэтому разложение Брюа говорит, что любую обратимую матрицу A можно записать в виде произведения U ₁ PU ₂ , где U ₁ и U ₂ — верхнетреугольные, а P — матрица перестановок. Записав это как P = U ₁ ⁻¹ AU ₂ ⁻¹ , это говорит о том, что любая обратимая матрица может быть преобразована в матрицу перестановок с помощью серии операций со строками и столбцами, при этом нам разрешено добавлять строку i (соответственно столбец i ) к строке j (соответственно столбец j ), если i > j (соответственно i < j ). Операции со строками соответствуют U ₁ ⁻¹ , а операции над столбцами соответствуют U ₂ ⁻¹ .

Специальная линейная группа SL _n обратимых $n\times n$ матрицы с определителем 1 — полупростая группа и, следовательно, редуктивна. этом случае W по-прежнему изоморфна симметрической группе Sn _В . Однако определителем матрицы перестановки является знак перестановки, поэтому для представления нечетной перестановки в SL _n мы можем взять один из ненулевых элементов равным −1 вместо 1. Здесь B — подгруппа верхних треугольных матриц. с определителем 1, поэтому интерпретация разложения Брюа в этом случае аналогична случаю GL _n .

Геометрия

Ячейки разложения Брюа соответствуют клеточному разложению Шуберта многообразий флагов. Размерность ячеек соответствует длине слова w в группе Вейля. Двойственность Пуанкаре ограничивает топологию клеточного разложения и, следовательно, алгебру группы Вейля; например, ячейка верхнего измерения уникальна (она представляет фундаментальный класс ) и соответствует самому длинному элементу группы Кокстера .

Расчеты

Количество ячеек в данном измерении разложения Брюа являются коэффициентами q -полинома. соответствующей диаграммы Дынкина .

ячейки

Имея две противоположные подгруппы Бореля, можно пересечь ячейки Брюа для каждой из них, дав дальнейшее разложение

$$G=\bigsqcup _{w_{1},w_{2}\in W}(Bw_{1}B\cap B_{-}w_{2}B_{-}).$$

См. также

• Разложения групп Ли
• Факторизация Биркгофа — частный случай разложения Брюа для аффинных групп.
• Кластерная алгебра

Ссылки

• Борель, Арманд . Линейные алгебраические группы (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1991. ISBN   0-387-97370-2 .
• Бурбаки, Николас , Группы Ли и алгебры Ли: главы 4–6 (Элементы математики) , Springer-Verlag, 2008. ISBN   3-540-42650-7