Двойной шкаф

В теории групп , области математики , двойной класс представляет собой набор элементов группы , которые эквивалентны относительно симметрии, исходящей от двух подгрупп , обобщая понятие единственного класса . ^[1]^[2]

Определение

Пусть $G$ — группа, а $H$ и $K$ — подгруппы. Пусть $H$ действует на $G$ умножением слева, а $K$ действует на $G$ умножением справа. каждого $x$ в $G$ H $(Для, K)$ -двойной смежный класс $x$ - это набор

HxK=\{hxk\colon h\in H,k\in K\}.

Когда $H = K$ , это называется $H$ -двойным смежным классом $x$ . Эквивалентно, $HxK$ — это эквивалентности x $класс$ при отношении эквивалентности

x ~ y

тогда и только тогда, когда существуют

h

в

H

и

k

в

K

такие, что

hxk = y

.

Набор всего $(H,K)$ -двойные смежные классы обозначаются $H\,\backslash G/K.$

Характеристики

Предположим, что $G$ — группа с подгруппами $H$ и $K,$ действующими левым и правым умножением соответственно. G $(H, K)$ -двойные классы $могут$ быть эквивалентно описаны как орбиты для группы произведений $H \times K,$ действующей на $G,$ следующим образом $(h, k) \cdot x = hxk -1$ . Многие основные свойства двойных смежных классов непосредственно следуют из того факта, что они являются орбитами. Однако, поскольку $G$ — группа, а $H$ и $K$ — подгруппы, действующие путем умножения, двойные классы более структурированы, чем орбиты произвольных групповых действий , и у них есть дополнительные свойства, которые неверны для более общих действий.

Два двойных класса $HxK$ и $HyK$ либо не пересекаются , либо совпадают.
$G$ — дизъюнктное объединение своих двойных классов.
существует взаимно однозначное соответствие, $Между двумя двойными смежными классами H \ G / K$ и $K \ G / H$ заданное путем отождествления $HxK$ с $Kx. -1 Х.$
Если $H = {1}$ , то $H \ G / K = G / K$ . Если $K = {1}$ , то $H \ G / K = H \ G$ .
Двойной смежный класс $HxK$ представляет собой объединение правых смежных классов $H$ и левых смежных классов $K$ ; конкретно,
${\begin{aligned}HxK&=\bigcup _{k\in K}Hxk=\coprod _{Hxk\,\in \,H\backslash HxK}Hxk,\\HxK&=\bigcup _{h\in H}hxK=\coprod _{hxK\,\in \,HxK/K}hxK.\end{aligned}}$
Множество $(H, K)$ -двойных смежных классов находится в биекции с орбитами $H \( G / K )$ , а также с орбитами $( H \ G )/ K$ при отображениях $HgK\to H(gK)$ и $HgK\to (Hg)K$ соответственно.
Если $H$ нормальна , то $H \ G$ — группа, и правое действие $K$ на эту группу факторизуется через правое действие $H \ HK$ . Отсюда следует, что $H \ G / K = G / HK$ . Аналогично, если $K$ нормальный, то $H \ G / K = HK \ G$ .
Если $H$ — нормальная подгруппа группы $G$ , то $H$ -двойные смежные классы находятся во взаимно однозначном соответствии с левыми (и правыми) $H$ - смежными классами.
Рассмотрим $HxK$ как объединение $K$ -орбиты правых $H$ -смежных классов. Стабилизатор правого $H$ -смежного класса $Hxk ∈ H \ HxK$ относительно правого действия $K$ есть $K \cap (xk) -1 Ххх$ . Аналогично, стабилизатор левого $K$ -смежного класса $hxK \in HxK / K$ относительно левого действия $H$ равен $H \cap hxK (hx) -1$ .
Отсюда следует, что число правых смежных классов $H$ , содержащихся в $HxK,$ представляет собой индекс $[K : K \cap x -1 Hx]$ и число левых смежных классов $K$ , содержащихся в $HxK,$ является индексом $[H : H \cap xKx -1]$ . Поэтому
${\begin{aligned}|HxK|&=[H:H\cap xKx^{-1}]|K|=|H|[K:K\cap x^{-1}Hx],\\\left[G:H\right]&=\sum _{HxK\,\in \,H\backslash G/K}[K:K\cap x^{-1}Hx],\\\left[G:K\right]&=\sum _{HxK\,\in \,H\backslash G/K}[H:H\cap xKx^{-1}].\end{aligned}}$
Если $G$ , $H$ и $K$ конечны, то отсюда также следует, что
${\begin{aligned}|HxK|&={\frac {|H||K|}{|H\cap xKx^{-1}|}}={\frac {|H||K|}{|K\cap x^{-1}Hx|}},\\\left[G:H\right]&=\sum _{HxK\,\in \,H\backslash G/K}{\frac {|K|}{|K\cap x^{-1}Hx|}},\\\left[G:K\right]&=\sum _{HxK\,\in \,H\backslash G/K}{\frac {|H|}{|H\cap xKx^{-1}|}}.\end{aligned}}$
Зафиксируйте $x$ в $G$ , и пусть $(H \times K) x$ обозначает двойной стабилизатор ${(h, k) : hxk = x$ }. Тогда двойной стабилизатор является подгруппой $H \times K$ .
Поскольку $G$ — группа, для каждого $h$ в $H$ существует ровно один $g$ в $G$ такой, что $hxg = x$ , а именно $g = x -1 час -1 х$ ; однако $g$ может не быть в $K$ . Аналогично, для каждого $k$ в $K$ существует ровно один $g'$ в $G$ такой, что $g' xk = x$ , но $g'$ может не находиться в $H$ . Поэтому двойной стабилизатор имеет описания
$(H\times K)_{x}=\{(h,x^{-1}h^{-1}x)\colon h\in H\}\cap H\times K=\{(xk^{-1}x^{-1},k)\colon k\in K\}\cap H\times K.$
( Теорема о стабилизаторе орбиты ) Существует биекция между $HxK$ и $(H \times K) / (H \times K) x$ , при которой $hxk$ соответствует $(h, k -1)(ЧАС \times K) Икс$ . Отсюда следует, что если $G$ , $H$ и $K$ конечны, то
$|HxK|=[H\times K:(H\times K)_{x}]=|H\times K|/|(H\times K)_{x}|.$
( лемма Коши–Фробениуса ) Пусть $G (час, к)$ обозначаем элементы, зафиксированные действием $(h, k)$ . Затем
$|H\,\backslash G/K|={\frac {1}{|H||K|}}\sum _{(h,k)\in H\times K}|G^{(h,k)}|.$
В частности, если $G$ , $H$ и $K$ конечны, то количество двойных смежных классов равно среднему количеству точек, фиксированных на пару элементов группы.

Существует эквивалентное описание двойных классов в терминах одинарных классов. Пусть $H$ и $K$ оба действуют умножением справа на $G$ . Тогда $G$ действует умножением слева на произведение смежных классов $G / H \times G / K$ . Орбиты этого действия находятся во взаимно однозначном соответствии с $H \ G / K$ . Это соответствие идентифицирует $(xH, yK)$ с двойным классом $Hx -1 йК$ . Кратко, это потому, что каждая $-$ орбита допускает представителей вида $(H, xK)$ , а представитель $x$ определяется только с точностью до умножения слева на элемент из $H.$ G Аналогично, $G$ действует умножением справа на $H \ G × K \ G$ , и орбиты этого действия находятся во взаимно однозначном соответствии с двойными смежными классами $H \ G / K$ . Концептуально это отождествляет пространство двойного смежного класса $H \ G / K$ с пространством относительных конфигураций $H$ -смежного класса и $K$ -смежного класса. Кроме того, эта конструкция обобщается на случай любого числа подгрупп. Учитывая подгруппы $H 1, ..., H n$ , пространство $(H 1, ..., H n)$ -мультикомножеств является множеством $G$ -орбит $G / H 1 \times ... \times G / H n$ .

Аналог теоремы Лагранжа для двойных смежных классов неверен. что размер двойного смежного класса не обязательно должен делить порядок $G.$ Это означает , Например, пусть $G = S 3$ — симметричная группа из трех букв, а $H$ и $K$ — циклические подгруппы, порожденные транспозициями ( $1 2)$ и $(1 3)$ соответственно. Если $e$ обозначает тождественную перестановку, то

HeK=HK=\{e,(12),(13),(132)\}.

Здесь четыре элемента, и четыре не делят шесть, порядка $S 3$ . Неверно также, что разные двойные классы имеют одинаковый размер. Продолжая тот же пример,

H(23)K=\{(23),(123)\},

который имеет два элемента, а не четыре.

Однако предположим, что $H$ нормальный. Как отмечалось ранее, в этом случае двойной смежный класс равен левому смежному классу $G / HK$ . Аналогично, если $K$ нормально, то $H \ G / K$ — правый смежный класс $HK \ G$ . Тогда стандартные результаты о левых и правых смежных классах влекут за собой следующие факты.

$| ХхК | = | Гонконг |$ для $x$ в $G.$ всех То есть все двойные классы имеют одинаковую мощность.
Если $G$ конечна, то $| г | = | Гонконг | ⋅ | Ч \ Г / К |$ . В частности, $| Гонконг |$ и $| Ч \ Г / К |$ делить $| г |$ .

Примеры

Пусть $G = Sn —$ симметрическая группа, рассматриваемая как перестановка множества ${1, ..., n$ }. Рассмотрим подгруппу $H = Sn - 1$ , которая стабилизирует $n$ . Тогда $S n −1 \ S n / S n −1$ состоит из двух двойных классов смежности. Один из них — $= Sn - 1,$ а другой — $Sn - 1 γSn H - 1$ для любой перестановки $γ$ , которая не фиксирует $n$ . Это контрастирует с $Sn /, Sn у -1$ которого $n$ элементы $\gamma _{1}S_{n-1},\gamma _{2}S_{n-1},...,\gamma _{n}S_{n-1}$ , где каждый $\gamma _{i}(n)=i$ .
Пусть $G$ — группа $GL n (R)$ , и пусть $B$ — подгруппа верхнетреугольных матриц . Двойное смежное пространство $B \ G / B$ является разложением группы $G.$ Брюа Двойные смежные классы — это в точности $BwB$ , где $w$ варьируется по всем матрицам перестановок размером nxn . Например, если $n = 2$ , то
$B\,\backslash \!\operatorname {GL} _{2}(\mathbf {R} )/B=\left\{B{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}B,\ B{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}B\right\}.$

Произведения свободной абелевой группы на множестве двойных классов

Предположим, что $G$ — группа, а $H$ , $K$ и $L$ — подгруппы. При определенных условиях конечности существует произведение в свободной абелевой группе , порожденной $(H, K)$ - и $(K, L)$ -двойными смежными классами со значениями в свободной абелевой группе, порожденной $(H, L)$ -двойными смежными классами . Это означает, что существует билинейная функция

\mathbf {Z} [H\backslash G/K]\times \mathbf {Z} [K\backslash G/L]\to \mathbf {Z} [H\backslash G/L].

Предположим для простоты, что $G$ конечна. произведение, интерпретируйте эти свободные абелевы группы в терминах групповой алгебры G $Чтобы определить$ следующим образом. Каждый элемент $Z [ H \ G / K ]$ имеет вид

\sum _{HxK\in H\backslash G/K}f_{HxK}\cdot [HxK],

где ${f HxK}$ — набор целых чисел , индексированных элементами $H \ G / K$ . Этот элемент можно интерпретировать как $Z$ -значную функцию на $H \ G / K$ , в частности, $HxK \mapsto f HxK$ . Эту функцию можно вернуть назад по проекции $G → H \ G / K$ , которая отправляет $x$ в двойной смежный класс $HxK$ . В результате получается функция $x \mapsto f HxK$ . Судя по тому, как была построена эта функция, она инвариантна слева относительно $и$ инвариантно справа относительно $K.$ H Соответствующим элементом групповой алгебры $Z [G]$ является

\sum _{x\in G}f_{HxK}\cdot [x],

и этот элемент инвариантен относительно левого умножения на $H$ и правого умножения на $K$ . Концептуально этот элемент получается заменой $HxK$ содержащимися в нем элементами, а конечность $G$ гарантирует, что сумма по-прежнему конечна. И наоборот, каждый элемент $Z [G],$ инвариантный слева относительно $H$ и инвариантный справа относительно $K,$ является обратным образом функции на $Z [ H \ G / K ]$ . Параллельные утверждения верны для $Z [ K \ G / L ]$ и $Z [ H \ G / L ]$ .

Когда элементы $Z [ H \ G / K ]$ , $Z [ K \ G / L ]$ и $Z [ H \ G / L ]$ интерпретируются как инвариантные элементы $Z [G]$ , то произведение, существование которого утверждалось выше, есть именно умножение в $Z [G]$ . Действительно, тривиально проверить, что произведение лево $-H$ -инвариантного элемента и право $-L$ -инвариантного элемента продолжает оставаться лево $-H$ -инвариантным и право $-L$ -инвариантным. Билинейность произведения непосредственно следует из билинейности умножения в $Z [G]$ . Отсюда также следует, что если $M$ — четвертая подгруппа группы $G$ , то произведение $(H, K)$ -, $(K, L)$ - и $(L, M)$ -двойных классов ассоциативно. Поскольку продукт в $Z [G]$ соответствует свертке функций на $G$ , этот продукт иногда называют продуктом свертки.

Важным частным случаем является случай, $H = K = L.$ когда В этом случае произведение представляет собой билинейную функцию

\mathbf {Z} [H\backslash G/H]\times \mathbf {Z} [H\backslash G/H]\to \mathbf {Z} [H\backslash G/H].

Это произведение превращает $Z [ H \ G / H ]$ в ассоциативное кольцо , единичным элементом которого является класс тривиального двойного смежного класса $[H]$ . В общем случае это кольцо некоммутативно . Например, если $H = {1}$ , то кольцо является групповой алгеброй $Z [G]$ , а групповая алгебра является коммутативным кольцом тогда и только тогда, когда основная группа абелева .

Если $H$ нормальна, так что $H$ -двойные смежные классы совпадают с элементами факторгруппы $G / H$ , то произведение на $Z [ H \ G / H ]$ является произведением в групповой алгебре $Z [G / H]]$ . В частности, это обычная свертка функций на $G / H$ . В этом случае кольцо коммутативно тогда и только тогда, когда $/ H абелева$ , или, что то же самое, тогда и только тогда, когда $содержит$ коммутант группы G. $G$ H

Если $H$ не является нормальным, то $Z [ H \ G / H ]$ может быть коммутативным, даже $G$ неабелева если . Классический пример — произведение двух операторов Гекке . Это произведение алгебры Гекке, которое является коммутативным, хотя группа $G$ является модулярной группой , которая не является абелевой, а подгруппа является арифметической подгруппой и, в частности, не содержит коммутантной подгруппы. Коммутативность произведения свертки тесно связана с парами Гельфанда .

Когда группа $G$ является топологической группой , можно ослабить предположение о том, что число левых и правых смежных классов в каждом двойном смежном классе конечно. Групповая алгебра $Z [G]$ заменяется алгеброй функций, таких как $L 2 (Г)$ или $С \infty (G)$ , а суммы заменяются интегралами . Продукт по-прежнему соответствует свертке. Например, это происходит для алгебры Гекке локально компактной группы .

Приложения

Когда группа $G$ имеет транзитивное групповое действие на множестве $S$ , вычисляя некоторые разложения двойного смежного класса $G$ раскрывает дополнительную информацию о структуре действия $G$ на $S$ . В частности, если $H$ — подгруппа стабилизатора некоторого элемента $s\in S$ , затем $G$ разлагается ровно на два двойных класса $(H,H)$ тогда и только тогда, когда $G$ действует транзитивно на множестве различных пар $S$ . См. 2-транзитивные группы для получения дополнительной информации об этом действии.

Двойные смежные классы важны в связи с теорией представлений представление $H$ используется для построения индуцированного представления G $K.$ которое ограничивается затем $, когда$ , Соответствующая структура двойного смежного класса несет информацию о том, как разлагается полученное представление. В случае конечных групп это теорема Макки о разложении .

Они также важны в функциональном анализе , где в некоторых важных случаях функции, левоинвариантные и правоинвариантные по подгруппе $K,$ могут образовывать коммутативное кольцо при свертке : см. пару Гельфанда .

В геометрии форма Клиффорда–Клейна представляет собой двойное смежное пространство $Γ\ G / H$ , где $G$ — редуктивная группа Ли , $H$ — замкнутая подгруппа, а $Γ$ — дискретная подгруппа (из $G$ ), которая действует надлежащим образом разрывно на однородной пространство $Г / Ч$ .

В теории чисел , алгебра Гекке соответствующая конгруэнц-подгруппе $Γ$ модулярной группы, натянута на элементы двойного смежного класса. $\Gamma \backslash \mathrm {GL} _{2}^{+}(\mathbb {Q} )/\Gamma$ ; структура алгебры получается в результате умножения двойных классов, описанных выше. Особое значение имеют операторы Гекке $T_{m}$ соответствующий двойным смежным классам $\Gamma _{0}(N)g\Gamma _{0}(N)$ или $\Gamma _{1}(N)g\Gamma _{1}(N)$ , где $g=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&m\end{smallmatrix}}\right)$ (они имеют разные свойства в зависимости от того, $ли m$ и $N$ являются взаимно простыми или нет), а операторы алмаза $\langle d\rangle$ заданный двойными классами $\Gamma _{1}(N)\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\Gamma _{1}(N)$ где $d\in (\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{\times }$ и мы требуем $\left({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}\right)\in \Gamma _{0}(N)$ (выбор $a, b, c$ не влияет на ответ).