Гельфандская пара

В математике пара Гельфанда — это пара ( G , K ), состоящая из группы G и подгруппы K (называемой эйлеровой подгруппой группы G ), которая удовлетворяет определенному свойству ограниченных представлений . Теория пар Гельфанда тесно связана с темой сферических функций в классической теории специальных функций и с теорией римановых симметрических пространств в дифференциальной геометрии . Вообще говоря, теория существует для того, чтобы абстрагировать от этих теорий их содержание с точки зрения гармонического анализа и теории представлений .

Когда G — конечная группа, самое простое определение состоит, грубо говоря, в том, что ( K , K )-двойные классы в G коммутируют. Точнее, алгебра Гекке , алгебра функций K на G которые инвариантны относительно сдвига в обе стороны на , должна быть коммутативной для свертки на G. ,

В общем случае определение пары Гельфанда заключается примерно в том, что ограничение на с кратностью не более 1. В каждом случае K любого неприводимого представления группы G содержит тривиальное представление K следует указать класс рассматриваемых представлений и смысл "содержит".

Определения

В каждой области класс представлений и определение содержания представлений немного различаются. Здесь даются явные определения для некоторых таких случаев.

Случай конечной группы

Когда G — конечная группа, следующие условия эквивалентны

• ( G , K ) — пара Гельфанда.
• Алгебра ( K , K )-двойных инвариантных функций на G с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
• Для любого неприводимого представления π группы G пространство π ^К K не более - инвариантных векторов в π чем одномерен.
• Для любого неприводимого представления π группы G размерность Hom _K ( π , C ) меньше или равна 1, где C обозначает тривиальное представление .
• Перестановочное представление группы G на смежных классах группы K бескратно, т. е. разлагается в прямую сумму различных абсолютно неприводимых представлений нулевой характеристики .
• Алгебра централизатора ( алгебра Шура ) представления перестановок коммутативна.
• ( G / N , K / N ) — пара Гельфанда, где N — нормальная подгруппа группы G, в K. содержащаяся

Компактный групповой корпус

Когда G — компактная топологическая группа, следующие условия эквивалентны:

• ( G , K ) — пара Гельфанда.
• Алгебра ( K , K )-двойных инвариантных с компактным носителем непрерывных мер на G с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
• Для любого непрерывного , локально выпуклого , неприводимого представления π группы G пространство π ^К K не более - инвариантных векторов в π чем одномерен.
• Для любого непрерывного, локально выпуклого, неприводимого представления π группы G размерность Hom _K ( π , C ) меньше или равна 1.
• Представление L ² ( G / K ) группы G свободен от кратности, т. е. является прямой суммой различных унитарных неприводимых представлений.

Группа Ли

Когда G — группа Ли и K — компактная подгруппа, следующие условия эквивалентны:

• ( G , K ) — пара Гельфанда.
• Алгебра ( K , K )-двойных инвариантных с компактным носителем непрерывных мер на G с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
• Алгебра D ( G / K ) ^К K / -инвариантных дифференциальных операторов на G K . коммутативен
• Для любого непрерывного , локально выпуклого , неприводимого представления π группы G пространство π ^К K не более - инвариантных векторов в π чем одномерен.
• Для любого непрерывного, локально выпуклого, неприводимого представления π группы G размерность Hom _K ( π , C ) меньше или равна 1.
• Представление L ² ( G / K ) группы G свободна от кратности, т.е. является прямым интегралом различных унитарных неприводимых представлений.

Классификацию таких пар Гельфанда см.

Классическими примерами таких пар Гельфанда являются ( G , K ), где G — редуктивная группа Ли , а K — максимальная компактная подгруппа .

компактная топологическая группа с

Когда G — локально компактная топологическая группа и K — компактная подгруппа, следующие условия эквивалентны:

• ( G , K ) — пара Гельфанда.
• Алгебра ( K , K )-двойных инвариантных с компактным носителем непрерывных мер на G с умножением, определяемым сверткой, коммутативна.
• Для любого непрерывного локально выпуклого неприводимого представления π группы G пространство π ^К K не более - инвариантных векторов в π чем одномерен.
• Для любого непрерывного, локально выпуклого, неприводимого представления π группы G размерность Hom _K ( π , C ) меньше или равна 1.
• Представление L ² ( G / K ) группы G свободна от кратности, т.е. является прямым интегралом различных унитарных неприводимых представлений.

В этом случае G имеет разложение Ивасавы - Моно , а именно G = KP для некоторой аменабельной подгруппы P группы G. группа Это абстрактный аналог разложения Ивасавы полупростых групп Ли .

Группа Ли с закрытой подгруппой

Когда G — группа Ли и K — замкнутая подгруппа , пара ( G , K ) называется обобщенной парой Гельфанда, если для любого неприводимого унитарного представления π группы G в гильбертовом пространстве размерность Hom _K ( π , C ) равна меньше или равно 1, где π ^∞ обозначает подпредставление гладких векторов .

группа над локальным полем с

Когда G — редуктивная группа над локальным полем и K — замкнутая подгруппа, в литературе появляются три (возможно, неэквивалентные) понятия пары Гельфанда. Мы назовем их здесь GP1, GP2 и GP3.

GP1) Для любого неприводимого допустимого представления π группы G размерность Hom _K ( π , C ) меньше или равна 1.

GP2) Для любого неприводимого допустимого представления π группы G имеем $\dim \operatorname {Hom} _{K}(\pi ,\mathbf {C} )\cdot \dim \operatorname {Hom} _{K}({\tilde {\pi }},\mathbf {C} )\leq 1$, где ${\tilde {\pi }}$ обозначает гладкий двойственный .

GP3) Для любого неприводимого унитарного представления π группы G в гильбертовом пространстве размерность Hom _K ( π , C ) меньше или равна 1.

Здесь допустимое представление — это обычное понятие допустимого представления, когда локальное поле неархимедово. Когда локальное поле является архимедовым, допустимое представление вместо этого означает гладкое представление Фреше умеренного роста, такое, что соответствующий модуль Хариш-Чандры является допустимым .

Если локальное поле архимедово, то GP3 совпадает с обобщенным свойством Гельфанда, определенным в предыдущем случае.

Очевидно, ГП1 ⇒ ГП2 ⇒ ГП3.

Гельфанда

Пара ( G , K ) называется сильной парой Гельфанда , если пара ( G × K , ∆ K ) является парой Гельфанда, где ∆ K ⩽ G × K – диагональная подгруппа: {( k , k ) в G × К : к в К }. Иногда это свойство также называют свойством кратности один .

Каждый из рассмотренных случаев можно адаптировать к сильным парам Гельфанда. Например, пусть G — конечная группа. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

• ( G , K ) — сильная пара Гельфанда.
• Алгебра функций на G, инвариантных относительно сопряжения с помощью K (с умножением, определяемым сверткой), коммутативна.
• Для любого неприводимого представления π группы G и τ группы K пространство Hom _K ( τ , π ) не более чем одномерно.
• Для любого неприводимого представления π группы G и τ группы K пространство Hom _K ( π , τ ) не более чем одномерно.

Критерии собственности Гельфанда

компактная топологическая группа с

В этом случае существует классический критерий Гельфанда для того, чтобы пара ( G , K ) была гельфандовой: предположим, что существует инволютивный антиавтоморфизм σ группы G st, любой ( K , K двойной класс ) является σ- инвариантным. Тогда пара ( G , K ) является парой Гельфанда.

Этот критерий эквивалентен следующему: предположим, что существует инволютивный антиавтоморфизм σ группы G такой, что любая функция на G , инвариантная как относительно правого, так и левого переноса на K, является σ -инвариантной. Тогда пара ( G , K ) является парой Гельфанда.

группа над локальным полем с

В этом случае существует критерий Гельфанда и Каждана, согласно которому пара ( G , K ) удовлетворяет GP2. Предположим, что существует инволютивный антиавтоморфизм σ группы G такой, что любое ( K , K )-двойное инвариантное распределение на G является σ -инвариантным. Тогда пара ( G , K ) удовлетворяет GP2; видеть.

Если приведенное выше утверждение справедливо только для положительно определенных распределений, то пара удовлетворяет GP3 (см. следующий случай).

Свойство GP1 часто следует из GP2. Например, это верно, если существует инволютивный антиавтоморфизм группы G , который сохраняет K и сохраняет каждый замкнутый класс сопряженности. Для G = GL( n ) такой инволюцией может служить транспозиция.

Группа Ли с закрытой подгруппой

В этом случае существует следующий критерий того, что пара ( G , K ) является обобщенной парой Гельфанда. Предположим, что существует инволютивный антиавтоморфизм σ группы G st. Любое K × K- инвариантное положительно определенное распределение на G является σ -инвариантным. Тогда пара ( G , K ) является обобщенной парой Гельфанда; видеть.

Критерии

Все приведенные выше критерии можно превратить в критерии сильных пар Гельфанда, заменив двустороннее действие K × K действием сопряжения K .

Скрученные пары Гельфанда

Обобщением понятия пары Гельфанда является понятие скрученной пары Гельфанда. А именно, пара ( G , K ) называется скрученной парой Гельфанда относительно характера χ группы K , если свойство Гельфанда справедливо при замене тривиального представления на характер χ. Например, в случае, когда K компактно, это означает, что размерность Hom _K ( π , χ)) меньше или равна 1. Можно адаптировать критерий для пар Гельфанда к случаю скрученных пар Гельфанда.

Симметричные пары

Свойству Гельфанда часто удовлетворяют симметричные пары . Пара ( G , K ) называется симметричной парой , если существует инволютивный автоморфизм θ группы G такой, что K является объединением связных компонент группы θ -инвариантных элементов: G ^я .

Если G — связная редуктивная группа над R и K = G ^я — компактная подгруппа, то ( G , K ) — пара Гельфанда. Пример: G = GL( n , R ) и K = O( n , R ), подгруппа ортогональных матриц .

Вообще интересный вопрос, когда симметричная пара редуктивной группы над локальным полем обладает свойством Гельфанда. Для симметричных пар ранга один этот вопрос исследовался в и

Примером симметричной пары Гельфанда высокого ранга является (GL( n + k ), GL( n ) × L( k )). Это было доказано в над неархимедовыми локальными полями и позже в для всех локальных полей нулевой характеристики .

Подробнее об этом вопросе для симметричных пар высокого ранга см.

Сферические пары

В контексте алгебраических групп аналоги пар Гельфанда называются сферическими парами . А именно, пара ( G , K ) алгебраических групп называется сферической парой, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий.

• Существует открытый ( B , K смежный класс в G , где B — борелевская подгруппа группы G. ) -двойной
• Существует конечное число ( B , K )-двойных классов класса G
• Для любого алгебраического представления π группы G имеем dim $\pi ^{K}\leq 1$.

В этом случае пространство G / H называется сферическим пространством .

Предполагается , что любая сферическая пара ( G , K ) над локальным полем удовлетворяет следующей слабой версии свойства Гельфанда:Для любого допустимого представления π группы G пространство Hom _K ( π , C ) конечномерно. Более того, оценка этой размерности не зависит от π . Эта гипотеза доказана для большого класса сферических пар, включая все симметричные пары.

Приложения

Классификация

Пары Гельфанда часто используются для классификации неприводимых представлений следующим образом: Пусть ( G , K ) — пара Гельфанда. Неприводимое представление группы G называется K -выделенным, если Hom _K ( π , C ) одномерен. Представительство Индии ^Г
_K ( C ) является моделью для всех K -выделенных представлений, т.е. любое K -выделенное представление появляется там с кратностью ровно 1. Аналогичное понятие существует для скрученных пар Гельфанда.

Пример: Если G — редуктивная группа над локальным полем и K — ее максимальная компактная подгруппа, то K выделенных представлений называются сферическими , такие представления можно классифицировать с помощью соответствия Сатаке . В основе понятия модуля Хариш-Чандры лежит понятие сферического представления .

Пример: если G — расщепляемая редуктивная группа над локальным полем и K — ее максимальная унипотентная подгруппа , то пара ( G , K ) является скрученной парой Гельфанда относительно любого невырожденного характера ψ (см. ). В этом случае K -выделенные представления называются общими (или невырожденными) и их легко классифицировать. Почти любое неприводимое представление является общим. Единственное (с точностью до скаляра) вложение общего представления в Ind ^Г
_K ( ψ ) называется моделью Уиттекера .

В случае G = GL( n ) существует более тонкая версия приведенного выше результата, а именно, существует конечная последовательность подгрупп K _i и характеров $\psi _{i}$ st ( G , K _i ) — скрученная пара Гельфанда относительно $\psi _{i}$ и любое неприводимое унитарное представление K _i отличается ровно для одного i (см. ).

Конструкция Гельфанда–Цейтлина

См. Также: Интегрируемая система Гельфанда – Цейтлина.

последовательность {1} ⊂ G1 _{⊂ ...} ⊂ Gn _{построения базисов неприводимых представлений: предположим, что} st ( Gi _, Пары Гельфанда также можно использовать для Gi _{− 1} ) является сильной парой Гельфанда. Для простоты предположим, что компактна _Gn . Тогда это дает каноническое разложение любого неприводимого представления на _Gn одномерные подпредставления. случае Gn _В = U( n ) (унитарная группа) эта конструкция называется базисом Гельфанда Цейтлина . Поскольку представления U( n ) совпадают с алгебраическими представлениями GL( n ), мы также получаем базис любого алгебраического неприводимого представления GL( n ). Однако следует учитывать, что построенный базис не является каноническим, поскольку зависит от выбора вложений U( i ) ⊂ U( i +1).

Расщепление периодов автоморфных форм

Более позднее использование пар Гельфанда — для расщепления периодов автоморфных форм .

Пусть G — редуктивная группа, определенная над глобальным полем F , и пусть K — алгебраическая подгруппа G. группы Предположим, что для любого места $\nu$ пара пары F ( G , K ) является парой Гельфанда над пополнением $F_{\nu }$. Пусть m — автоморфная форма над G , тогда ее H -период распадается как произведение локальных факторов (т.е. факторов, которые зависят только от поведения m в каждом месте). $\nu$).

Теперь предположим, что нам дано семейство автоморфных форм с комплексным параметром s . Тогда период этих форм является аналитической функцией, которая распадается на произведение локальных факторов. Часто это означает, что данная функция является некоторой L-функцией , и это дает аналитическое продолжение и функциональное уравнение для этой L-функции.

Примечание: обычно эти периоды не сходятся и их следует упорядочить.

Обобщение теории представлений

Возможный подход к теории представлений состоит в том, чтобы рассматривать теорию представлений группы G как гармонический анализ группы G относительно двустороннего действия G × G . Действительно, знать все неприводимые представления группы G эквивалентно знанию разложения пространства функций на G как G × G. представления В этом подходе теорию представлений можно обобщить, заменив пару ( G × G , G ) любой сферической парой ( G , K ). мы придем к вопросу о гармоническом анализе пространства G / K относительно действия G. Тогда

Теперь свойство Гельфанда для пары ( G , K ) является аналогом леммы Шура .

Используя этот подход, можно взять любые понятия теории представлений и обобщить их на случай сферической пары. Например, формула относительного следа получается из формулы следа с помощью этой процедуры .

Примеры

Конечные группы

Вот несколько распространенных примеров пар Гельфанда:

• (Sym( n + 1), Sym( n )), симметрическая группа, действующая на n + 1 точке, и стабилизатор точки, естественно изоморфный на n точках.
• (AGL( n , q ), GL( n , q )), аффинная (общая линейная) группа и стабилизатор точки, естественно изоморфный полной линейной группе .

Если ( G , K ) — пара Гельфанда, то ( / N , K / N ) — пара Гельфанда для каждой G - нормальной подгруппы N группы K. G Для многих целей достаточно рассмотреть K без таких неединичных нормальных подгрупп. Таким образом, действие G на смежных классах K является точным, поэтому мы рассматриваем группы перестановок G со стабилизаторами точки K . Быть парой Гельфанда равносильно $[1_{K},\chi \downarrow _{K}^{G}]\leq 1$ для любого х из Irr( G ). С $[1_{K},\chi \downarrow _{K}^{G}]=[1\uparrow _{K}^{G},\chi ]$ по принципу взаимности Фробениуса и $1\uparrow _{K}^{G}$ — характер действия перестановки, группа перестановок определяет пару Гельфанда тогда и только тогда, когда характер перестановки является так называемым характером перестановки без кратности . Такие признаки перестановок без множественности были определены для спорадических групп в ( Breuer & Lux 1996 ).

Это порождает класс примеров конечных групп с парами Гельфанда: 2-транзитивные группы . Группа подстановок G называется 2-транзитивной , если стабилизатор K точки действует транзитивно на остальных точках. В частности, G, симметрическая группа на n +1 точке, и K, симметрическая группа на n точках, образуют пару Гельфанда для каждого n ≥ 1. Это следует из того, что характер 2-транзитивного перестановочного действия имеет вид 1 + χ для некоторый неприводимый характер χ и тривиальный характер 1 ( Isaacs 1994 , стр. 69).

Действительно, если G — транзитивная группа подстановок, чей точечный стабилизатор K имеет не более четырех орбит (включая тривиальную орбиту, содержащую только стабилизированную точку), то ее кольцо Шура коммутативно и ( G , K ) — пара Гельфанда ( Wielandt 1964) . , стр. 86). Если G — примитивная группа степени, дважды простой, с точечным стабилизатором K , то снова ( G , K ) — пара Гельфанда ( Wielandt 1964 , стр. 97).

Пары Гельфанда (Sym( n ), K ) были классифицированы в ( Saxl 1981 ). Грубо говоря, K должна содержаться как подгруппа малого индекса в одной из следующих групп, если n не меньше 18: Sym( n − k )× Sym( k ), Sym( n /2) wr Sym(2), Sym(2) wr Sym( n /2) для n четного , Sym( n − 5) × AGL(1,5), Sym( n − 6) × PGL(2,5) или Sym( n − 9) × PΓL(2,8). Исследованы также пары Гельфанда для классических групп.

Симметричные пары с компактным K

• (GL( п , р ), О( п , р ))
• (GL( п , С ), U( п ))
• (О( п + к , р ), О( п , р ) × О( к , р ))
• (U( n + k ), U( n ) × U( k ))
• ( G , K ), где G — редуктивная группа Ли , а K — максимальная компактная подгруппа .

Симметричные пары Гельфанда первого ранга

Пусть F — локальное поле нулевой характеристики.

• (SL( n + 1, F ), GL( n , F )) для n > 5.
• (Sp(2 n + 2, F ), Sp(2 n , F )) × Sp(2, F )) для n > 4.
• (SO( V ⊕ F ), SO( V )) где V — векторное пространство над F с невырожденной квадратичной формой .

Симметричные пары высокого ранга

Пусть F — локальное поле нулевой характеристики. Пусть G — редуктивная группа над F . Ниже приведены примеры симметричных пар Гельфанда высокого ранга:

• ( G × G , Δ G ): следует из леммы Шура .
• (GL( n + k , F ), GL( n , F ) × GL( k , F )).
• (GL(2n , F ) , Sp(2n , F ) ).
• (О( п + к , С ), О( п , С ) × О( к , С )).
• (GL( n , C ), O( n , C )).
• (GL( n , E ), GL( , F ) ), где E — квадратичное расширение F n .

Гельфанда

Следующие пары являются сильными парами Гельфанда:

• (Sym( n + 1), Sym( n )), это доказывается с помощью инволютивного антиавтоморфизма g ↦ g ⁻¹ .
• (GL( n + 1, F ), GL( n , F )) где F — локальное поле нулевой характеристики.
• (O( V ⊕ F ), O( V )) где V — векторное пространство над F с невырожденной квадратичной формой .
• U( V ⊕ E ), U( V )) где E — квадратичное расширение F , а V — векторное пространство над E с невырожденной эрмитовой формой .

Эти четыре примера можно перефразировать как утверждение, что следующие пары являются гельфандовыми:

• (Sym( n + 1) × Sym( n ), Δ Sym( n )).
• (GL( n + 1, F ) × GL( n , F ), Δ GL( n , F ))
• (O( V ⊕ F ) × O( V ), Δ O( V ))
• (U( V ⊕ E ) × U( V ), Δ U( V ))

См. также

• Сферическая функция

Ссылки

• Брейер, Т.; Люкс, К. (1996), «Характеры перестановок без кратности спорадических простых групп и их групп автоморфизмов», Communications in Algebra , 24 (7): 2293–2316, doi : 10.1080/00927879608825701 , MR   1390375
• Айзекс, И. Мартин (1994), Теория характеров конечных групп , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-68014-9 , МР   0460423
• Саксл, Январь (1981), «О представлениях перестановок без множественности», Конечная геометрия и конструкции (Proc. Conf., Chelwood Gate, 1980) , London Math. Соц. Лекционная конспект. Сер., т. 1, с. 49, Издательство Кембриджского университета , стр. 337–353, MR   0627512.
• ван Дейк, Геррит (2009), Введение в гармонический анализ и обобщенные пары Гельфанда , Исследования Де Грюйтера по математике, том. 36, Вальтер де Грюйтер, ISBN  978-3-11-022019-3
• Виландт, Хельмут (1964), Конечные группы перестановок , Бостон, Массачусетс: Academic Press , MR   0183775