Модель Уиттекера

В теории представлений , разделе математики, модель Уиттекера — это реализация представления редуктивной алгебраической группы , такой как GL _2, над конечным , локальным или глобальным полем в пространстве функций группы. Она названа в честь Э. Т. Уиттекера, хотя он никогда не работал в этой области, поскольку (Жаке , 1966 , 1967 ) указал, что для группы SL ₂ ( R ) некоторые функции, участвующие в представлении, являются функциями Уиттекера .

Неприводимые представления без модели Уиттекера иногда называют «вырожденными», а представления с моделью Уиттекера иногда называют «общими». Представление θ ₁₀ симплектической группы Sp ₄ является простейшим примером вырожденного представления.

Модели Уиттакера для GL ₂

Если G — алгебраическая группа GL ₂ , F — локальное поле, τ — фиксированный нетривиальный характер аддитивной группы F , а π — неприводимое представление общей линейной группы G ( F ), то модель Уиттекера ибо π — представление π в пространстве функций ƒ на G ( F ), удовлетворяющее

$f\left({\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}g\right)=\tau (b)f(g).$

Жаке и Ленглендс (1970) чтобы назначить L-функции допустимым представлениям GL использовали модели Уиттекера , ₂ .

Модели Whittaker для GL _n

Позволять $G$ быть общей линейной группой $\operatorname {GL} _{n}$, $\psi$ гладкий комплекснозначный нетривиальный аддитивный характер $F$ и $U$ подгруппа $\operatorname {GL} _{n}$ состоящее из унипотентных верхнетреугольных матриц. Невырожденный персонаж $U$ имеет форму

$\chi (u)=\psi (\alpha _{1}x_{12}+\alpha _{2}x_{23}+\cdots +\alpha _{n-1}x_{n-1n}),$

для $u=(x_{ij})$ ∈ $U$ и ненулевое $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}$ ∈ $F$. Если $(\pi ,V)$ является гладким представлением $G(F)$, функционал Уиттекера $\lambda$ является непрерывным линейным функционалом на $V$ такой, что $\lambda (\pi (u)v)=\chi (u)\lambda (v)$ для всех $u$ ∈ $U$, $v$ ∈ $V$. Множественность утверждает, что для $\pi$ унитарно неприводимо, пространство функционалов Уиттекера имеет размерность не более единицы.

Модели Уиттекера для редуктивных групп

Если G — расщепимая редуктивная группа и U — унипотентный радикал борелевской подгруппы B , то модель Уиттекера для представления — это вложение его в индуцированное ( Гельфанда–Граева ) представление Ind ^Г
_U ( χ ), где χ — невырожденный характер U , такой как сумма характеров, соответствующих простым корням.

См. также

• Представление Гельфанда–Граева , грубо говоря, сумма моделей Уиттекера над конечным полем.
• Kirillov model

Ссылки

• Жаке, Эрве (1966), «Геометрическая интерпретация и P-адическое обобщение функций Уиттекера в теории полупростых групп», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 262 : A943–A945, ISSN   0151-0509 , МР   0200390
• Жаке, Эрве (1967), «Функции Уиттекера, связанные с группами Шевалле» , Bulletin de la Société Mathématique de France , 95 : 243–309, doi : 10.24033/bsmf.1654 , ISSN   0037-9484 , MR   0271275
• Жаке, Х.; Ленглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL (2) , Конспекты лекций по математике, Vol. 114, том. 114, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0058988 , ISBN.  978-3-540-04903-6 , МР   0401654 , S2CID   122773458
• Дж. А. Шалика. Теорема о кратности одной для $GL_{n}$, Анналы математики, 2-е. Сер., Том. 100, № 2 (1974), 171–193.

Дальнейшее чтение

• Жаке, Эрве; Шалика, Джозеф (1983). «Модели Уиттекера индуцированных представлений» . Тихоокеанский математический журнал . 109 (1): 107–120. дои : 10.2140/pjm.1983.109.107 . ISSN   0030-8730 .