Kirillov model

В математике модель Кириллова , изученная Кирилловым ( 1963 ), представляет собой реализацию представления GL ₂ над локальным полем в пространстве функций на локальном поле.

Если G — алгебраическая группа GL ₂ и F — неархимедово локальное поле, и τ — фиксированный нетривиальный характер аддитивной группы F и π — неприводимое представление группы G ( F ), то модель Кириллова для π — это представление π в пространстве локально постоянных функций f на F ^* с компактным носителем в F такая, что

$\pi \left({\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\right)f(x)=\tau (bx)f(ax).$

Жаке и Ленглендс (1970) показали, что неприводимое представление размерности больше 1 имеет по существу уникальную модель Кириллова. Над локальным полем пространство функций с компактным носителем в F ^* имеет коразмерность 0, 1 или 2 в модели Кириллова в зависимости от того, является ли неприводимое представление каспидальным, специальным или главным.

Модель Уиттекера можно построить на основе модели Кириллова, определив образ W _ξ вектора ξ модели Кириллова формулой

W _ξ ( г ) = π(г)ξ(1)

где π( g ) — образ g в модели Кириллова.

Бернштейн (1984) определил модель Кириллова для полной линейной группы GL _n, используя мираболическую подгруппу . Точнее, модель Кириллова представления полной линейной группы — это ее вложение в представление мираболической группы, индуцированное невырожденным характером группы верхнетреугольных матриц.

Ссылки

• Бернштейн, Джозеф Н. (1984), «P-инвариантные распределения на GL(N) и классификация унитарных представлений GL(N) (неархимедов случай)», Представления группы Ли, II (Колледж-Парк, Мэриленд, 1982/1983) , Конспект лекций по математике, вып. 1041, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 50–102, doi : 10.1007/BFb0073145 , ISBN.  978-3-540-12715-4 , МР   0748505
• Кириллов А. А. (1963), "Бесконечномерные унитарные представления группы матриц второго порядка с элементами в локально компактном поле", Доклады АН СССР , 150 : 740–743, ISSN   0002-3264 , МР   0151552
• Жаке, Х.; Ленглендс, Роберт П. (1970), Автоморфные формы на GL (2) , Конспекты лекций по математике, Vol. 114, том. 114, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0058988 , ISBN.  978-3-540-04903-6 , МР   0401654 , S2CID   122773458