Функция Уиттекера

График функции Уиттекера M k,m(z) при k=2 и m= ⁠ 1/2 ComplexPlot3D ⁠ 13.1 в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica

В математике функция Уиттекера — это специальное решение уравнения Уиттекера , модифицированной формы вырожденного гипергеометрического уравнения, введенного Уиттекером ( 1903 ), чтобы сделать формулы, включающие решения, более симметричными. В более общем смысле Жаке ( 1966 , 1967 ) ввёл функции Уиттекера редуктивных групп над локальными полями , где функции, изучаемые Уиттекером, по существу представляют собой случай, когда локальное поле представляет собой действительные числа, а группа — это SL ₂ ( R ).

Уравнение Уиттекера

${\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {1/4-\mu ^{2}}{z^{2}}}\right)w=0.$

Он имеет регулярную особую точку в точке 0 и неправильную особую точку в точке ∞. Два решения даются функциями Уиттекера M _κ,μ ( z ), W _κ,μ ( z ), определяемыми в терминах вырожденных гипергеометрических функций Куммера M и U формулами

$M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ,z\right)$

$W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ,z\right).$

Функция Уиттекера $W_{\kappa ,\mu }(z)$ то же самое, что и функции с противоположными значениями µ , другими словами, рассматриваемые как функция µ при фиксированных κ и z, это четные функции . Когда κ и z действительны, функции дают действительные значения для действительных и мнимых значений µ . Эти функции от µ играют роль в так называемых пространствах Куммера .

Функции Уиттекера появляются как коэффициенты некоторых представлений группы SL ₂ ( R ), называемых моделями Уиттекера .

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 13» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. стр. 504, 537. ISBN.  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 . См. также главу 14 .
• Бейтман, Гарри (1953), Высшие трансцендентные функции (PDF) , том. 1, McGraw-Hill, заархивировано из оригинала (PDF) 11 августа 2011 г. , получено 30 июля 2011 г.
• Брычков Ю.А.; Прудников, А.П. (2001) [1994], «Функция Уиттекера» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
• Даалхейс, Адри Б. Олде (2010), «Функция Уиттекера» , в Олвере, Фрэнке У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
  • Жаке, Эрве (1966), «Геометрическая интерпретация и P-адическое обобщение функций Уиттекера в теории полупростых групп», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 262 : A943–A945, ISSN   0151-0509 , МР   0200390
• Жаке, Эрве (1967), «Функции Уиттекера, связанные с группами Шевалле» , Bulletin de la Société Mathématique de France , 95 : 243–309, doi : 10.24033/bsmf.1654 , ISSN   0037-9484 , MR   0271275
• Розов, Н.Х. (2001) [1994], «Уравнение Уиттекера» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Слейтер, Люси Джоан (1960), Вытекающие гипергеометрические функции , Издательство Кембриджского университета , MR   0107026 .
• Уиттакер, Эдмунд Т. (1903), «Выражение некоторых известных функций как обобщенных гипергеометрических функций», Бюллетень AMS , 10 (3), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 125–134, doi : 10.1090/S0002- 9904-1903-01077-5

Дальнейшее чтение

• Хатамзаде-Вармазьяр, Саид; Масури, Захра (1 ноября 2012 г.). «Быстрый численный метод анализа одно- и двумерного электромагнитного рассеяния с использованием набора кардинальных функций» . Инженерный анализ с граничными элементами . 36 (11): 1631–1639. дои : 10.1016/j.enganabound.2012.04.014 . ISSN   0955-7997 .
• Герасимов А.А.; Лебедев Дмитрий Р.; Облезин, Сергей В. (2012). «Новые интегральные представления функций Уиттекера для классических групп Ли» . Российские математические обзоры . 67 (1): 1–92. arXiv : 0705.2886 . Бибкод : 2012РуМаС..67....1Г . дои : 10.1070/RM2012v067n01ABEH004776 . ISSN   0036-0279 .
• Бодуэн, Фабрис; О'Коннелл, Нил (2011). «Экспоненциальные функционалы броуновского движения и функции Уиттекера первого класса» . Анналы Института Анри Пуанкаре, Вероятности и статистики . 47 (4): 1096–1120. arXiv : 0809.2506 . Бибкод : 2011AIHPB..47.1096B . дои : 10.1214/10-AIHP401 . S2CID   113388 .
• Макки, Марк (апрель 2009 г.). «Функция Уиттекера бесконечного порядка» . Канадский математический журнал . 61 (2): 373–381. дои : 10.4153/CJM-2009-019-x . ISSN   0008-414X . S2CID   55587239 .
• Матай, AM; Педерзоли, Джорджо (1 марта 1997 г.). «Некоторые свойства матричных преобразований Лапласа и матричных функций Уиттекера» . Линейная алгебра и ее приложения . 253 (1): 209–226. дои : 10.1016/0024-3795(95)00705-9 . ISSN   0024-3795 .
• Уиттакер, Дж. М. (май 1927 г.). «О кардинальной функции теории интерполяции» . Труды Эдинбургского математического общества . 1 (1): 41–46. дои : 10.1017/S0013091500007318 . ISSN   1464-3839 .
• Чередник, Иван (2009). «Пределы Уиттекера разностных сферических функций» . Уведомления о международных математических исследованиях . 2009 (20): 3793–3842. arXiv : 0807.2155 . дои : 10.1093/imrn/rnp065 . ISSN   1687-0247 . S2CID   6253357 .
• Слейтер, LJ (октябрь 1954 г.). «Разложения обобщенных функций Уиттекера» . Математические труды Кембриджского философского общества . 50 (4): 628–631. Бибкод : 1954PCPS...50..628S . дои : 10.1017/S0305004100029765 . ISSN   1469-8064 . S2CID   122348447 .
• Этингоф, Павел (12 января 1999 г.). «Функции Уиттекера на квантовых группах и q-деформированные операторы Тоды». arXiv : математика/9901053 .
• Макнамара, Питер Дж. (15 января 2011 г.). «Метаплектические функции Уиттекера и кристаллические основания» . Математический журнал Дьюка . 156 (1): 1–31. arXiv : 0907.2675 . дои : 10.1215/00127094-2010-064 . ISSN   0012-7094 . S2CID   979197 .
• Матай, AM; Педерзоли, Джорджо (15 января 1998 г.). «Функция Уиттекера матричного аргумента» . Линейная алгебра и ее приложения . 269 ​​(1): 91–103. дои : 10.1016/S0024-3795(97)00059-1 . ISSN   0024-3795 .
• Френкель, Э.; Гайцгори, Д.; Каждан Д.; Вилонен, К. (1998). «Геометрическая реализация функций Уиттекера и гипотеза Ленглендса» . Журнал Американского математического общества . 11 (2): 451–484. arXiv : alg-geom/9703022 . дои : 10.1090/S0894-0347-98-00260-4 . ISSN   0894-0347 . S2CID   13221400 .