Алгебра Шура

В математике алгебры Шура , названные в честь Иссаи Шура , представляют собой некоторые конечномерные алгебры, тесно связанные с двойственностью Шура – ​​Вейля между общими линейными и симметрическими группами. Они используются для связи теорий представления этих двух групп . Их использованию способствовала влиятельная монография Дж. А. Грина, впервые опубликованная в 1980 году. Название «алгебра Шура» принадлежит Грину. В модульном случае (над бесконечными полями положительной характеристики) алгебры Шура использовались Гордоном Джеймсом и Карин Эрдманн, чтобы показать, что (все еще открытые) проблемы вычисления чисел разложения для общих линейных групп и симметричных групп на самом деле эквивалентны. Алгебры Шура использовались Фридлендером и Суслином для доказательства конечного порождения когомологий конечных групповых схем .

Строительство

Алгебра Шура $S_{k}(n,r)$ можно определить для любого коммутативного кольца $k$ и целые числа $n,r\geq 0$. Рассмотрим алгебру $k[x_{ij}]$ полиномов в (с коэффициентами $k$) в $n^{2}$ коммутирующие переменные $x_{ij}$, 1 ≤ я , j ≤ $n$. Обозначим через $A_{k}(n,r)$ однородные многочлены степени $r$. Элементы $A_{k}(n,r)$ представляют собой k -линейные комбинации одночленов, образованные умножением $r$ генераторов $x_{ij}$ (допускается повторение). Таким образом

$k[x_{ij}]=\bigoplus _{r\geq 0}A_{k}(n,r).$

Сейчас, $k[x_{ij}]$ имеет естественную структуру коалгебры с коумножением $\Delta$ и счетчик $\varepsilon$ гомоморфизмы алгебры, заданные на генераторах формулой

$\Delta (x_{ij})=\textstyle \sum _{l}x_{il}\otimes x_{lj},\quad \varepsilon (x_{ij})=\delta _{ij}\quad$ ( Дельта Кронекера ).

Поскольку коумножение является гомоморфизмом алгебры, $k[x_{ij}]$ является биалгеброй . Один легкопроверяет это $A_{k}(n,r)$ является подкоалгеброй биалгебры $k[x_{ij}]$, для любого r ≥ 0.

Определение. Алгебра Шура (в степени $r$) — алгебра $S_{k}(n,r)=\mathrm {Hom} _{k}(A_{k}(n,r),k)$. То есть, $S_{k}(n,r)$ является линейным двойником $A_{k}(n,r)$.

Это общий факт, что линейное двойственное коалгебре $A$ является алгеброй естественным образом, где умножение в алгебре индуцируется дуализацией коумножения в коалгебре. Чтобы увидеть это, позвольте

$\Delta (a)=\textstyle \sum a_{i}\otimes b_{i}$

и, учитывая линейные функционалы $f$, $g$ на $A$, определите их произведение как линейный функционал, заданный формулой

$\textstyle a\mapsto \sum f(a_{i})g(b_{i}).$

Единичным элементом такого умножения функционалов является единица в $A$.

Основные свойства

• Одно из самых основных свойств выражает $S_{k}(n,r)$ как централизаторная алгебра. Позволять $V=k^{n}$ быть пространством рангов $n$ векторы-столбцы над $k$, и сформируем тензорную степень

$V^{\otimes r}=V\otimes \cdots \otimes V\quad (r{\text{ factors}}).$

Тогда симметрическая группа ${\mathfrak {S}}_{r}$ на $r$ буквы естественным образом действуют в тензорном пространстве путем перестановки мест, и существует изоморфизм

$S_{k}(n,r)\cong \mathrm {End} _{{\mathfrak {S}}_{r}}(V^{\otimes r}).$

Другими словами, $S_{k}(n,r)$ можно рассматривать как алгебру эндоморфизмов тензорного пространства, коммутирующих с действием симметрической группы .

• $S_{k}(n,r)$ бесплатно более $k$ ранга, определяемого биномиальным коэффициентом ${\tbinom {n^{2}+r-1}{r}}$.
• Различные базы $S_{k}(n,r)$ известны, многие из которых индексируются парами полустандартных таблиц Юнга формы $\lambda$, как $\lambda$ от набора разделов варьируется в зависимости $r$ не более чем $n$ части.
• В случае, когда k — бесконечное поле, $S_{k}(n,r)$ можно также отождествить с обертывающей алгеброй (в смысле Г. Вейля) действия полной линейной группы $\mathrm {GL} _{n}(k)$ действуя на $V^{\otimes r}$ (через диагональное действие на тензоры, индуцированное естественным действием $\mathrm {GL} _{n}(k)$ на $V=k^{n}$ заданное матричным умножением).
• Алгебры Шура «определены над целыми числами». Это означает, что они удовлетворяют следующему свойству изменения скаляров:

$S_{k}(n,r)\cong S_{\mathbb {Z} }(n,r)\otimes _{\mathbb {Z} }k$

для любого коммутативного кольца $k$.

• Алгебры Шура дают естественные примеры квазинаследственных алгебр. (по определению Клайна, Паршалла и Скотта) и, таким образом, обладают хорошими гомологическими свойствами. В частности, алгебры Шура имеют конечную глобальную размерность .

Обобщения

• Обобщенные алгебры Шура (связанные с любой редуктивной алгебраической группой ) были введены Донкиным в 1980-х годах. Они также являются квазинаследственными.
• Примерно в то же время Диппер и Джеймс ввел квантованные алгебры Шура (или для краткости q-алгебры Шура ), которые представляют собой разновидность q-деформации описанных выше классических алгебр Шура, в которой симметрическая группа заменяется соответствующей алгеброй Гекке , а общая линейная группа - соответствующую квантовую группу .
• Существуют также обобщенные q-алгебры Шура , которые получены путем обобщения работ Диппера и Джеймса таким же образом, как Донкин обобщал классические алгебры Шура.
• Существуют и дальнейшие обобщения, такие как аффинные q-алгебры Шура. связанные с аффинными Каца – Муди алгебрами Ли и другими обобщениями, такими как круговые q-алгебры Шура связанные с алгебрами Арики-Койке (которые являются q-деформациями некоторых комплексных групп отражений ).

Изучение этих различных классов обобщений составляет активную область современных исследований.

Дальнейшее чтение

• Стюарт Мартин, Алгебры Шура и теория представлений , издательство Кембриджского университета, 1993. MR. 2482481 , ISBN   978-0-521-10046-5
• Эндрю Мэтас, Алгебры Ивахори-Хеке и алгебры Шура симметричной группы , Серия университетских лекций, том 15, Американское математическое общество, 1999. MR 1711316 , ISBN   0-8218-1926-7
• Герман Вейль , Классические группы. Их инварианты и представления . Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1939. MR 0000255 , ISBN   0-691-05756-7