Двойственность Шура – Вейля

Двойственность Шура – Вейля — это математическая теорема в теории представлений , связывающая неприводимые конечномерные представления общих линейных и симметричных групп. Оно названо в честь двух пионеров теории представлений групп Ли , Иссаи Шура , открывшего это явление, и Германа Вейля , который популяризировал его в своих книгах по квантовой механике и классическим группам как способ классификации представлений унитарных и общих линейных групп.

Двойственность Шура–Вейля можно доказать с помощью теоремы о двойном централизаторе . ^{[ 1 ]}

Описание

Двойственность Шура–Вейля образует архетипическую ситуацию в теории представлений, включающую два вида симметрии , которые определяют друг друга. Рассмотрим тензорное пространство

\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}

с k факторами.

Симметричная группа Sk _: на k буквах действует на этом пространстве (слева) перестановкой множителей

\sigma (v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=v_{\sigma ^{-1}(1)}\otimes v_{\sigma ^{-1}(2)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma ^{-1}(k)}.

Общая линейная группа GL _n обратимых матриц размера n × n действует на него одновременным умножением матриц ,

g(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=gv_{1}\otimes gv_{2}\otimes \cdots \otimes gv_{k},\quad g\in {\text{GL}}_{n}.

Эти два действия коммутируют утверждает, что при совместном действии групп Sk _{, и в своей конкретной форме двойственность Шура– Вейля} и GL _n тензорное пространство распадается в прямую сумму тензорных произведений неприводимых модулей (для этих двух групп ), которые фактически определяют друг друга,

\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{D}\pi _{k}^{D}\otimes \rho _{n}^{D}.

Слагаемые индексируются диаграммами Юнга D с k ящиками и не более чем n строками, а представления $\pi _{k}^{D}$ SK представлений _для с разными D взаимно неизоморфны, то же самое справедливо и $\rho _{n}^{D}$ ГЛ _н .

Абстрактная форма двойственности Шура–Вейля утверждает, что две алгебры операторов в тензорном пространстве, порожденные действиями GL _n и Sk _, являются полными взаимными централизаторами в алгебре эндоморфизмов $\mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}).$

Пример

Предположим, что k = 2 и n больше единицы. Тогда двойственность Шура–Вейля — это утверждение о том, что пространство двухтензоров распадается на симметричную и антисимметричную части, каждая из которых является неприводимым модулем для GL _n :

\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}=S^{2}\mathbb {C} ^{n}\oplus \Lambda ^{2}\mathbb {C} ^{n}.

Симметричная группа S2 _{тривиальное} состоит из двух элементов и имеет два неприводимых представления: представление и знаковое представление . Тривиальное представление S ₂ порождает симметричные тензоры, которые инвариантны (т. е. не изменяются) при перестановке множителей, а знаковое представление соответствует кососимметричным тензорам, которые меняют знак.

Доказательство

Сначала рассмотрим следующую настройку:

G конечная группа ,
$A=\mathbb {C} [G]$ групповая алгебра группы G ,
$U$ конечномерный правый A -модуль и
$B=\operatorname {End} _{G}(U)$ , которое действует на U слева и коммутирует с правым действием G (или A ). Другими словами, $B$ является централизатором $A$ в кольце эндоморфизмов $\operatorname {End} (U)$ .

В доказательстве используются две алгебраические леммы.

Лемма 1 — ^{[ 2 ]} Если $W$ — простой левый A -модуль, то $U\otimes _{A}W$ является простым левым B -модулем.

Доказательство : поскольку U полупроста , по теореме Машке существует разложение $U=\bigoplus _{i}U_{i}^{\oplus m_{i}}$ на простые A -модули. Затем $U\otimes _{A}W=\bigoplus _{i}(U_{i}\otimes _{A}W)^{\oplus m_{i}}$ . Поскольку A — левое регулярное представление группы G , каждый простой G -модуль появляется в A , и мы имеем, что $U_{i}\otimes _{A}W=\mathbb {C}$ (соответственно ноль) тогда и только тогда, когда $U_{i},W$ соответствуют одному и тому же простому множителю A (соответственно в противном случае). Следовательно, мы имеем: $U\otimes _{A}W=(U_{i_{0}}\otimes _{A}W)^{\oplus m_{i_{0}}}=\mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}.$ Теперь легко видеть, что каждый ненулевой вектор в $\mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}$ порождает все пространство как B -модуль и поэтому $U\otimes _{A}W$ это просто. (Вообще, ненулевой модуль является простым тогда и только тогда, когда каждый его ненулевой циклический подмодуль совпадает с модулем.) $\square$

Лемма 2 — ^{[ 3 ]} Когда $U=V^{\otimes d}$ и G — симметрическая группа ${\mathfrak {S}}_{d}$ , подпространство $U$ является B -подмодулем тогда и только тогда, когда он инвариантен относительно $\operatorname {GL} (V)$ ; другими словами, B -субмодуль — это то же самое, что и $\operatorname {GL} (V)$ -субмодуль.

Доказательство : Пусть $W=\operatorname {End} (V)$ . $W\hookrightarrow \operatorname {End} (U),w\mapsto w^{d}=d!w\otimes \cdots \otimes w$ . Кроме того, образ W охватывает подпространство симметричных тензоров $\operatorname {Sym} ^{d}(W)$ . С $B=\operatorname {Sym} ^{d}(W)$ , образ $W$ пролеты $B$ . С $\operatorname {GL} (V)$ плотно в W либо в топологии Евклида, либо в топологии Зарисского, отсюда следует утверждение. $\square$

Теперь следует двойственность Шура-Вейля. Мы берем $G={\mathfrak {S}}_{d}$ быть симметричной группой и $U=V^{\otimes d}$ -я d тензорная степень конечномерного комплексного векторного пространства V .

Позволять $V^{\lambda }$ обозначим неприводимую ${\mathfrak {S}}_{d}$ -представление, соответствующее разделу $\lambda$ и $m_{\lambda }=\dim V^{\lambda }$ . Тогда по лемме 1

S^{\lambda }(V):=V^{\otimes d}\otimes _{{\mathfrak {S}}_{d}}V^{\lambda }

является неприводимым как $\operatorname {GL} (V)$ -модуль. Более того, когда $A=\bigoplus _{\lambda }(V^{\lambda })^{\oplus m_{\lambda }}$ — левое полупростое разложение, имеем: ^{[ 4 ]}

V^{\otimes d}=V^{\otimes d}\otimes _{A}A=\bigoplus _{\lambda }(V^{\otimes d}\otimes _{{\mathfrak {S}}_{d}}V^{\lambda })^{\oplus m_{\lambda }}

,

что представляет собой полупростое разложение как $\operatorname {GL} (V)$ -модуль.

Обобщения

Алгебра Брауэра играет роль симметрической группы в обобщении двойственности Шура-Вейля на ортогональные и симплектические группы.

В более общем смысле, алгебра разбиения и ее подалгебры порождают ряд обобщений двойственности Шура-Вейля.

См. также

Алгебра разделов

Примечания

^ Этингоф, Павел; Гольберг Олег; Хензель, Себастьян; Лю, Тянькай; Швенднер, Алекс; Вайнтроб, Дмитрий; Юдовина, Елена (2011), Введение в теорию представлений. С историческими интермедиями Славы Геровича , Збл 1242.20001 , Теорема 5.18.4.
^ Фултон и Харрис 1991 , Лемма 6.22.
^ Фултон и Харрис 1991 , Лемма 6.23.
^ Фултон и Харрис 1991 , Теорема 6.3. (2), (4)

Ссылки

Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 .
Роджер Хоу , Перспективы теории инвариантов: двойственность Шура, действия без множественности и не только . Лекции Шура (1992) (Тель-Авив), 1–182, Israel Math. Конф. Учеб., 8, Университет Бар-Илан, Рамат-Ган, 1995. MR 1321638
Иссаи Шур , О классе матриц, которые могут быть сопоставлены данной матрице . Диссертация. Берлин. 76 С (1901) ЖМФ 32.0165.04
Иссаи Шур , О рациональных представлениях полной линейной группы . Отчеты о совещании Акад. Берлин 1927, 58–75 (1927) ЕМФ 53.0108.05.
Сенгупта, Амбар Н. (2012). «Глава 10: Двойственность характера». Представление конечных групп. Полупростое введение . Спрингер. ISBN 978-1-4614-1232-8 . ОСЛК 875741967 .
Герман Вейль , Классические группы. Их инварианты и представления . Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1939. xii+302 стр. MR 0000255

Внешние ссылки

Как конструктивно/комбинаторно доказать двойственность Шура-Вейля?

[1] Этингоф, Павел; Гольберг Олег; Хензель, Себастьян; Лю, Тянькай; Швенднер, Алекс; Вайнтроб, Дмитрий; Юдовина, Елена (2011), Введение в теорию представлений. С историческими интермедиями Славы Геровича , Збл 1242.20001 , Теорема 5.18.4.

[2] Фултон и Харрис 1991 , Лемма 6.22.

[3] Фултон и Харрис 1991 , Лемма 6.23.

[4] Фултон и Харрис 1991 , Теорема 6.3. (2), (4)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]