Податливая группа

В математике аменабельная группа — это локально компактная топологическая группа G, выполняющая своего рода операцию усреднения над ограниченными функциями , которая инвариантна относительно перемещения элементами группы. Первоначальное определение в терминах конечно-аддитивной меры (или среднего значения) на подмножествах G было введено Джоном фон Нейманом в 1929 году под немецким названием «messbar» («измеримый» на английском языке) в ответ на парадокс Банаха-Тарского. . В 1949 году Махлон М. Дэй ввел английский перевод «податливый», по-видимому, как каламбур на слово « подлый ».

Критическим шагом в построении парадокса Банаха–Тарского является нахождение внутри группы вращений SO(3) с свободной подгруппы двумя образующими. Аменабельные группы не могут содержать такие группы и не допускают такого рода парадоксальных конструкций.

Аменабельность имеет множество эквивалентных определений. В области анализа определение дается в терминах линейных функционалов . Интуитивный способ понять эту версию состоит в том, что носителем регулярного представления является все пространство неприводимых представлений .

В дискретной теории групп , где G имеет дискретную топологию , используется более простое определение. В этом случае группа является управляемой, если можно сказать, какую долю G занимает то или иное данное подмножество. Например, любая подгруппа группы целых чисел $(\mathbb {Z} ,+)$ генерируется некоторым целым числом $p\geq 0$. Если $p=0$ тогда подгруппа занимает 0 долю. В противном случае это займет $1/p$ всей группы. Несмотря на то, что и группа, и подгруппа имеют бесконечное количество элементов, существует четко определенное чувство меры.

Если группа имеет последовательность Фёльнера , она автоматически становится доступной.

Определение локально компактных групп

Пусть G — локально компактная хаусдорфова группа . Тогда хорошо известно, что он обладает единственной, инвариантной к левому (или правому) сдвигу нетривиальной кольцевой мерой с точностью до масштаба — мерой Хаара . (Это борелевская регулярная мера , когда G счетна по секундам существуют как левые, так и правые меры ; когда G компактна, .) Рассмотрим банахово пространство L. ^∞ ( G ) существенно ограниченных измеримых функций внутри этого пространства с мерой (которое, очевидно, не зависит от масштаба меры Хаара).

Определение 1. Линейный функционал Λ в Hom( L ^∞ ( G ), R ) называется средним, если Λ имеет норму 1 и неотрицательен, т.е. f ≥ 0 почти всюду влечет Λ( f ) ≥ 0.

Определение 2. Среднее Λ в Hom( L ^∞ ( G ), R ) называется левоинвариантным (соответственно правоинвариантным ), если Λ( g · f ) = Λ( f ) для всех g в G и f в L ^∞ ( G ) относительно действия сдвига влево (соответственно вправо) g · f (x) = f ( g ⁻¹ x ) (соответственно f · g (x) = f ( xg ⁻¹ )).

Определение 3. Локально компактная хаусдорфова группа называется аменабельной, если она допускает лево- (или право-)инвариантное среднее.

Определив Hom( L ^∞ ( G ), R ) с пространством конечно-аддитивных борелевских мер, абсолютно непрерывных относительно меры Хаара на G ( пространство ба ), терминология становится более естественной: среднее в Hom( L ^∞ ( G ), R ) индуцирует левоинвариантную, конечно-аддитивную борелевскую меру на G , которая дает всей группе вес 1.

Пример

В качестве примера компактных групп рассмотрим группу кругов. График типичной функции f ≥ 0 выглядит как зубчатая кривая над кругом, которую можно сделать, оторвав конец бумажной трубочки. Затем линейный функционал усреднял бы кривую, отрезав кусок бумаги в одном месте и приклеив его в другое место, снова создав плоскую вершину. Это инвариантное среднее, т.е. среднее значение $\Lambda (f)=\int _{\mathbb {R} /\mathbb {Z} }f\ d\lambda$ где $\lambda$ является мерой Лебега.

Левоинвариантность будет означать, что вращение трубки не меняет высоту плоской вершины на конце. То есть имеет значение только форма трубки. В сочетании с линейностью, положительностью и нормой-1 этого достаточно, чтобы доказать, что построенное нами инвариантное среднее уникально.

В качестве примера локально компактных групп рассмотрим группу целых чисел. Ограниченная функция f — это просто ограниченная функция типа $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {R}$, а его среднее значение является скользящим средним $\lim _{n}{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=-n}^{n}f(k)$.

Эквивалентные условия аменабельности

Пир (1984) содержит подробное описание условий на второй счетной локально компактной группе G, которые эквивалентны аменабельности:

• Существование левого (или правого) инвариантного среднего на L ^∞ ( Г ). Исходное определение, которое зависит от выбранной аксиомы .
• Существование левоинвариантных состояний. существует левоинвариантное состояние На любой сепарабельной левоинвариантной унитальной С*-подалгебре ограниченных непрерывных функций на G .
• Свойство фиксированной точки. Любое действие группы непрерывными аффинными преобразованиями на компактном выпуклом подмножестве (сепарабельного) локально выпуклого топологического векторного пространства имеет неподвижную точку. Для локально компактных абелевых групп это свойство выполняется в результате теоремы Маркова–Какутани о неподвижной точке .
• Неприводимый дуал. Все неприводимые представления слабо содержатся в левом регулярном представлении λ на L ² ( Г ).
• Тривиальное представление. Тривиальное представление группы G слабо содержится в левом регулярном представлении.
• Годементное состояние. Каждая ограниченная положительно определенная мера µ на ​​G удовлетворяет условию µ (1) ≥ 0. Валетт улучшил этот критерий, показав, что достаточно спросить, что для каждой непрерывной положительно определенной функции f с компактным носителем на G функция ∆ ^{– 1 ⁄ 2} f имеет неотрицательный интеграл по мере Хаара, где ∆ обозначает модулярную функцию.
• Условие асимптотической инвариантности Дэя. Существует последовательность интегрируемых неотрицательных функций φ _n с интегралом 1 на G такая, что λ( g )φ _n − φ _n стремится к 0 в слабой топологии на L ¹ ( Г ).
• Состояние Рейтера. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F группы G существует интегрируемая неотрицательная функция φ с интегралом 1 такая, что λ( g )φ − φ сколь угодно мало в L ¹ ( G ) для g в F .
• Состояние Диксмье. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F группы G существует единичный вектор f в L ² ( G ) такой, что λ( g ) f − f сколь угодно мало в L ² ( G ) для g в F .
• Условие Гликсберга-Рейтера. Для любого f из L ¹ ( G ), расстояние между 0 и замкнутой выпуклой оболочкой в ​​L ¹ ( G ) слева переводит λ( g ) f равно |∫ f |.
• Состояние Фёльнера . Для каждого конечного (или компактного) подмножества F группы G существует измеримое подмножество U группы G с конечной положительной мерой Хаара такое, что m ( U ∆ gU )/m( U ) сколь угодно мало для g в F .
• Лептиновое состояние. Для каждого конечного (или компактного) подмножества F группы G существует измеримое подмножество U группы G с конечной положительной мерой Хаара такое, что m ( FU ∆ U )/m( U ) сколь угодно мало.
• Состояние Кестена . Левая свертка на L ² ( G ) по симметричной вероятностной мере на G дает оператор операторной нормы 1.
• Когомологическое условие Джонсона. Банахова алгебра A = L ¹ ( G ) аменабельна как банахова алгебра , т. е. любое ограниченное дифференцирование A в двойственное к банахову A -бимодулю является внутренним.

Случай дискретных групп

Определение аменабельности проще в случае дискретной группы : т.е. группа, оснащенная дискретной топологией.

Определение. Дискретная группа G является аменабельной, если существует конечно-аддитивная мера (также называемая средним значением) — функция, которая присваивает каждому подмножеству G число от 0 до 1 — такая, что

1. Мера является вероятностной мерой : мера всей группы G равна 1.
2. Мера конечно аддитивна : при наличии конечного числа непересекающихся подмножеств G мера объединения множеств является суммой мер.
3. Мера левоинвариантна : для данного подмножества A и элемента g из G мера A равна мере gA . ( gA обозначает набор элементов ga для каждого элемента a в A . То есть каждый элемент A переводится слева на g .)

Это определение можно резюмировать следующим образом: G является аменабельной, если она имеет конечно-аддитивную левоинвариантную вероятностную меру. Учитывая подмножество A из G , меру можно рассматривать как ответ на вопрос: какова вероятность того, что случайный элемент G находится в A ?

Это факт, что это определение эквивалентно определению в терминах L ^∞ ( Г ).

Наличие меры µ на ​​G позволяет нам определить интегрирование ограниченных функций на G . Для ограниченной функции f : G → R интеграл

$\int _{G}f\,d\mu$

определяется как при интегрировании Лебега . (Обратите внимание, что некоторые свойства интеграла Лебега здесь не работают, поскольку наша мера является лишь конечно-аддитивной.)

Если группа имеет левоинвариантную меру, она автоматически имеет биинвариантную. Для левоинвариантной меры µ функция µ ⁻ ( А ) знак равно μ ( А ⁻¹ ) является правоинвариантной мерой. Объединение этих двух дает биинвариантную меру:

$\nu (A)=\int _{g\in G}\mu \left(Ag^{-1}\right)\,d\mu ^{-}.$

Эквивалентные условия аменабельности упрощаются и в случае счетной дискретной группы Γ. Для такой группы следующие условия эквивалентны:

• Γ поддается.
• Если Γ действует изометриями на (сепарабельном) банаховом пространстве E , оставляя слабо замкнутое выпуклое подмножество C замкнутого единичного шара E * инвариантным, то Γ имеет неподвижную точку в C .
• Существует левоинвариантный, непрерывный по норме функционал µ на ​​ℓ ^∞ (Γ) с µ (1) = 1 (для этого необходима аксиома выбора ).
• существует левоинвариантное состояние µ. На любой левоинвариантной сепарабельной единичной C*-подалгебре в ℓ ^∞ (С).
• Существует набор вероятностных мер µ _n на Γ такой, что || г · μ _n - μ _n || ₁ стремится к 0 для каждого g в Γ (день MM).
• есть единичные векторы x _n В ℓ ² (Γ) такой, что || г · Икс _п - Икс _п || ₂ стремится к 0 для каждого g из Γ (Ж. Диксмье).
• Существуют конечные подмножества Sn _{в Γ} такие, что | г · S _п Δ S _п | / | С _п | стремится к 0 для каждого g из Γ (Фёлнер).
• Если µ — симметричная вероятностная мера на Γ с носителем, порождающим Γ, то свертка по µ определяет оператор нормы 1 на ℓ ² (Γ) (Кестен).
• Если Γ действует изометриями в (сепарабельном) банаховом пространстве E и f в ℓ ^∞ (Γ, E *) — ограниченный 1-коцикл, т. е. f ( gh ) = f ( g ) + g · f ( h ), тогда f — 1-кограница, т. е. f ( g ) = g ·φ − φ для некоторого φ из E * (Б. Е. Джонсон).
• Приведенная групповая С*-алгебра (см. групповая С*-алгебра Cr _* приведенная ( G ) ) является ядерной .
• Приведенная групповая С*-алгебра квазидиагональна (Дж. Розенберг, А. Тикуисис, С. Уайт, В. Винтер).
• Групповая алгебра фон Неймана (см. алгебры фон Неймана, ассоциированные с группами ) группы Γ гиперконечная (А. Конн).

Заметим, что А. Конн также доказал, что групповая алгебра фон Неймана любой связной локально компактной группы гиперконечна , поэтому последнее условие больше не применимо в случае связных групп.

Аменабельность связана со спектральной теорией некоторых операторов. Например, фундаментальная группа замкнутого риманова многообразия аменабельна тогда и только тогда, когда нижняя часть спектра лапласиана в L2 -пространстве универсального накрытия многообразия равна 0.

Характеристики

• Каждая (замкнутая) подгруппа аменабельной группы аменабельна.
• Каждый фактор аменабельной группы аменабельен.
• Групповое расширение аменабельной группы с помощью аменабельной группы снова аменабельно. В частности, конечные прямые произведения аменабельных групп аменабельны, хотя бесконечные произведения не обязательно должны быть таковыми.
• Прямые пределы аменабельных групп аменабельны. В частности, если группу можно записать как направленное объединение аменабельных подгрупп, то она аменабельна.
• Аменабельные группы унитаризуемы ; обратное — открытая проблема.
• Счётные дискретные аменабельные группы подчиняются теореме Орнштейна об изоморфизме .

Примеры

• Конечные группы аменабельны. Используйте счетную меру с дискретным определением. В более общем смысле компактные группы аменабельны. Мера Хаара является инвариантным средним (единственным, принимающим полную меру 1).
• Группа целых чисел аменабельна (последовательность интервалов длины, стремящейся к бесконечности, является последовательностью Фёлнера). , существование инвариантной к сдвигу конечно-аддитивной вероятностной меры на группе Z также легко следует из теоремы Хана – Банаха Таким образом . Пусть S — оператор сдвига в пространстве последовательностей ℓ ^∞ ( Z ), который определяется формулой ( Sx ) _i = x _{i +1} для всех x ∈ ℓ ^∞ ( Z ), и пусть u ∈ ℓ ^∞ ( Z ) — постоянная последовательность u _i знак равно 1 для всех i ∈ Z . Любой элемент y ∈ Y :=range( S − I больше или равное 1 ) имеет расстояние от u (в противном случае y _i = x _i+1 - x _i было бы положительным и отделено от нуля, следовательно, x _i не могло бы быть ограниченным). Это означает, что существует корректно определенная линейная форма с нормой один в подпространстве R u +   Y, переводящая tu + y в t . По теореме Хана – Банаха последний допускает линейное расширение по норме один на ℓ ^∞ ( Z ), которая по построению является инвариантной к сдвигу конечно-аддитивной вероятностной мерой на Z .
• Если каждый класс сопряженных элементов в локально компактной группе имеет компактное замыкание, то группа аменабельна. Примеры групп с этим свойством включают компактные группы, локально компактные абелевы группы и дискретные группы с конечными классами сопряженности .
• По свойству прямого предела, указанному выше, группа аменабельна, если таковыми являются все ее конечно порожденные подгруппы. То есть локально аменабельные группы аменабельны.
  • Из фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах следует, что абелевы группы аменабельны.
• Из свойства расширения, приведенного выше, следует, что группа аменабельна, если она имеет аменабельную подгруппу конечного индекса . То есть практически поддающиеся группы податливы.
• Кроме того, отсюда следует, что все разрешимые группы аменабельны.

Все приведенные выше примеры элементарно поддаются . Первый класс приведенных ниже примеров можно использовать для демонстрации неэлементарных поддающихся адаптации примеров благодаря существованию групп промежуточного роста .

• конечно порожденные группы субэкспоненциального роста Поддаются . Подходящая последовательность шаров даст последовательность Фёльнера.
• Конечно порожденные бесконечные простые группы не могут быть получены с помощью бутстрап-конструкций, используемых для построения элементарных аменабельных групп. Поскольку существуют такие простые группы, аменабельные по Ющенко и Моно , это снова дает неэлементарные поддающиеся рассмотрению примеры.

Непримеры

Если счетная дискретная группа содержит (неабелеву) свободную подгруппу с двумя образующими, то она не аменабельна. Обратной этому утверждению является так называемая гипотеза фон Неймана опроверг , которую Ольшанский в 1980 году с помощью своих монстров Тарского . Адьян впоследствии показал, что свободные группы Бернсайда неаменабельны: поскольку они периодические , они не могут содержать свободную группу на двух образующих. Эти группы конечно порождены, но не конечно представлены. Однако в 2002 году Сапир и Ольшанский нашли конечно-представленные контрпримеры: неаменабельные конечно-представленные группы , которые имеют периодическую нормальную подгруппу с факторизацией целых чисел.

Однако для конечно порожденных линейных групп гипотеза фон Неймана верна в соответствии с альтернативой Титса : каждая подгруппа GL ( n , k ) с полем k либо имеет нормальную разрешимую подгруппу конечного индекса (и, следовательно, аменабельна), либо содержит свободную группу с двумя образующими. Хотя Титса доказательство использовало алгебраическую геометрию , позже Гиварх нашел аналитическое доказательство, основанное на В. Оселедца мультипликативной эргодической теореме . Аналоги альтернативы Титса доказаны для многих других классов групп, например фундаментальных групп двумерных симплициальных комплексов кривизны неположительной .

См. также

• Равномерно ограниченное представление
• Kazhdan's property (T)
• Гипотеза фон Неймана

Источники

В эту статью включены материалы группы Amenable на сайте PlanetMath , которые доступны под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

• Баллманн, Вернер; Брин, Майкл (1995), «Орбиэдры неположительной кривизны», Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques , 82 : 169–209, CiteSeerX   10.1.1.30.8282 , doi : 10.1007/BF02698640
• Боуэн, Льюис (2012). «Каждая счетная бесконечная группа почти Орнштейна». Динамические системы и групповые действия . Современная математика. Том. 567. стр. 67–78. arXiv : 1103.4424 . дои : 10.1090/conm/567 .
• Брукс, Роберт (1981). «Фундаментальная группа и спектр лапласиана». Комментарий. Математика. Хелв. 56 : 581–598. дои : 10.1007/bf02566228 .
• День, ММ (1949). «Средства на полугруппах и группах» . Бюллетень Американского математического общества . 55 (11): 1054–1055.
• Диксмье, Жак (1977), C *-алгебры (перевод с французского Фрэнсиса Джеллетта) , Математическая библиотека Северной Голландии, том. 15, Северная Голландия
• Гринлиф, Ф.П. (1969), Инвариантные средние топологические группы и их приложения , Ван Ностранд Рейнхольд
• Гиварк, Ив (1990), «Произведения случайных матриц и приложения к геометрическим свойствам подгрупп линейных групп», Эргодическая теория и динамические системы (на французском языке), 10 (3): 483–512, doi : 10.1017 / S0143385700005708
• Ющенко, Катя; Моно, Николя (2013), «Канторовые системы, кусочные переводы и простые аменабельные группы», Annals of Mathematics , 178 (2): 775–787, arXiv : 1204.2132 , doi : 10.4007/annals.2013.178.2.7
• Лептин, Х. (1968), "О гармоническом анализе классно-компактных групп", Инвент. Math. , 5 (4): 249–254, Bibcode : 1968InMat...5..249L , doi : 10.1007/bf01389775.
• фон Нейман, Дж (1929), «Об общей теории измерения» (PDF) , Find. Матем. , 13 (1): 73–111, doi : 10.4064/fm-13-1-73-116.
• Ольшанский, Александр Ю; Сапир, Марк В. (2002), «Неаменабельные конечно определенные периодические циклические группы», Опубл. Математика. Инст. Hautes Études Sci. , 96 : 43–169, arXiv : math/0208237 , doi : 10.1007/s10240-002-0006-7
• Орнштейн, Дональд С .; Вайс, Бенджамин (1987). «Теоремы об энтропии и изоморфизме для действий аменабельных групп». Журнал Математического Анализа . 48 : 1–141. дои : 10.1007/BF02790325 .
• Пьер, Жан-Поль (1984), Аменабельные локально компактные группы , Чистая и прикладная математика, Wiley, Zbl   0621.43001
• Рунде, В. (2002), Лекции по аменабельности , Конспекты лекций по математике, том. 1774, Спрингер, ISBN  978-354042852-7
• Сунада, Тошикадзу (1989), «Унитарные представления фундаментальных групп и спектр скрученных лапласианов», Топология , 28 (2): 125–132, doi : 10.1016/0040-9383(89)90015-3
• Такесаки, М. (2001), Теория операторных алгебр I , Springer, ISBN  978-354042248-8
• Такесаки, М. (2002), Теория операторных алгебр II , Springer, ISBN  978-354042914-2
• Такесаки, М. (2013), Теория операторных алгебр III , Springer, ISBN  978-366210453-8
• Титс, Дж. (1972), «Свободные подгруппы в линейных группах», J. Algebra , 20 (2): 250–270, doi : 10.1016/0021-8693(72)90058-0
• Валетт, Ален (1998), «О характеристике аменабельности, предложенной Годементом» (PDF) , Bull. Австрал. Математика. Соц. , 57 : 153–158, doi : 10.1017/s0004972700031506

Внешние ссылки

• Некоторые заметки Терри Тао об аменабельности
• Гарридо, Алехандра. Введение в аменабельные группы