Квадратно-интегрируемая функция
этой статьи Начальный раздел может оказаться слишком длинным . ( январь 2024 г. ) |
В математике — функция, интегрируемая с квадратом , также называемая функцией, интегрируемой с квадратом или функция или функция, суммируемая с квадратом , [1] - это действительная или комплексная измеримая функция , для которой интеграл от квадрата абсолютного значения конечен. Таким образом, квадратичная интегрируемость на действительной прямой определяется следующим образом.
Можно также говорить о квадратичной интегрируемости на ограниченных интервалах, таких как для . [2]
Эквивалентное определение состоит в том, чтобы сказать, что квадрат самой функции (а не ее абсолютного значения) интегрируем по Лебегу . Чтобы это было правдой, интегралы от положительных и отрицательных частей действительной части должны быть конечными, как и от мнимой части.
Векторное пространство (классов эквивалентности) суммируемых с квадратом функций (относительно меры Лебега) образует пространство с Среди В пространствах класс функций, интегрируемых с квадратом, уникален тем, что совместим со скалярным произведением , что позволяет определить такие понятия, как угол и ортогональность. Наряду с этим скалярным произведением интегрируемые с квадратом функции образуют гильбертово пространство , поскольку все помещения заполнены согласно соответствующим -нормы .
Часто термин используется не для обозначения конкретной функции, а для классов эквивалентности функций, равных почти всюду .
Характеристики
[ редактировать ]Интегрируемые с квадратом функции (в упомянутом смысле, в котором «функция» на самом деле означает класс эквивалентности функций, которые равны почти всюду) образуют пространство внутреннего продукта с внутренним продуктом , определяемым выражением где
- и являются квадратично интегрируемыми функциями,
- представляет собой сопряжение комплексное
- - это множество, по которому происходит интегрирование - в первом определении (данном во введении выше), является , во втором, является .
С , квадратичная интегрируемость - это то же самое, что сказать
Можно показать, что функции, интегрируемые с квадратом, образуют полное метрическое пространство относительно метрики, индуцированной скалярным произведением, определенным выше.Полное метрическое пространство также называется пространством Коши , поскольку последовательности в таких метрических пространствах сходятся тогда и только тогда, когда они являются Коши .Пространство, полное относительно метрики, индуцированной нормой, является банаховым пространством .Следовательно, пространство суммируемых с квадратом функций является банаховым пространством при метрике, индуцированной нормой, которая, в свою очередь, индуцируется скалярным произведением.Поскольку у нас есть дополнительное свойство скалярного произведения, это именно гильбертово пространство , поскольку пространство полно относительно метрики, индуцированной скалярным произведением.
Это внутреннее пространство продукта обычно обозначается и много раз сокращенно Обратите внимание, что обозначает набор функций, интегрируемых с квадратом, но этим обозначением не определяется выбор метрики, нормы или внутреннего продукта.Набор вместе с конкретным внутренним продуктом укажите внутреннее пространство продукта.
Пространство функций, интегрируемых с квадратом, — это пространство, в котором
Примеры
[ редактировать ]Функция определено на находится в для но не для [1] Функция определено на является квадратично интегрируемым. [3]
Ограниченные функции, определенные на квадратично интегрируемы. Эти функции также есть в за любую стоимость [3]
Непримеры
[ редактировать ]Функция определено на где значение в является произвольным. Кроме того, этой функции нет в за любую стоимость в [3]
См. также
[ редактировать ]- Внутреннее пространство продукта
- пространство - функциональные пространства, обобщающие конечномерные пространства с нормой p.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Перейти обратно: а б Тодд, Роуленд. «L^2-Функция» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram .
- ^ Джованни Сансоне (1991). Ортогональные функции . Дуврские публикации. стр. 1–2. ISBN 978-0-486-66730-0 .
- ^ Перейти обратно: а б с «Функции Lp» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 24 октября 2020 г. Проверено 16 января 2020 г.