Jump to content

Квадратно-интегрируемая функция

(Перенаправлено из пространства L2 )

В математике функция, интегрируемая с квадратом , также называемая функцией, интегрируемой с квадратом или функция или функция, суммируемая с квадратом , [1] - это действительная или комплексная измеримая функция , для которой интеграл от квадрата абсолютного значения конечен. Таким образом, квадратичная интегрируемость на действительной прямой определяется следующим образом.

Можно также говорить о квадратичной интегрируемости на ограниченных интервалах, таких как для . [2]

Эквивалентное определение состоит в том, чтобы сказать, что квадрат самой функции (а не ее абсолютного значения) интегрируем по Лебегу . Чтобы это было правдой, интегралы от положительных и отрицательных частей действительной части должны быть конечными, как и от мнимой части.

Векторное пространство (классов эквивалентности) суммируемых с квадратом функций (относительно меры Лебега) образует пространство с Среди В пространствах класс функций, интегрируемых с квадратом, уникален тем, что совместим со скалярным произведением , что позволяет определить такие понятия, как угол и ортогональность. Наряду с этим скалярным произведением интегрируемые с квадратом функции образуют гильбертово пространство , поскольку все помещения заполнены согласно соответствующим -нормы .

Часто термин используется не для обозначения конкретной функции, а для классов эквивалентности функций, равных почти всюду .

Характеристики

[ редактировать ]

Интегрируемые с квадратом функции (в упомянутом смысле, в котором «функция» на самом деле означает класс эквивалентности функций, которые равны почти всюду) образуют пространство внутреннего продукта с внутренним продуктом , определяемым выражением где

  • и являются квадратично интегрируемыми функциями,
  • представляет собой сопряжение комплексное
  • - это множество, по которому происходит интегрирование - в первом определении (данном во введении выше), является , во втором, является .

С , квадратичная интегрируемость - это то же самое, что сказать

Можно показать, что функции, интегрируемые с квадратом, образуют полное метрическое пространство относительно метрики, индуцированной скалярным произведением, определенным выше.Полное метрическое пространство также называется пространством Коши , поскольку последовательности в таких метрических пространствах сходятся тогда и только тогда, когда они являются Коши .Пространство, полное относительно метрики, индуцированной нормой, является банаховым пространством .Следовательно, пространство суммируемых с квадратом функций является банаховым пространством при метрике, индуцированной нормой, которая, в свою очередь, индуцируется скалярным произведением.Поскольку у нас есть дополнительное свойство скалярного произведения, это именно гильбертово пространство , поскольку пространство полно относительно метрики, индуцированной скалярным произведением.

Это внутреннее пространство продукта обычно обозначается и много раз сокращенно Обратите внимание, что обозначает набор функций, интегрируемых с квадратом, но этим обозначением не определяется выбор метрики, нормы или внутреннего продукта.Набор вместе с конкретным внутренним продуктом укажите внутреннее пространство продукта.

Пространство функций, интегрируемых с квадратом, — это пространство, в котором

Функция определено на находится в для но не для [1] Функция определено на является квадратично интегрируемым. [3]

Ограниченные функции, определенные на квадратично интегрируемы. Эти функции также есть в за любую стоимость [3]

Непримеры

[ редактировать ]

Функция определено на где значение в является произвольным. Кроме того, этой функции нет в за любую стоимость в [3]

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Перейти обратно: а б Тодд, Роуленд. «L^2-Функция» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram .
  2. ^ Джованни Сансоне (1991). Ортогональные функции . Дуврские публикации. стр. 1–2. ISBN  978-0-486-66730-0 .
  3. ^ Перейти обратно: а б с «Функции Lp» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 24 октября 2020 г. Проверено 16 января 2020 г.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 983aa095b8894d191bdcce91073fa03c__1705423200
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/98/3c/983aa095b8894d191bdcce91073fa03c.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Square-integrable function - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)