Непрерывные функции в компактном хаусдорфовом пространстве.

В математическом анализе , и особенно в функциональном анализе , фундаментальную роль играет пространство непрерывных функций на компакте Хаусдорфа. $X$ со значениями в действительных или комплексных числах . Это пространство, обозначаемое ${\mathcal {C}}(X),$ является векторным пространством относительно поточечного сложения функций и скалярного умножения на константы. Более того, это нормированное пространство , норма которого определяется формулой $$\|f\|=\sup _{x\in X}|f(x)|,$$единая норма . Равномерная норма определяет топологию равномерной сходимости функций на $X.$ Пространство ${\mathcal {C}}(X)$ является банаховой алгеброй относительно этой нормы. ( Рудин 1973 , §11.3)

Характеристики

• По Урысона лемме ${\mathcal {C}}(X)$ разделяет точки $X$: Если $x,y\in X$ являются различными точками, то существует $f\in {\mathcal {C}}(X)$ такой, что $f(x)\neq f(y).$
• Пространство ${\mathcal {C}}(X)$ бесконечномерен всякий раз, когда $X$ является бесконечным пространством (поскольку оно разделяет точки). Следовательно, в частности, оно вообще не является локально компактным .
• Теорема о представлении Рисса –Маркова–Какутани дает характеристику непрерывного двойственного пространства ${\mathcal {C}}(X).$ В частности, это двойственное пространство представляет собой пространство мер Радона на $X$ (регулярные борелевские меры ), обозначаемые $\operatorname {rca} (X).$ Это пространство с нормой, заданной полной вариацией меры, также является банаховым пространством, принадлежащим классу ba-пространств . ( Данфорд и Шварц 1958 , §IV.6.3)
• Положительные линейные функционалы на ${\mathcal {C}}(X)$ соответствуют (положительным) регулярным борелевским мерам на $X,$ по другой форме теоремы о представлении Рисса. ( Рудин 1966 , Глава 2)
• Если $X$ бесконечно, то ${\mathcal {C}}(X)$ не является рефлексивным и не является слабо полным .
• Теорема Арсела –Асколи верна: подмножество $K$ из ${\mathcal {C}}(X)$ тогда относительно компактен и только тогда, когда он ограничен по норме ${\mathcal {C}}(X),$ и равнонепрерывно .
• Теорема Стоуна – Вейерштрасса справедлива для ${\mathcal {C}}(X).$ В случае действительных функций, если $A$ является подкольцом ​ ${\mathcal {C}}(X)$ который содержит все константы и разделяет точки, замыкание то $A$ является ${\mathcal {C}}(X).$ В случае комплексных функций утверждение справедливо при дополнительной гипотезе, что $A$ замкнуто относительно комплексного сопряжения .
• Если $X$ и $Y$ являются двумя компактами Хаусдорфа и $F:{\mathcal {C}}(X)\to {\mathcal {C}}(Y)$ является гомоморфизмом алгебр, коммутирующим с комплексным сопряжением, то $F$ является непрерывным. Более того, $F$ имеет форму $F(h)(y)=h(f(y))$ для некоторой непрерывной функции $f:Y\to X.$ В частности, если $C(X)$ и $C(Y)$ изоморфны как алгебры, то $X$ и $Y$ являются гомеоморфными топологическими пространствами.
• Позволять $\Delta$ — пространство максимальных идеалов в ${\mathcal {C}}(X).$ Тогда существует взаимно однозначное соответствие между ∆ и точками $X.$ Более того, $\Delta$ можно отождествить с совокупностью всех комплексных гомоморфизмов ${\mathcal {C}}(X)\to \mathbb {C} .$ Оборудовать $\Delta$с исходной топологией относительно этого спаривания с ${\mathcal {C}}(X)$ (то есть преобразование Гельфанда ). Затем $X$ гомеоморфно ∆, снабженному этой топологией. ( Рудин 1973 , §11.13)
• Последовательность в ${\mathcal {C}}(X)$ является слабо Коши тогда и только тогда, когда оно (равномерно) ограничено в ${\mathcal {C}}(X)$ и поточечно сходящиеся. В частности, ${\mathcal {C}}(X)$ является лишь слабо полным для $X$ конечное множество.
• Неопределенная топология — это слабая* топология на двойственном ${\mathcal {C}}(X).$
• Из теоремы Банаха –Алаоглу следует, что любое нормированное пространство изометрически изоморфно подпространству $C(X)$ для некоторых $X.$

Обобщения

Пространство $C(X)$ действительных или комплекснозначных непрерывных функций можно определить в любом топологическом пространстве. $X.$ Однако в некомпактном случае $C(X)$ вообще не является банаховым пространством относительно равномерной нормы, поскольку может содержать неограниченные функции. Поэтому более характерно рассматривать пространство, обозначенное здесь $C_{B}(X)$ ограниченных непрерывных функций на $X.$ Это банахово пространство (фактически коммутативная банахова алгебра с единицей) относительно равномерной нормы. ( Хьюитт и Стромберг, 1965 , теорема 7.9)

Иногда желательно, особенно в теории меры , уточнить это общее определение, рассмотрев особый случай, когда $X$ является локально компактным хаусдорфовым пространством. В этом случае можно выделить пару выделенных подмножеств $C_{B}(X)$: ( Хьюитт и Стромберг 1965 , §II.7)

• $C_{00}(X),$ подмножество $C(X)$ состоящая из функций с компактной поддержкой . Это называется пространством функций, исчезающих в окрестности бесконечности .
• $C_{0}(X),$ подмножество $C(X)$ состоящее из функций таких, что для любого $r>0,$ есть компактный набор $K\subseteq X$ такой, что $|f(x)|<r$ для всех $x\in X\backslash K.$ Это называется пространством функций, исчезающих на бесконечности .

Закрытие $C_{00}(X)$ это именно $C_{0}(X).$ В частности, последнее является банаховым пространством.

Ссылки

• Данфорд, Н.; Шварц, Дж.Т. (1958), Линейные операторы, Часть I , Wiley-Interscience .
• Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Рудин, Уолтер (1966), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN  0-07-054234-1 .