Проективное тензорное произведение

В функциональном анализе , области математики , проективное тензорное произведение двух локально выпуклых топологических векторных пространств является естественной структурой топологического векторного пространства на их тензорном произведении . А именно, для данных локально выпуклых топологических векторных пространств $X$ и $Y$, проективная топология или π-топология на $X\otimes Y$ является самой сильной топологией, которая делает $X\otimes Y$ локально выпуклое топологическое векторное пространство такое, что каноническое отображение $(x,y)\mapsto x\otimes y$ (от $X\times Y$ к $X\otimes Y$) является непрерывным. При использовании этой топологии $X\otimes Y$ обозначается $X\otimes _{\pi }Y$ и назвал проективным тензорным произведением $X$ и $Y$.

Определения

Позволять $X$ и $Y$ — локально выпуклые топологические векторные пространства. Их проективное тензорное произведение $X\otimes _{\pi }Y$ - уникальное локально выпуклое топологическое векторное пространство с основным векторным пространством $X\otimes Y$ обладающий следующим универсальным свойством :

Для любого локально выпуклого топологического векторного пространства $Z$, если $\Phi _{Z}$ — каноническое отображение векторного пространства билинейных отображений $X\times Y\to Z$ в векторное пространство линейных отображений $X\otimes Y\to Z$, то образ ограничения $\Phi _{Z}$ билинейным отображениям непрерывным — это пространство непрерывных линейных отображений $X\otimes _{\pi }Y\to Z$.

Когда топологии $X$ и $Y$ индуцированы полунормами , топология $X\otimes _{\pi }Y$ индуцируется полунормами, построенными на основе полунорм $X$ и $Y$ следующее. Если $p$ является полунормой по $X$, и $q$ является полунормой по $Y$, определим их тензорное произведение $p\otimes q$ быть полунормой на $X\otimes Y$ данный

$$(p\otimes q)(b)=\inf _{r>0,\,b\in rW}r$$

для всех $b$ в $X\otimes Y$, где $W$ — сбалансированная выпуклая оболочка множества $\left\{x\otimes y:p(x)\leq 1,q(y)\leq 1\right\}$. Проективная топология на $X\otimes Y$ порождается совокупностью таких тензорных произведений полунорм на $X$ и $Y$. Когда $X$ и $Y$ являются нормированными пространствами, это определение применимо к нормам на $X$ и $Y$ дает норму, называемую проективной нормой , на $X\otimes Y$ что порождает проективную топологию.

Свойства

Везде все пространства предполагаются локально выпуклыми. Символ $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ обозначает пополнение проективного тензорного произведения $X$ и $Y$.

• Если $X$ и $Y$ оба Хаусдорфы , то и так $X\otimes _{\pi }Y$; если $X$ и $Y$ являются пространствами Фреше , то $X\otimes _{\pi }Y$ находится в стволе .
• Для любых двух непрерывных линейных операторов $u_{1}:X_{1}\to Y_{1}$ и $u_{2}:X_{2}\to Y_{2}$, их тензорное произведение (как линейные карты) $u_{1}\otimes u_{2}:X_{1}\otimes _{\pi }X_{2}\to Y_{1}\otimes _{\pi }Y_{2}$ является непрерывным.
• В общем, проективное тензорное произведение не учитывает подпространства (например, если $Z$ является векторным подпространством $X$ тогда ТВС $Z\otimes _{\pi }Y$ вообще имеет более грубую топологию, чем топология подпространства, унаследованная от $X\otimes _{\pi }Y$).
• Если $E$ и $F$ являются дополняемыми подпространствами $X$ и $Y,$ соответственно, тогда $E\otimes F$ является дополненным векторным подпространством $X\otimes _{\pi }Y$ и проективная норма на $E\otimes _{\pi }F$ эквивалентна проективной норме на $X\otimes _{\pi }Y$ ограничено подпространством $E\otimes F$. Кроме того, если $X$ и $F$ дополняются проекциями нормы 1, то $E\otimes F$ дополняется проекцией нормы 1.
• Позволять $E$ и $F$ — векторные подпространства банаховых пространств $X$ и $Y$, соответственно. Затем $E{\widehat {\otimes }}F$ является TVS-подпространством $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ тогда и только тогда, когда каждая ограниченная билинейная форма на $E\times F$ продолжается до непрерывной билинейной формы на $X\times Y$ с той же нормой.

Завершение

В общем, космос $X\otimes _{\pi }Y$ не является полным, даже если оба $X$ и $Y$ полны (фактически, если $X$ и $Y$ оба являются бесконечномерными банаховыми пространствами, то $X\otimes _{\pi }Y$ обязательно не является полным ). Однако, $X\otimes _{\pi }Y$ всегда может быть линейно вложено как плотное векторное подпространство некоторого полного локально выпуклого TVS, которое обычно обозначается $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$.

Непрерывное двойственное пространство $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ такое же, как и у $X\otimes _{\pi }Y$, а именно пространство непрерывных билинейных форм $B(X,Y)$.

Представление элементов завершения Гротендиком

В хаусдорфовом локально выпуклом пространстве $X,$ последовательность $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $X$ , абсолютно сходится если $\sum _{i=1}^{\infty }p\left(x_{i}\right)<\infty$ для каждой непрерывной полунормы $p$ на $X.$ Мы пишем $x=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}$ если последовательность частичных сумм $\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)_{n=1}^{\infty }$ сходится к $x$ в $X.$

Следующий фундаментальный результат в теории топологических тензорных произведений принадлежит Александру Гротендику .

Теорема — Пусть $X$ и $Y$ — метризуемые локально выпуклые TVS и пусть $z\in X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y.$ Затем $z$ есть сумма абсолютно сходящегося ряда

$$z=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}x_{i}\otimes y_{i}$$

где $\sum _{i=1}^{\infty }|\lambda _{i}|<\infty ,$ и $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ и $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ являются нулевыми последовательностями в $X$ и $Y,$ соответственно.

Следующая теорема показывает, что можно представить представление $z$ независимо от последовательностей $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ и $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }.$

Теорема - Позволять $X$ и $Y$ — пространства Фреше и пусть $U$ (соответственно $V$) — сбалансированная открытая окрестность начала координат в $X$ (соответственно в $Y$). Позволять $K_{0}$ — компактное подмножество выпуклой сбалансированной оболочки $U\otimes V:=\{u\otimes v:u\in U,v\in V\}.$ Существует компактное подмножество $K_{1}$ единичного шара в $\ell ^{1}$ и последовательности $\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ и $\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ содержится в $U$ и $V,$ соответственно, сходящиеся к началу координат такие, что для каждого $z\in K_{0}$ существует какой-то $\left(\lambda _{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in K_{1}$ такой, что

$$z=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}x_{i}\otimes y_{i}.$$

биограниченной

Позволять ${\mathfrak {B}}_{X}$ и ${\mathfrak {B}}_{Y}$ обозначают семейства всех ограниченных подмножеств $X$ и $Y,$ соответственно. Поскольку непрерывное дуальное пространство $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ — пространство непрерывных билинейных форм $B(X,Y),$ мы можем разместить на $B(X,Y)$ топология равномерной сходимости на множествах в ${\mathfrak {B}}_{X}\times {\mathfrak {B}}_{Y},$ которую также называют топологией биограниченной сходимости . Эта топология более грубая, чем сильная топология на $B(X,Y)$и в ( Grotendieck 1955 ) Александр Гротендик интересовался, когда эти две топологии были идентичны. Это эквивалентно задаче: учитывая ограниченное подмножество $B\subseteq X{\widehat {\otimes }}Y,$ существуют ли ограниченные подмножества $B_{1}\subseteq X$ и $B_{2}\subseteq Y$ такой, что $B$ является подмножеством замкнутой выпуклой оболочки $B_{1}\otimes B_{2}:=\{b_{1}\otimes b_{2}:b_{1}\in B_{1},b_{2}\in B_{2}\}$?

Гротендик доказал, что эти топологии равны, когда $X$ и $Y$ оба являются банаховыми пространствами или оба являются DF-пространствами (класс пространств, введенный Гротендиком ). Они также равны, когда оба пространства Фреше, причем одно из них ядерное.

Сильный дуал и бидуал

Позволять $X$ — локально выпуклое топологическое векторное пространство и пусть $X^{\prime }$ быть его непрерывным двойственным пространством. Александр Гротендик охарактеризовал сильный дуализм и бидуальность для определенных ситуаций:

Теорема  (Гротендик) — Пусть $N$ и $Y$ — локально выпуклые топологические векторные пространства с $N$ ядерный . Предположим, что оба $N$ и $Y$ являются пространствами Фреше, или же оба они являются DF-пространствами . Тогда, обозначая сильные дуальные пространства с индексом $b$:

1. Сильный дуал $N{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ можно отождествить с $N_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y_{b}^{\prime }$;
2. Бидуал $N{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ можно отождествить с $N{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y^{\prime \prime }$;
3. Если $Y$ тогда это рефлексивно $N{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ (и, следовательно, $N_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y_{b}^{\prime }$) — рефлексивное пространство ;
4. Каждая отдельно непрерывная билинейная форма на $N_{b}^{\prime }\times Y_{b}^{\prime }$ является непрерывным;
5. Позволять $L\left(X_{b}^{\prime },Y\right)$ — пространство ограниченных линейных отображений из $X_{b}^{\prime }$ к $Y$. Тогда его сильный двойник можно отождествить с $N_{b}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y_{b}^{\prime },$ так, в частности, если $Y$ рефлексивно, то и так $L_{b}\left(X_{b}^{\prime },Y\right).$

Примеры

• Для $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ пространство меры, пусть $L^{1}$ быть настоящим пространством Лебега $L^{1}(\mu )$; позволять $E$ быть настоящим банаховым пространством. Позволять $L_{E}^{1}$ быть пополнением пространства простых функций $X\to E$, по модулю подпространства функций $X\to E$ чьи поточечные нормы, рассматриваемые как функции $X\to \mathbb {R}$, имеют интеграл $0$ относительно $\mu$. Затем $L_{E}^{1}$ изометрически изоморфен $L^{1}{\widehat {\otimes }}_{\pi }E$.

См. также

• Индуктивное тензорное произведение — бинарная операция над топологическими векторными пространствами. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Инъективное тензорное произведение
• Тензорное произведение гильбертовых пространств - тензорное произведение, наделенное особым внутренним произведением.
• Топологическое тензорное произведение - конструкции тензорных произведений для топологических векторных пространств.

Ссылки

• Райан, Рэймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  1-85233-437-1 . ОСЛК   48092184 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .

Дальнейшее чтение

• Дистель, Джо (2008). Метрическая теория тензорных произведений: пересмотр резюме Гротендика . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4440-3 . OCLC   185095773 .
• Гротендик, Александр (1955). «Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires» [Топологические тензорные произведения и ядерные пространства]. Мемуары Американского математического общества (на французском языке). 16 . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-1216-7 . МР   0075539 . OCLC   1315788 .
• Гротендик, Гротендик (1966). Топологические тензорные произведения и ядерные пространства (на французском языке). Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  0-8218-1216-5 . OCLC   1315788 .
• Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально-выпуклые пространства . Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN  0-387-05644-0 . OCLC   539541 .
• Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-09513-6 . OCLC   5126158 .

Внешние ссылки

• Ядерный космос в ncatlab