Индуктивное тензорное произведение

Наилучшая ( топология локально выпуклого топологического векторного пространства TVS) на $X\otimes Y,$ тензорное произведение двух локально выпуклых ТВС, составляющее каноническое отображение $\cdot \otimes \cdot :X\times Y\to X\otimes Y$ (определяется отправкой $(x,y)\in X\times Y$ к $x\otimes y$ ) отдельно непрерывной называется индуктивной топологией или $\iota$ -топология . Когда $X\otimes Y$ наделен этой топологией, то он обозначается $X\otimes _{\iota }Y$ и называется индуктивным тензорным произведением $X$ и $Y.$ ^[1]

Предварительные сведения

На протяжении всего пусть $X,Y,$ и $Z$ — локально выпуклые топологические векторные пространства и $L:X\to Y$ быть линейной картой.

$L:X\to Y$ $L:X\to Y$ является топологическим гомоморфизмом или гомоморфизмом , если он линейный, непрерывный и $L:X\to \operatorname {Im} L$ $L:X\to \operatorname {Im} L$ это открытая карта , где $\operatorname {Im} L,$ $\operatorname {Im} L,$ образ $L,$ $L,$ имеет топологию подпространства, индуцированную $Y.$ $Y.$
- Если $S\subseteq X$ является подпространством $X$ тогда оба фактор-отображения $X\to X/S$ и каноническая инъекция $S\to X$ являются гомоморфизмами. В частности, любое линейное отображение $L:X\to Y$ можно канонически разложить следующим образом: $X\to X/\operatorname {ker} L{\overset {L_{0}}{\rightarrow }}\operatorname {Im} L\to Y$ где $L_{0}(x+\ker L):=L(x)$ определяет биекцию.
Набор непрерывных линейных карт $X\to Z$ (соответственно непрерывные билинейные отображения $X\times Y\to Z$ ) будет обозначаться $L(X;Z)$ (соответственно $B(X,Y;Z)$ ) где если $Z$ является скалярным полем, то вместо этого мы можем написать $L(X)$ (соответственно $B(X,Y)$ ).
Обозначим непрерывное дуальное пространство $X$ $X$ к $X^{\prime }$ $X^{\prime }$ и алгебраическое дуальное пространство (которое является векторным пространством всех линейных функционалов на $X,$ $X,$ будь то непрерывный или нет) путем $X^{\#}.$ $X^{\#}.$
- Для повышения наглядности изложения мы воспользуемся общепринятыми правилами написания элементов $X^{\prime }$ с штрихом после символа (например, $x^{\prime }$ обозначает элемент $X^{\prime }$ а не, скажем, производная и переменные $x$ и $x^{\prime }$ не обязательно должны быть каким-либо образом связаны).
Линейная карта $L:H\to H$ $L:H\to H$ из гильбертова пространства в себя называется положительным, если $\langle L(x),X\rangle \geq 0$ $\langle L (x),X\rangle \geq 0$ для каждого $x\in H.$ $x\in H.$ В этом случае существует единственное положительное отображение $r:H\to H,$ ${\ displaystyle r: H \ to H,}$ называется квадратным корнем из $L,$ $L,$ такой, что $L=r\circ r.$ $L=r\circ r.$ ^[2]
- Если $L:H_{1}\to H_{2}$ — любое непрерывное линейное отображение между гильбертовыми пространствами, тогда $L^{*}\circ L$ всегда положительный. Теперь позвольте $R:H\to H$ обозначают его положительный квадратный корень, который называется значением абсолютным $L.$ Определять $U:H_{1}\to H_{2}$ сначала на $\operatorname {Im} R$ установив $U(x)=L(x)$ для $x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R$ и расширение $U$ постоянно, чтобы ${\overline {\operatorname {Im} R}},$ а затем определить $U$ на $\operatorname {ker} R$ установив $U(x)=0$ для $x\in \operatorname {ker} R$ и распространим эту карту линейно на все $H_{1}.$ Карта $U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L$ является сюръективной изометрией и $L=U\circ R.$
Линейная карта $\Lambda :X\to Y$ $\Lambda:X\to Y$ называется компактным или вполне непрерывным , если существует окрестность $U$ $U$ происхождения в $X$ $X$ такой, что $\Lambda (U)$ $\Лямбда (U)$ является предкомпактным в $Y.$ $Y.$ ^[3]
- В гильбертовом пространстве положительные компактные линейные операторы, скажем $L:H\to H$ имеют простое спектральное разложение, открытое в начале 20 века Фредгольмом и Ф. Риссом: ^[4]

Существует последовательность положительных чисел, убывающая и либо конечная, либо сходящаяся к 0:

r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots

и последовательность ненулевых конечномерных подпространств

V_{i}

из

H

(

i=1,2,\ldots

) со следующими свойствами: (1) подпространства

V_{i}

попарно ортогональны; (2) для каждого

i

и каждый

x\in V_{i},

L(x)=r_{i}x

; и (3) ортогональ подпространства, натянутого на

\cup _{i}V_{i}

равно ядру

L.

^[4]

Обозначения топологий

$\sigma \left(X,X^{\prime }\right)$ обозначает самую грубую топологию на $X$ создание каждой карты в $X^{\prime }$ непрерывный и $X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ или $X_{\sigma }$ обозначает $X$ наделен этой топологией .
$\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ обозначает топологию слабого* на $X^{\prime }$ $X^{\prime }$ и $X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ $X_{\sigma \left (X^{\prime},X\right)}$ или $X_{\sigma }^{\prime }$ $X_{\sigma }^{\prime }$ обозначает $X^{\prime }$ наделен этой топологией .
- Каждый $x_{0}\in X$ вызывает карту $X^{\prime }\to \mathbb {R}$ определяется $\lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right).$ $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$ это самая грубая топология на $X^{\prime }$ делая все такие карты непрерывными.
$b\left(X,X^{\prime }\right)$ обозначает топологию ограниченной сходимости на $X$ и $X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}$ или $X_{b}$ обозначает $X$ наделен этой топологией .
$b\left(X^{\prime },X\right)$ обозначает топологию ограниченной сходимости на $X^{\prime }$ или сильная двойственная топология на $X^{\prime }$ и $X_{b\left(X^{\prime },X\right)}$ $X_{b\left (X^{\prime},X\right)}$ или $X_{b}^{\prime }$ $X_{b}^{\prime }$ обозначает $X^{\prime }$ наделен этой топологией .
- Как обычно, если $X^{\prime }$ рассматривается как топологическое векторное пространство, но неясно, какой топологией оно наделено, то топология будет считаться $b\left(X^{\prime },X\right).$

Универсальная собственность

Предположим, что $Z$ является локально выпуклым пространством и что $I$ — каноническое отображение пространства всех билинейных отображений вида $X\times Y\to Z,$ входя в пространство всех линейных отображений $X\otimes Y\to Z.$ ^[1] Затем, когда область $I$ ограничивается ${\mathcal {B}}(X,Y;Z)$ (пространство отдельно непрерывных билинейных отображений), то областью этого ограничения является пространство $L\left(X\otimes _{\iota }Y;Z\right)$ непрерывных линейных операторов $X\otimes _{\iota }Y\to Z.$ В частности, непрерывное дуальное пространство $X\otimes _{\iota }Y$ канонически изоморфно пространству ${\mathcal {B}}(X,Y),$ пространство отдельно непрерывных билинейных форм на $X\times Y.$

Если $\tau$ является локально выпуклой TVS-топологией на $X\otimes Y$ ( $X\otimes Y$ с этой топологией будет обозначаться $X\otimes _{\tau }Y$ ), затем $\tau$ равна топологии индуктивного тензорного произведения тогда и только тогда, когда она обладает следующим свойством: ^[5]

Для любого локально выпуклого TVS

Z,

если

I

— каноническое отображение пространства всех билинейных отображений вида

X\times Y\to Z,

входя в пространство всех линейных отображений

X\otimes Y\to Z,

затем, когда область

I

ограничивается

{\mathcal {B}}(X,Y;Z)

(пространство отдельно непрерывных билинейных отображений), то областью этого ограничения является пространство

L\left(X\otimes _{\tau }Y;Z\right)

непрерывных линейных операторов

X\otimes _{\tau }Y\to Z.

См. также

Вспомогательные нормированные пространства
Начальная топология - самая грубая топология, делающая определенные функции непрерывными.
Инъективное тензорное произведение
Ядерный оператор - линейный оператор, связанный с топологическими векторными пространствами.
Ядерное пространство - обобщение конечномерных евклидовых пространств, отличное от гильбертовых пространств.
Проективное тензорное произведение – тензорное произведение, определенное в двух топологических векторных пространствах.
Тензорное произведение гильбертовых пространств - тензорное произведение, наделенное особым внутренним произведением.
Топологическое тензорное произведение - конструкции тензорных произведений для топологических векторных пространств.

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , с. 96.
^ Трир 2006 , с. 488.
^ Трир 2006 , с. 483.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Трир 2006 , с. 490.
^ Гротендик 1966 , с. 73.

Библиография

Дистель, Джо (2008). Метрическая теория тензорных произведений: пересмотр резюме Гротендика . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4440-3 . OCLC 185095773 .
Дубинский, Эд (1979). Структура ядерных пространств Фреше . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09504-7 . OCLC 5126156 .
Гротендик, Александр (1966). Топологические тензорные произведения и ядерные пространства (на французском языке). Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1216-5 . OCLC 1315788 .
Хусейн, Такдир (1978). Бочечность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7 . OCLC 4493665 .
Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том. 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370 .
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Нленд, Х (1977). Борнологии и функциональный анализ: вводный курс по теории двойственности топологии-борнологии и ее использованию в функциональном анализе . Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк: Паб Северной Голландии. Компания Единственный дистрибьютор в США и Канаде, Elsevier-North Holland. ISBN 0-7204-0712-5 . ОСЛК 2798822 .
Нленд, Х (1981). Ядерные и ядерные пространства: вводные курсы по ядерным и ядерным пространствам в свете дуальности . Амстердам Нью-Йорк Нью-Йорк, Нью-Йорк: Паб Северной Голландии. Компания Единственный дистрибьютор в США и Канаде, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-86207-2 . ОСЛК 7553061 .
Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально-выпуклые пространства . Берлин, Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 0-387-05644-0 . OCLC 539541 .
Робертсон, AP (1973). Топологические векторные пространства . Кембридж, Англия: Университетское издательство. ISBN 0-521-29882-2 . OCLC 589250 .
Райан, Рэймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств . Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 1-85233-437-1 . ОСЛК 48092184 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6 . OCLC 5126158 .

Внешние ссылки

Ядерный космос в ncatlab

[FOOTNOTESchaeferWolff199996-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Шефер и Вольф 1999 , с. 96.

[FOOTNOTETrèves2006488-2] Трир 2006 , с. 488.

[FOOTNOTETrèves2006483-3] Трир 2006 , с. 483.

[FOOTNOTETrèves2006490-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Трир 2006 , с. 490.

[FOOTNOTEGrothendieck196673-5] Гротендик 1966 , с. 73.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Топологические тензорные произведения и ядерные пространства
Basic concepts	Auxiliary normed spaces Nuclear space Tensor product Topological tensor product of Hilbert spaces
Topologies	Inductive tensor product Injective tensor product Projective tensor product
Operators/Maps	Fredholm determinant Fredholm kernel Hilbert–Schmidt operator Hypocontinuity Integral Nuclear between Banach spaces Trace class
Theorems	Grothendieck trace theorem Schwartz kernel theorem