Предел последовательности

$n$	$n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)$
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

Как положительное целое число ${\textstyle n}$ становится все больше и больше, значение ${\textstyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$ становится сколь угодно близким к ${\textstyle 1}$ . Мы говорим, что «предел последовательности ${\textstyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$ равно ${\textstyle 1}$ ."

В математике предел последовательности — это значение, к которому «стремятся» члены последовательности , и его часто обозначают с помощью $\lim$ символ (например, $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ ). ^[1] Если такой предел существует, последовательность называется сходящейся . ^[2] Последовательность, которая не сходится, называется расходящейся . ^[3] Говорят, что предел последовательности является фундаментальным понятием, на котором в конечном итоге основывается весь математический анализ . ^[1]

Пределы могут быть определены в любом метрическом или топологическом пространстве , но обычно сначала они встречаются в действительных числах .

История

Греческий философ Зенон Элейский известен формулировкой парадоксов, включающих ограничивающие процессы .

Левкипп , Демокрит , Антифон , Евдокс и Архимед разработали метод исчерпания , который использует бесконечную последовательность приближений для определения площади или объема. Архимеду удалось суммировать то, что сейчас называют геометрической прогрессией .

Грегуар де Сен-Венсан дал первое определение предела (конца) геометрической серии в своей работе Opus Geometricum (1647): « Конечная точка прогрессии — это конец ряда, которого не может достичь ни одна прогрессия, даже если она продолжается в бесконечности, но к которому она может приблизиться ближе, чем к данному отрезку». ^[4]

Пьетро Менголи предвосхитил современную идею ограничения последовательности своим исследованием квазипропорций в Geometriae speciosae elementa (1659 г.). Он использовал термин «квазибесконечный» для обозначения неограниченности и «квазинулевой» для обозначения исчезновения .

Ньютон рассматривал ряды в своих работах « Анализ с бесконечными рядами» (написан в 1669 г., распространен в рукописи, опубликован в 1711 г.), «Метод флюксий и бесконечных рядов» (написан в 1671 г., опубликован в английском переводе в 1736 г., латинский оригинал опубликован гораздо позже). и Tractatus de Quadratura Curvarum (написанный в 1693 году, опубликованный в 1704 году как приложение к его «Оптике» ). В последней работе Ньютон рассматривает биномиальное разложение ${\textstyle (x+o)^{n}}$ , который он затем линеаризует, принимая предел как ${\textstyle o}$ имеет тенденцию ${\textstyle 0}$ .

В 18 веке математикам, таким как Эйлер, удалось суммировать некоторые расходящиеся ряды, остановившись в нужный момент; их не очень заботило, существует ли предел, лишь бы его можно было вычислить. В конце века Лагранж в своей «Теории аналитических функций» (1797) высказал мнение, что отсутствие строгости препятствует дальнейшему развитию исчисления. Гаусс в своем этюде о гипергеометрических рядах (1813) впервые строго исследовал условия, при которых ряд сходится к пределу.

Современное определение предела (для любого ${\textstyle \varepsilon }$ существует индекс ${\textstyle N}$ так что...) было дано Бернаром Больцано ( Der bomische Lehrsatz , Прага, 1816 г., на которое в то время мало обращали внимания), и Карлом Вейерштрассом в 1870-х годах.

Реальные числа

В действительных числах число $L$ является пределом последовательности $(x_{n})$ , если числа в последовательности становятся все ближе и ближе к $L$ , а не на какое-либо другое число.

Примеры

Если $x_{n}=c$ для постоянного ${\textstyle c}$ , затем $x_{n}\to c$ . ^{[доказательство 1]}^[5]
Если $x_{n}={\frac {1}{n}}$ , затем $x_{n}\to 0$ . ^{[доказательство 2]}^[5]
Если $x_{n}={\frac {1}{n}}$ когда $n$ четный, и $x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ когда $n$ странно, тогда $x_{n}\to 0$ . (Тот факт, что $x_{n+1}>x_{n}$ в любое время $n$ странно, не имеет значения.)
Учитывая любое действительное число, можно легко построить последовательность, сходящуюся к этому числу, используя десятичные приближения. Например, последовательность ${\textstyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots }$ сходится к ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ . Десятичное представление ${\textstyle 0.3333\dots }$ - это предел предыдущей последовательности, определяемый формулой $0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}$
Нахождение предела последовательности не всегда очевидно. Два примера: $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}$ (пределом которого является число e ) и среднее арифметико-геометрическое . Теорема о сжатии часто оказывается полезной при установлении таких пределов.

Определение

Мы звоним $x$ предел последовательности $(x_{n})$ , что написано

x_{n}\to x

, или

\lim _{n\to \infty }x_{n}=x

,

если выполняется следующее условие:

Для каждого действительного числа

\varepsilon >0

, существует натуральное число

N

такая, что для любого натурального числа

n\geq N

, у нас есть

|x_{n}-x|<\varepsilon

. ^[6]

Другими словами, для каждой меры близости $\varepsilon$ , члены последовательности в конечном итоге настолько близки к пределу. Последовательность $(x_{n})$ говорят, что он сходится или стремится к пределу $x$ .

Символически это:

\forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)

.

Если последовательность $(x_{n})$ сходится к некоторому пределу $x$ , то оно сходится и $x$ это единственный предел; в противном случае $(x_{n})$ расходится . Последовательность, предел которой равен нулю, иногда называется нулевой последовательностью .

Иллюстрация

Пример последовательности, сходящейся к пределу $a$ .
Независимо от того, какой $\varepsilon >0$ у нас есть, есть индекс $N_{0}$ , так что последовательность впоследствии полностью лежит в эпсилон-трубке $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$ .
Есть и для меньшего размера $\varepsilon _{1}>0$ индекс $N_{1}$ , так что последовательность впоследствии оказывается внутри эпсилон-трубки $(a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})$ .
Для каждого $\varepsilon >0$ за пределами эпсилон-трубки существует лишь конечное число членов последовательности.

Характеристики

Некоторые другие важные свойства пределов реальных последовательностей включают следующее:

Если он существует, предел последовательности уникален. ^[5]
Пределы последовательностей хорошо ведут себя по отношению к обычным арифметическим операциям . Если $\lim _{n\to \infty }a_{n}$ и $\lim _{n\to \infty }b_{n}$ существует, то

\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}

^[5]

\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}

^[5]

\lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)

^[5]

\lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}

предоставил

\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0

^[5]

\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}

Для любой непрерывной функции ${\textstyle f}$ , если $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ существует, то $\lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)$ тоже существует. Действительно, любая действительная функция ${\textstyle f}$ является непрерывным тогда и только тогда, когда он сохраняет пределы последовательностей (хотя это не обязательно верно при использовании более общих понятий непрерывности).

Если $a_{n}\leq b_{n}$ для всех $n$ больше, чем некоторые $N$ , затем $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$ .
( Теорема о сжатии ) Если $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ для всех $n$ больше, чем некоторые $N$ , и $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ , затем $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$ .
( Теорема о монотонной сходимости ) Если $a_{n}$ ограничен монотонен и всех для $n$ больше, чем некоторые $N$ , то оно сходится.
Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится каждая подпоследовательность.
Если каждая подпоследовательность последовательности имеет свою собственную подпоследовательность, сходящуюся к той же точке, то исходная последовательность сходится к этой точке.

Эти свойства широко используются для доказательства пределов без необходимости непосредственно использовать громоздкое формальное определение. Например, если доказано, что $1/n\to 0$ , становится легко показать (используя приведенные выше свойства), что ${\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}$ (предполагая, что $b\neq 0$ ).

Бесконечные пределы

Последовательность $(x_{n})$ говорят, стремится к бесконечности , написано

x_{n}\to \infty

, или

\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty

,

если имеет место следующее:

Для каждого действительного числа

K

, существует натуральное число

N

такая, что для любого натурального числа

n\geq N

, у нас есть

x_{n}>K

; то есть члены последовательности в конечном итоге превышают любые фиксированные

K

.

Символически это:

\forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}>K\right)\right)\right)

.

Аналогично мы говорим, что последовательность стремится к минус бесконечности , записывая

x_{n}\to -\infty

, или

\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty

,

если имеет место следующее:

Для каждого действительного числа

K

, существует натуральное число

N

такая, что для любого натурального числа

n\geq N

, у нас есть

x_{n}<K

; то есть члены последовательности в конечном итоге меньше любых фиксированных

K

.

Символически это:

\forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}<K\right)\right)\right)

.

Если последовательность стремится к бесконечности или минус бесконечности, то она расходится. Однако расходящаяся последовательность не обязательно должна стремиться к плюс-минус бесконечности, и последовательность $x_{n}=(-1)^{n}$ приводит один такой пример.

Метрические пространства

Определение

точка $x$ метрического пространства $(X,d)$ является пределом последовательности $(x_{n})$ если:

Для каждого действительного числа

\varepsilon >0

, существует натуральное число

N

такая, что для любого натурального числа

n\geq N

, у нас есть

d(x_{n},x)<\varepsilon

.

Символически это:

\forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies d(x_{n},x)<\varepsilon \right)\right)\right)

.

Это совпадает с определением, данным для действительных чисел, когда $X=\mathbb {R}$ и $d(x,y)=|x-y|$ .

Характеристики

Когда он существует, предел последовательности уникален, поскольку отдельные точки разделены некоторым положительным расстоянием, поэтому для $\varepsilon$ меньше половины этого расстояния, члены последовательности не могут находиться на расстоянии $\varepsilon$ обеих точек.

Для любой непрерывной функции f , если $\lim _{n\to \infty }x_{n}$ существует, то $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)$ . Фактически, функция f непрерывна тогда и только тогда, когда она сохраняет пределы последовательностей.

Последовательности Коши

Последовательность Коши — это последовательность, члены которой в конечном итоге становятся сколь угодно близкими друг к другу после того, как было отброшено достаточно много начальных членов. Понятие последовательности Коши важно при изучении последовательностей в метрических пространствах и, в частности, в реальном анализе . Одним из особенно важных результатов реального анализа является критерий Коши сходимости последовательностей : последовательность действительных чисел сходится тогда и только тогда, когда она является последовательностью Коши. Это остается верным и в других полных метрических пространствах .

Топологические пространства

Определение

точка $x\in X$ топологического пространства $(X,\tau )$ это ограничить или предельная точка ^[7]^[8] последовательности $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ если:

Для каждого района

U

из

x

, существует некоторый

N\in \mathbb {N}

такой, что для каждого

n\geq N

, у нас есть

x_{n}\in U

. ^[9]

Это совпадает с определением, данным для метрических пространств, если $(X,d)$ является метрическим пространством и $\tau$ топология, созданная $d$ .

Предел последовательности точек $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ в топологическом пространстве $T$ является частным случаем предела функции : область определения $\mathbb {N}$ в космосе $\mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace$ , с индуцированной топологией аффинно расширенной системы действительных чисел , диапазон равен $T$ и аргумент функции $n$ имеет тенденцию $+\infty$ , которая в этом пространстве является предельной точкой $\mathbb {N}$ .

Характеристики

В хаусдорфовом пространстве пределы последовательностей уникальны, если они существуют. Это не обязательно должно быть так в нехаусдорфовых пространствах; в частности, если две точки $x$ и $y$ , топологически неразличимы то любая последовательность, сходящаяся к $x$ должен сходиться к $y$ и наоборот.

Гиперреальные числа

Определение предела с использованием гипердействительных чисел формализует интуитивное представление о том, что для «очень большого» значения индекса соответствующий член «очень близок» к пределу. Точнее, реальная последовательность $(x_{n})$ стремится к L, если для любого бесконечного сверхъестественного ${\textstyle H}$ , термин $x_{H}$ бесконечно близок к ${\textstyle L}$ (т.е. разница $x_{H}-L$ бесконечно мал ). Эквивалентно, L является стандартной частью $x_{H}$ :

L={\rm {st}}(x_{H})

.

Таким образом, предел можно определить по формуле

\lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H})

.

где предел существует тогда и только тогда, когда правая часть не зависит от выбора бесконечного ${\textstyle H}$ .

Последовательность более чем одного индекса

Иногда можно также рассмотреть последовательность с более чем одним индексом, например, двойную последовательность. $(x_{n,m})$ . Эта последовательность имеет предел $L$ если он становится все ближе и ближе к $L$ когда и n, и m становятся очень большими.

Пример

Если $x_{n,m}=c$ для постоянного ${\textstyle c}$ , затем $x_{n,m}\to c$ .
Если $x_{n,m}={\frac {1}{n+m}}$ , затем $x_{n,m}\to 0$ .
Если $x_{n,m}={\frac {n}{n+m}}$ , то предела не существует. В зависимости от относительной «скорости роста» ${\textstyle n}$ и ${\textstyle m}$ , эта последовательность может приблизиться к любому значению между ${\textstyle 0}$ и ${\textstyle 1}$ .

Определение

Мы звоним $x$ двойной предел последовательности $(x_{n,m})$ , написано

x_{n,m}\to x

, или

\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=x

,

если выполняется следующее условие:

Для каждого действительного числа

\varepsilon >0

, существует натуральное число

N

такая, что для каждой пары натуральных чисел

n,m\geq N

, у нас есть

|x_{n,m}-x|<\varepsilon

. ^[10]

Другими словами, для каждой меры близости $\varepsilon$ , члены последовательности в конечном итоге настолько близки к пределу. Последовательность $(x_{n,m})$ говорят, что он сходится или стремится к пределу $x$ .

Символически это:

\forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies |x_{n,m}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)

.

Двойной предел отличается от ограничения сначала в n , а затем в m . Последний известен как итерированный предел . Учитывая, что существуют и двойной предел, и повторный предел, они имеют одно и то же значение. Однако возможно, что один из них существует, а другой нет.

Бесконечные пределы

Последовательность $(x_{n,m})$ говорят, стремится к бесконечности , написано

x_{n,m}\to \infty

, или

\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=\infty

,

если имеет место следующее:

Для каждого действительного числа

K

, существует натуральное число

N

такая, что для каждой пары натуральных чисел

n,m\geq N

, у нас есть

x_{n,m}>K

; то есть члены последовательности в конечном итоге превышают любые фиксированные

K

.

Символически это:

\forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}>K\right)\right)\right)

.

Аналогично, последовательность $(x_{n,m})$ стремится к минус бесконечности , записано

x_{n,m}\to -\infty

, или

\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=-\infty

,

если имеет место следующее:

Для каждого действительного числа

K

, существует натуральное число

N

такая, что для каждой пары натуральных чисел

n,m\geq N

, у нас есть

x_{n,m}<K

; то есть члены последовательности в конечном итоге меньше любых фиксированных

K

.

Символически это:

\forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}<K\right)\right)\right)

.

Если последовательность стремится к бесконечности или минус бесконечности, то она расходится. Однако расходящаяся последовательность не обязательно должна стремиться к плюс-минус бесконечности, и последовательность $x_{n,m}=(-1)^{n+m}$ приводит один такой пример.

Поточечные пределы и равномерные пределы

Для двойной последовательности $(x_{n,m})$ , мы можем взять предел по одному из индексов, скажем, $n\to \infty$ , чтобы получить одну последовательность $(y_{m})$ . Фактически, есть два возможных значения при принятии этого предела. Первый из них называется поточечным пределом и обозначается

x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{pointwise}}

, или

\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{pointwise}}

,

что означает:

Для каждого действительного числа

\varepsilon >0

и каждое фиксированное натуральное число

m

, существует натуральное число

N(\varepsilon ,m)>0

такая, что для любого натурального числа

n\geq N

, у нас есть

|x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon

. ^[11]

Символически это:

\forall \varepsilon >0\left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)

.

Когда такой предел существует, мы говорим, что последовательность $(x_{n,m})$ сходится поточечно к $(y_{m})$ .

Второй называется равномерным пределом и обозначается

x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{uniformly}}

,

\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{uniformly}}

,

x_{n,m}\rightrightarrows y_{m}

, или

{\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif} \lim }}\;x_{n,m}=y_{m}

,

что означает:

Для каждого действительного числа

\varepsilon >0

, существует натуральное число

N(\varepsilon )>0

такая, что для любого натурального числа

m

и для каждого натурального числа

n\geq N

, у нас есть

|x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon

. ^[11]

Символически это:

\forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)

.

В этом определении выбор $N$ не зависит от $m$ . Другими словами, выбор $N$ ко равномерно применим всем натуральным числам $m$ . Следовательно, легко видеть, что равномерная сходимость является более сильным свойством, чем поточечная сходимость: существование равномерного предела влечет за собой существование и равенство поточечного предела:

Если

x_{n,m}\to y_{m}

равномерно, тогда

x_{n,m}\to y_{m}

точечно.

Когда такой предел существует, мы говорим, что последовательность $(x_{n,m})$ сходится равномерно к $(y_{m})$ .

Повторный предел

Для двойной последовательности $(x_{n,m})$ , мы можем взять предел по одному из индексов, скажем, $n\to \infty$ , чтобы получить одну последовательность $(y_{m})$ , а затем возьмем предел по другому индексу, а именно $m\to \infty$ , чтобы получить номер $y$ . Символически,

\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}=y

.

Этот предел известен как итерированный предел двойной последовательности. Порядок взятия пределов может повлиять на результат, т.е.

\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}\neq \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }x_{n,m}

в общем.

Достаточное условие равенства даёт теорема Мура-Осгуда , которая требует предела $\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}$ быть единообразным в ${\textstyle m}$ . ^[10]

См. также

Примечания

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Текущий (1961), с. 29.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Сходящаяся последовательность» . mathworld.wolfram.com . Проверено 18 августа 2020 г.
^ Текущий (1961), с. 39.
^ Ван Лой, Х. (1984). Хронология и исторический анализ математических рукописей Григория Великого (1584–1667). Математическая история, 11 (1), 57–75.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г «Пределы последовательностей | Brilliant Math & Science Wiki» . блестящий.орг . Проверено 18 августа 2020 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Лимит» . mathworld.wolfram.com . Проверено 18 августа 2020 г.
^ Дугунджи 1966 , стр. 209–210.
^ Часар 1978 , с. 61.
^ Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: основные принципы и их приложения (1-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 29. ISBN 978-0-387-94422-7 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Закон, Элиас (2011). «Глава 4. Пределы функций и непрерывность». Математический анализ, том I. п. 223. ИСБН 9781617386473 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хабиль, Эйсса (2005). «Двойные последовательности и двойные серии» . Проверено 28 октября 2022 г.

Доказательства

^ Доказательство : Выберите $N=1$ . Для каждого $n\geq N$ , $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$
^ Доказательство : выберите $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ ( функция пола ). Для каждого $n\geq N$ , $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon$ .

Ссылки

Часар, Акош (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клары. Adam Hilger Ltd. Бристоль, Англия: ISBN 0-85274-275-4 . ОСЛК 4146011 .
Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7 . OCLC 395340485 .
Курант, Ричард (1961). «Дифференциальное и интегральное исчисление, том I», Blackie & Son, Ltd., Глазго.
Фрэнк Морли и Джеймс Харкнесс. Трактат по теории функций (Нью-Йорк: Macmillan, 1893).

Внешние ссылки

[Courant_(1961),_p._29-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Текущий (1961), с. 29.

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Сходящаяся последовательность» . mathworld.wolfram.com . Проверено 18 августа 2020 г.

[3] Текущий (1961), с. 39.

[4] Ван Лой, Х. (1984). Хронология и исторический анализ математических рукописей Григория Великого (1584–1667). Математическая история, 11 (1), 57–75.

[:0-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г «Пределы последовательностей | Brilliant Math & Science Wiki» . блестящий.орг . Проверено 18 августа 2020 г.

[8] Вайсштейн, Эрик В. «Лимит» . mathworld.wolfram.com . Проверено 18 августа 2020 г.

[FOOTNOTEDugundji1966209–210-9] Дугунджи 1966 , стр. 209–210.

[FOOTNOTECsászár197861-10] Часар 1978 , с. 61.

[11] Зейдлер, Эберхард (1995). Прикладной функциональный анализ: основные принципы и их приложения (1-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 29. ISBN 978-0-387-94422-7 .

[Zakon-12] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Закон, Элиас (2011). «Глава 4. Пределы функций и непрерывность». Математический анализ, том I. п. 223. ИСБН 9781617386473 .

[Habil-13] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Хабиль, Эйсса (2005). «Двойные последовательности и двойные серии» . Проверено 28 октября 2022 г.

[5] Доказательство : Выберите $N=1$ . Для каждого $n\geq N$ , $|x_{n}-c|=0<\varepsilon$

[7] Доказательство : выберите $N=\left\lfloor {\frac {1}{\varepsilon }}\right\rfloor +1$ ( функция пола ). Для каждого $n\geq N$ , $|x_{n}-0|\leq x_{N}={\frac {1}{\lfloor 1/\varepsilon \rfloor +1}}<\varepsilon$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[доказательство 1]

[5]

[доказательство 2]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]