Повторный предел

В исчислении многих переменных итерационный предел — это предел последовательности или предел функции в виде

$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }\left(\lim _{n\to \infty }a_{n,m}\right)$,

$\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{y\to b}\left(\lim _{x\to a}f(x,y)\right)$,

или другие подобные формы.

Повторный предел определяется только для выражения, значение которого зависит как минимум от двух переменных. Чтобы вычислить такой предел, нужно использовать процесс ограничения, когда одна из двух переменных приближается к некоторому числу, получая выражение, значение которого зависит только от другой переменной, а затем переходить к пределу, когда другая переменная приближается к некоторому числу.

Типы повторяющихся пределов

В этом разделе представлены определения повторяющихся пределов для двух переменных. Их можно легко обобщить на несколько переменных.

Итерированный предел последовательности

Для каждого $n,m\in \mathbf {N}$, позволять $a_{n,m}\in \mathbf {R}$ быть настоящей двойной последовательностью. Тогда существуют две формы итерированных пределов, а именно:

$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}$.

Например, пусть

$a_{n,m}={\frac {n}{n+m}}$.

Затем

$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }1=1$, и

$\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }0=0$.

Повторный предел функции

Позволять $f:X\times Y\to \mathbf {R}$. Тогда существуют также две формы итерированных пределов, а именно:

$\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)$.

Например, пусть $f:\mathbf {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\to \mathbf {R}$ такой, что

$f(x,y)={\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}$.

Затем

$\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{y\to 0}0=0$, и

$\lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}1=1$.

Предел(ы) для x и/или y также может быть взят на бесконечности, т.е.

$\lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)$.

Итерированный предел последовательности функций

Для каждого $n\in \mathbf {N}$, позволять $f_{n}:X\to \mathbf {R}$ быть последовательностью функций. Тогда существуют две формы итерированных пределов, а именно:

$\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$.

Например, пусть $f_{n}:[0,1]\to \mathbf {R}$ такой, что

$f_{n}(x)=x^{n}$.

Затем

$\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to 1}f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }1=1$, и

$\lim _{x\to 1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to 1}0=0$.

Предел по x можно взять и на бесконечности, т. е.

$\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to \infty }f_{n}(x)\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{x\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$.

Например, пусть $f_{n}:(0,\infty )\to \mathbf {R}$ такой, что

$f_{n}(x)={\frac {1}{x^{n}}}$.

Затем

$\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }0=0$, и

$\lim _{x\to \infty }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{x\to \infty }0=0$.

Обратите внимание, что предел по n берется дискретно, а предел по x — непрерывно.

Сравнение с другими пределами по нескольким переменным

В этом разделе представлены различные определения пределов двух переменных. Их можно легко обобщить на несколько переменных.

Предел последовательности

Для двойной последовательности $a_{n,m}\in \mathbf {R}$Существует еще одно определение предела , которое обычно называют двойным пределом , обозначаемым

$L=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}$,

это означает, что для всех $\epsilon >0$, существуют $N=N(\epsilon )\in \mathbf {N}$ такой, что $n,m>N$ подразумевает $\left|a_{n,m}-L\right|<\epsilon$.

Следующая теорема устанавливает связь между двойным пределом и повторными пределами.

Теорема 1 . Если $\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}$ существует и равен L , $\lim _{n\to \infty }a_{n,m}$ существует для каждого большого m и $\lim _{m\to \infty }a_{n,m}$ существует для каждого большого n , то $\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}$ и $\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}$ также существуют и равны L , т. е.

$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}$.

Доказательство . По наличию $\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}$ для любого $\epsilon >0$, существует $N_{1}=N_{1}(\epsilon )\in \mathbf {N}$ такой, что $n,m>N_{1}$ подразумевает $\left|a_{n,m}-L\right|<{\frac {\epsilon }{2}}$.

Пусть каждый $n>N_{0}$ такой, что $\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=A_{n}$ существует, существует $N_{2}=N_{2}(\epsilon )\in \mathbf {N}$ такой, что $m>N_{2}$ подразумевает $\left|a_{n,m}-A_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{2}}$.

Оба приведенных выше утверждения верны для $n>\max(N_{0},N_{1})$ и $m>\max(N_{1},N_{2})$. Комбинируя уравнения из двух предыдущих, для любого $\epsilon >0$ существует $N=N(\epsilon )\in \mathbf {N}$ для всех $n>N$,

$\left|A_{n}-L\right|<\epsilon$,

что доказывает, что $\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}\displaystyle$. Аналогично для $\lim _{m\to \infty }a_{n,m}$, мы доказываем: $\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}$.

Например, пусть

$a_{n,m}={\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}$.

С $\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}=0$, $\lim _{n\to \infty }a_{n,m}={\frac {1}{m}}$, и $\lim _{m\to \infty }={\frac {1}{n}}$, у нас есть

$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=0$.

Эта теорема требует единственных пределов $\lim _{n\to \infty }a_{n,m}$ и $\lim _{m\to \infty }a_{n,m}$ сходиться. Это условие нельзя отбросить. Например, рассмотрим

$a_{n,m}=(-1)^{m}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)$.

Тогда мы можем увидеть это

$\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=0$,

но $\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}$ не существует.

Это потому, что $\lim _{m\to \infty }a_{n,m}$ не существует изначально.

Предел функции

Для функции двух переменных $f:X\times Y\to \mathbf {R}$Есть еще два типа ограничений . Одним из них является обычный предел , обозначаемый

$L=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)$,

это означает, что для всех $\epsilon >0$, существуют $\delta =\delta (\epsilon )>0$ такой, что $0<{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}<\delta$ подразумевает $\left|f(x,y)-L\right|<\epsilon$.

Чтобы этот предел существовал, f ( x , y ) можно сделать настолько близким к L , насколько это необходимо вдоль каждого возможного пути, приближающегося к точке ( a , b ). В этом определении точка ( a , b ) исключена из путей. Следовательно, значение f в точке ( a , b ), даже если оно определено, не влияет на предел.

Другой тип — двойной предел , обозначаемый

$L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)$,

это означает, что для всех $\epsilon >0$, существуют $\delta =\delta (\epsilon )>0$ такой, что $0<\left|x-a\right|<\delta$ и $0<\left|y-b\right|<\delta$ подразумевает $\left|f(x,y)-L\right|<\epsilon$.

Чтобы этот предел существовал, f ( x , y ) можно сделать как можно ближе к L вдоль каждого возможного пути, приближающегося к точке ( a , b ), кроме линий x = a и y = b . Другими словами, значение f вдоль линий x = a и y = b не влияет на предел. только точка ( a , b Это отличается от обычного предела, где исключается ). В этом смысле обычный предел является более сильным понятием, чем двойной предел:

Теорема 2 . Если $\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)$ существует и равен L , то $\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)$ существует и равен L , т.е.

$\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)$.

Оба эти ограничения не предполагают сначала взятия одного предела, а затем другого. Это контрастирует с итерированными пределами, где процесс ограничения сначала выполняется в направлении x , а затем в направлении y (или в обратном порядке).

Следующая теорема устанавливает связь между двойным пределом и повторяющимися пределами:

Теорема 3 . Если $\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)$ существует и равен L , $\lim _{x\to a}f(x,y)$ существует для каждого y рядом с b и $\lim _{y\to b}f(x,y)$ существует для каждого x вблизи a , тогда $\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)$ и $\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)$ также существуют и равны L , т. е.

$\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)$.

Например, пусть

$f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}$.

С $\lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=1$, $\lim _{x\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad y\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad y=0\end{cases}}$ и $\lim _{y\to 0}f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad x\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad x=0\end{cases}}$, у нас есть

$\lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=1$.

(Обратите внимание, что в этом примере $\lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)$ не существует.)

Эта теорема требует единственных пределов $\lim _{x\to a}f(x,y)$ и $\lim _{y\to b}f(x,y)$ существовать. Это условие нельзя отбросить. Например, рассмотрим

$f(x,y)=x\sin \left({\frac {1}{y}}\right)$.

Тогда мы можем увидеть это

$\lim _{\begin{smallmatrix}x\to 0\\y\to 0\end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0$,

но $\lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)$ не существует.

Это потому, что $\lim _{y\to 0}f(x,y)$ вообще не существует для x вблизи 0.

Объединив теоремы 2 и 3, мы получаем следующее следствие:

Следствие 3.1 . Если $\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)$ существует и равен L , $\lim _{x\to a}f(x,y)$ существует для каждого y рядом с b и $\lim _{y\to b}f(x,y)$ существует для каждого x вблизи a , тогда $\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)$ и $\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)$ также существуют и равны L , т. е.

$\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)$.

Предел на бесконечности функции

Для функции двух переменных $f:X\times Y\to \mathbf {R}$, мы также можем определить двойной предел на бесконечности

$L=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)$,

это означает, что для всех $\epsilon >0$, существуют $M=M(\epsilon )>0$ такой, что $x>M$ и $y>M$ подразумевает $\left|f(x,y)-L\right|<\epsilon$.

Аналогичные определения можно дать и для пределов на отрицательной бесконечности.

Следующая теорема устанавливает связь между двойным пределом на бесконечности и повторяющимися пределами на бесконечности:

Теорема 4 . Если $\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)$ существует и равен L , $\lim _{x\to \infty }f(x,y)$ существует для каждого большого y и $\lim _{y\to \infty }f(x,y)$ существует для каждого большого x , тогда $\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)$ и $\lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)$ также существуют и равны L , т. е.

$\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=\lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)$.

Например, пусть

$f(x,y)={\frac {x\sin y}{xy+y}}$.

С $\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}(x,y)=0$, $\lim _{x\to \infty }f(x,y)={\frac {\sin y}{y}}$ и $\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0$, у нас есть

$\lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0$.

Опять же, эта теорема требует единственных пределов $\lim _{x\to \infty }f(x,y)$ и $\lim _{y\to \infty }f(x,y)$ существовать. Это условие нельзя отбросить. Например, рассмотрим

$f(x,y)={\frac {\cos x}{y}}$.

Тогда мы можем увидеть это

$\lim _{\begin{smallmatrix}x\to \infty \\y\to \infty \end{smallmatrix}}f(x,y)=\lim _{x\to \infty }\lim _{y\to \infty }f(x,y)=0$,

но $\lim _{y\to \infty }\lim _{x\to \infty }f(x,y)$ не существует.

Это потому, что $\lim _{x\to \infty }f(x,y)$ не существует при фиксированном y вообще.

Неверные обращения теорем

Обратные теоремы 1, 3 и 4 не верны, т. е. существование повторных пределов, даже если они равны, не влечет за собой существование двойного предела. Контрпример

$f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}$

вблизи точки (0, 0). С одной стороны,

$\lim _{x\to 0}\lim _{y\to 0}f(x,y)=\lim _{y\to 0}\lim _{x\to 0}f(x,y)=0$.

С другой стороны, двойной предел $\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)$ не существует. В этом можно убедиться, взяв предел по пути ( x , y ) = ( t , t ) → (0,0), что дает

$\lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t\to 0\end{smallmatrix}}f(t,t)=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{2}}{t^{2}+t^{2}}}={\frac {1}{2}}$,

и по пути ( x , y ) = ( t , t ² ) → (0,0), что дает

$\lim _{\begin{smallmatrix}t\to 0\\t^{2}\to 0\end{smallmatrix}}f(t,t^{2})=\lim _{t\to 0}{\frac {t^{3}}{t^{2}+t^{4}}}=0$.

Теорема Мура-Осгуда о перестановке пределов

В приведенных выше примерах мы можем видеть, что перестановка пределов может дать или не дать один и тот же результат. Достаточное условие замены пределов дает теорема Мура-Осгуда . Сущность взаимозаменяемости зависит от равномерной сходимости .

Перестановка пределов последовательностей

Следующая теорема позволяет поменять местами два предела последовательностей.

Теорема 5 . Если $\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=b_{m}$ равномерно (в м ) и $\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=c_{n}$ для каждого большого n , то оба $\lim _{m\to \infty }b_{m}$ и $\lim _{n\to \infty }c_{n}$ существуют и равны двойному пределу, т. е.

$\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }a_{n,m}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a_{n,m}=\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}$.

Доказательство . В силу равномерной сходимости для любого $\epsilon >0$ существуют $N_{1}(\epsilon )\in \mathbf {N}$ такой, что для всех $m\in \mathbf {N}$, $n,k>N_{1}$ подразумевает $\left|a_{n,m}-a_{k,m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$.

Как $m\to \infty$, у нас есть $\left|c_{n}-c_{k}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$, а это значит, что $c_{n}$ является последовательностью Коши , сходящейся к пределу $L$. Кроме того, как $k\to \infty$, у нас есть $\left|c_{n}-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$.

С другой стороны, если мы возьмем $k\to \infty$ во-первых, у нас есть $\left|a_{n,m}-b_{m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$.

Поточечной сходимостью для любого $\epsilon >0$ и $n>N_{1}$, существуют $N_{2}(\epsilon ,n)\in \mathbf {N}$ такой, что $m>N_{2}$ подразумевает $\left|a_{n,m}-c_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$.

Тогда для этого исправлено $n$, $m>N_{2}$ подразумевает $\left|b_{m}-L\right|\leq \left|b_{m}-a_{n,m}\right|+\left|a_{n,m}-c_{n}\right|+\left|c_{n}-L\right|\leq \epsilon$.

Это доказывает, что $\lim _{m\to \infty }b_{m}=L=\lim _{n\to \infty }c_{n}$.

Также, взяв $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$, мы видим, что этот предел также равен $\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}a_{n,m}$.

Следствие касается взаимозаменяемости бесконечной суммы .

Следствие 5.1 . Если $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n,m}$ сходится равномерно (по m ) и $\sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}$ сходится для каждого большого n , то $\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }a_{n,m}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_{n,m}$.

Доказательство . Прямое применение теоремы 5 на $S_{k,\ell }=\sum _{m=1}^{k}\sum _{n=1}^{\ell }a_{n,m}$.

Перестановка пределов функций

Аналогичные результаты справедливы и для функций многих переменных.

Теорема 6 . Если $\lim _{x\to a}f(x,y)=g(y)$ равномерно (по y ) на $Y\setminus \{b\}$, и $\lim _{y\to b}f(x,y)=h(x)$ для каждого x рядом с a , то оба $\lim _{y\to b}g(y)$ и $\lim _{x\to a}h(x)$ существуют и равны двойному пределу, т. е.

$\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)=\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)=\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)$.

Здесь a b и . могут быть бесконечными

Доказательство . Ввиду существования равномерного предела для любого $\epsilon >0$ существуют $\delta _{1}(\epsilon )>0$ такой, что для всех $y\in Y\setminus \{b\}$, $0<\left|x-a\right|<\delta _{1}$ и $0<\left|w-a\right|<\delta _{1}$ подразумевает $\left|f(x,y)-f(w,y)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$.

Как $y\to b$, у нас есть $\left|h(x)-h(w)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$. По Коши критерию $\lim _{x\to a}h(x)$ существует и равен числу $L$. Кроме того, как $w\to a$, у нас есть $\left|h(x)-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$.

С другой стороны, если мы возьмем $w\to a$ во-первых, у нас есть $\left|f(x,y)-g(y)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$.

Ввиду существования поточечного предела для любого $\epsilon >0$ и $x$ около $a$, существуют $\delta _{2}(\epsilon ,x)>0$ такой, что $0<\left|y-b\right|<\delta _{2}$ подразумевает $\left|f(x,y)-h(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$.

Тогда для этого исправлено $x$, $0<\left|y-b\right|<\delta _{2}$ подразумевает $\left|g(y)-L\right|\leq \left|g(y)-f(x,y)\right|+\left|f(x,y)-h(x)\right|+\left|h(x)-L\right|\leq \epsilon$.

Это доказывает, что $\lim _{y\to b}g(y)=L=\lim _{x\to a}h(x)$.

Также, взяв $\delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$, мы видим, что этот предел также равен $\lim _{\begin{smallmatrix}x\to a\\y\to b\end{smallmatrix}}f(x,y)$.

Заметим, что из этой теоремы не следует существование $\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)$. Контрпример $f(x,y)={\begin{cases}1\quad {\text{for}}\quad xy\neq 0\\0\quad {\text{for}}\quad xy=0\end{cases}}$ рядом (0,0).

Перестановка пределов последовательностей функций

Важный вариант теоремы Мура-Осгуда предназначен специально для последовательностей функций.

Теорема 7 . Если $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ равномерно (по x ) на $X\setminus \{a\}$, и $\lim _{x\to a}f_{n}(x)=L_{n}$ для каждого большого n , то оба $\lim _{x\to a}f(x)$ и $\lim _{n\to \infty }L_{n}$ существуют и равны, т. е.

$\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$.

Здесь а может быть бесконечностью.

Доказательство . В силу равномерной сходимости для любого $\epsilon >0$ существуют $N(\epsilon )\in \mathbf {N}$ такой, что для всех $x\in D\setminus \{a\}$, $n,m>N$ подразумевает $\left|f_{n}(x)-f_{m}(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$.

Как $x\to a$, у нас есть $\left|L_{n}-L_{m}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$, а это значит, что $L_{n}$ является последовательностью Коши , сходящейся к пределу $L$. Кроме того, как $m\to \infty$, у нас есть $\left|L_{n}-L\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$.

С другой стороны, если мы возьмем $m\to \infty$ во-первых, у нас есть $\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$.

Ввиду существования поточечного предела для любого $\epsilon >0$ и $n>N$, существуют $\delta (\epsilon ,n)>0$ такой, что $0<\left|x-a\right|<\delta$ подразумевает $\left|f_{n}(x)-L_{n}\right|<{\frac {\epsilon }{3}}$.

Тогда для этого исправлено $n$, $0<\left|x-a\right|<\delta$ подразумевает $\left|f(x)-L\right|\leq \left|f(x)-f_{n}(x)\right|+\left|f_{n}(x)-L_{n}\right|+\left|L_{n}-L\right|\leq \epsilon$.

Это доказывает, что $\lim _{x\to a}f(x)=L=\lim _{n\to \infty }L_{n}$.

Следствием является теорема о непрерывности для равномерной сходимости следующим образом:

Следствие 7.1 . Если $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)$ равномерно (по x ) на $X$, и $f_{n}(x)$ непрерывны ​ в $x=a\in X$, затем $f(x)$ также непрерывен при $x=a$.

Другими словами, равномерный предел непрерывных функций непрерывен.

Доказательство . По теореме 7 $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(a)=f(a)$.

Еще одно следствие касается взаимозаменяемости предела и бесконечной суммы .

Следствие 7.2 . Если $\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)$ сходится равномерно (по x ) на $X\setminus \{a\}$, и $\lim _{x\to a}f_{n}(x)$ существует для каждого большого n , то $\lim _{x\to a}\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lim _{x\to a}f_{n}(x)$.

Доказательство . Прямое применение теоремы 7 на $S_{k}(x)=\sum _{n=0}^{k}f_{n}(x)$ около $x=a$.

Приложения

Сумма бесконечных записей в матрице

Рассмотрим матрицу из бесконечных элементов

${\begin{bmatrix}1&-1&0&0&\cdots \\0&1&-1&0&\cdots \\0&0&1&-1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$.

Предположим, мы хотим найти сумму всех записей. Если мы сначала суммируем столбец за столбцом, мы обнаружим, что первый столбец дает 1, а все остальные дают 0. Следовательно, сумма всех столбцов равна 1. Однако, если мы сначала просуммируем ее по строкам, он обнаружит, что все строки дают 0. Следовательно, сумма всех строк равна 0.

Объяснение этого парадокса состоит в том, что вертикальная сумма до бесконечности и горизонтальная сумма до бесконечности — это два предельных процесса, которые нельзя поменять местами. Позволять $S_{n,m}$ быть суммой записей до записей ( n , m ). Тогда у нас есть $\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }S_{n,m}=1$, но $\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }S_{n,m}=0$. В этом случае двойной предел $\lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}S_{n,m}$ не существует, и, следовательно, эта проблема не является четко определенной.

Интегрирование по неограниченному интервалу

По теореме интегрирования для равномерной сходимости , как только мы имеем $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$ сходится равномерно на $X$, предел по n и интегрирование по ограниченному интервалу $[a,b]\subseteq X$ можно поменять местами:

$\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\mathrm {d} x$.

Однако такое свойство может оказаться неверным для несобственного интеграла на неограниченном интервале. $[a,\infty )\subseteq X$. В этом случае можно опираться на теорему Мура-Осгуда.

Учитывать $L=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x$ в качестве примера.

Сначала мы разложим подынтегральную функцию как ${\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}={\frac {x^{2}e^{-x}}{1-e^{-x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}$ для $x\in [0,\infty )$. (Здесь x =0 — предельный случай.)

путем можно доказать, Расчетным что для $x\in [0,\infty )$ и $k\geq 1$, у нас есть $x^{2}e^{-kx}\leq {\frac {4}{e^{2}k^{2}}}$. По М-тесту Вейерштрасса , $\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}$ сходится равномерно на $[0,\infty )$.

Тогда по теореме интегрирования для равномерной сходимости $L=\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}\sum _{k=0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x$.

Для дальнейшего обмена пределом $\lim _{b\to \infty }$ с бесконечным суммированием $\sum _{k=0}^{\infty }$, теорема Мура-Осгуда требует, чтобы бесконечный ряд сходился равномерно.

Обратите внимание, что $\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{\infty }x^{2}e^{-kx}\mathrm {d} x={\frac {2}{k^{3}}}$. Опять же, по М-тесту Вейерштрасса, $\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}$ сходится равномерно на $[0,\infty )$.

Тогда по теореме Мура-Осгуда $L=\lim _{b\to \infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}=\sum _{k=0}^{\infty }\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}x^{2}e^{-kx}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{k^{3}}}=2\zeta (3)$. (Вот дзета-функция Римана .)

См. также

• Предел последовательности
• Предел функции
• Равномерная сходимость
• Обмен ограничивающими операциями