Обмен ограничивающими операциями

В математике изучение взаимообмена предельных операций является одной из основных задач математического анализа , поскольку что две заданные предельные операции, скажем, L и M нельзя предполагать, , дают один и тот же результат, если применять их в любом порядке. Одним из исторических источников этой теории является изучение тригонометрических рядов .

Формулировка

В символах предположение

ЛМ = МЛ ,

где левая часть означает, что M сначала применяется , затем L , и наоборот в правой части , не является допустимым уравнением между математическими операторами при всех обстоятельствах и для всех операндов. Алгебраист сказал бы, что операции не коммутируют . Подход, используемый в анализе, несколько иной. Выводы, предполагающие, что предельные операции «коммутируют», называются формальными . Аналитик пытается очертить условия, при которых такие выводы справедливы; другими словами, математическая строгость устанавливается путем определения некоторого набора достаточных условий для выполнения формального анализа. Этот подход оправдывает, например, понятие равномерной сходимости . Сравнительно редко такие достаточные условия также необходимы, чтобы более точный анализ мог расширить область применимости формальных результатов.

Таким образом, с профессиональной точки зрения аналитики расширяют границы методов и расширяют значение понятия « хорошее поведение» для данного контекста. Г.Х. Харди писал: «Проблема определения коммутативности двух заданных предельных операций является одной из важнейших в математике». Мнение, по-видимому, не в пользу кусочного подхода, а в пользу оставления анализа на уровне эвристики , принадлежало Рихарду Куранту .

Примеры

Примеров имеется множество, одним из самых простых является случай, когда для двойной последовательности a _{m , n} : не обязательно операции достижения пределов при m → ∞ и при n → ∞ можно свободно менять местами. Например, возьмем

а _{м , п знак} равно 2 ^{м - п}

в котором достижение предела сначала по n дает 0, а по m дает ∞.

Многие фундаментальные результаты исчисления бесконечно малых также попадают в эту категорию: симметрия частных производных , дифференцирование под знаком интеграла и теорема Фубини касаются замены операторов дифференцирования и интегрирования .

Одна из основных причин интеграла Лебега использования заключается в том, что существуют теоремы, такие как теорема о доминируемой сходимости , которые дают достаточные условия, при которых можно поменять местами интегрирование и предельную операцию. Необходимые и достаточные условия для этого обмена были обнаружены Федерико Кафьеро .

Список связанных теорем

• Обмен лимитами:
  • Теорема Мура-Осгуда
• Перестановка предельного и бесконечного суммирования:
  • Теорема Таннери
• Обмен лимитом и производными:
  • Если последовательность функций $(f_{n})$ сходится хотя бы в одной точке и производные сходятся равномерно, то $(f_{n})$ также сходится равномерно, скажем, к некоторой функции $f$ а предельная функция производных равна $f'$. Хотя это часто показывается с использованием теоремы о среднем значении для вещественных функций, тот же метод можно применить и к функциям более высокой размерности, используя вместо этого неравенство среднего значения .
• Обмен частными производными:
  • Теорема Шварца
• Обмен интегралами:
  • Теория Фубини
• Перестановка предела и интеграла:
  • Теорема о доминируемой сходимости
  • Теорема Витали о сходимости
  • Теорема Фичеры о сходимости
  • Теорема о сходимости Кафьеро
  • Лемма Фату
  • Теорема о монотонной сходимости интегралов (лемма Беппо Леви)
• Обмен производной и интеграла:
  • Интегральное правило Лейбница

См. также

• Повторный предел
• Равномерная сходимость