Теорема Витали о сходимости

В реальном анализе и теории меры теорема сходимости Витали , названная в честь итальянского математика Джузеппе Витали , является обобщением более известной теоремы о доминируемой сходимости Анри Лебега . Это характеристика сходимости в L ^п в терминах сходимости по мере и условия, связанного с равномерной интегрируемостью .

Предварительные определения

Позволять $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ быть пространством с мерой , т.е. $\mu :{\mathcal {A}}\to [0,\infty ]$ является функцией множества, такой что $\mu (\emptyset )=0$ и $\mu$ является счетно-аддитивным. Все функции, рассматриваемые далее, будут функциями $f:X\to \mathbb {K}$, где $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$. Примем следующие определения согласно терминологии Богачева.

• Набор функций ${\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ называется равномерно интегрируемым, если $\lim _{M\to +\infty }\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|>M\}}|f|\,d\mu =0$, то есть $\forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ M_{\varepsilon }>0:\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{\{|f|\geq M_{\varepsilon }\}}|f|\,d\mu <\varepsilon$.
• Набор функций ${\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ Говорят, что он имеет равномерно абсолютно непрерывные интегралы, если $\lim _{\mu (A)\to 0}\sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\,d\mu =0$, то есть $\forall \ \varepsilon >0,\ \exists \ \delta _{\varepsilon }>0,\ \forall \ A\in {\mathcal {A}}:\mu (A)<\delta _{\varepsilon }\Rightarrow \sup _{f\in {\mathcal {F}}}\int _{A}|f|\,d\mu <\varepsilon$. Это определение иногда используется как определение равномерной интегрируемости. Однако оно отличается от определения равномерной интегрируемости, данного выше.

Когда $\mu (X)<\infty$, набор функций ${\mathcal {F}}\subset L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда оно ограничено в $L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ и имеет равномерно абсолютно непрерывные интегралы. Если, кроме того, $\mu$ безатомна, то равномерная интегрируемость эквивалентна равномерной абсолютной непрерывности интегралов.

Случай конечной меры

Позволять $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ быть пространством меры с $\mu (X)<\infty$. Позволять $(f_{n})\subset L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ и $f$ быть ${\mathcal {A}}$-измеримая функция. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. $f\in L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ и $(f_{n})$ сходится к $f$ в $L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ;
2. Последовательность функций $(f_{n})$ сходится в $\mu$-измерить до $f$ и $(|f_{n}|^{p})_{n\geq 1}$ является равномерно интегрируемым;

Доказательство см. в монографии Богачева «Теория меры, том I».

Случай бесконечной меры

Позволять $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ быть пространством меры и $1\leq p<\infty$. Позволять $(f_{n})_{n\geq 1}\subseteq L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ и $f\in L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$. Затем, $(f_{n})$ сходится к $f$ в $L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ тогда и только тогда, когда выполняется следующее:

1. Последовательность функций $(f_{n})$ сходится в $\mu$-измерить до $f$ ;
2. $(f_{n})$ имеет равномерно абсолютно непрерывные интегралы;
3. Для каждого $\varepsilon >0$, существует $X_{\varepsilon }\in {\mathcal {A}}$ такой, что $\mu (X_{\varepsilon })<\infty$ и $\sup _{n\geq 1}\int _{X\setminus X_{\varepsilon }}|f_{n}|^{p}\,d\mu <\varepsilon .$

Когда $\mu (X)<\infty$, третье условие становится излишним (можно просто взять $X_{\varepsilon }=X$) и первые два условия дают обычную форму теоремы сходимости Лебега-Витали, первоначально сформулированной для пространств с конечной мерой. В этом случае можно показать, что из условий 1 и 2 следует, что последовательность $(|f_{n}|^{p})_{n\geq 1}$ является равномерно интегрируемым.

теоремы

Позволять $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ быть мерой пространства. Позволять $(f_{n})_{n\geq 1}\subseteq L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ и предположим, что $\lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu$ существует для каждого $A\in {\mathcal {A}}$. Тогда последовательность $(f_{n})$ ограничен $L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ и имеет равномерно абсолютно непрерывные интегралы. Кроме того, существует $f\in L^{1}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ такой, что $\lim _{n\to \infty }\int _{A}f_{n}\,d\mu =\int _{A}f\,d\mu$ для каждого $A\in {\mathcal {A}}$.

Когда $\mu (X)<\infty$, это означает, что $(f_{n})$ является равномерно интегрируемым.

Доказательство см. в монографии Богачева «Теория меры, том I».