Спектральная теория

В математике теорию спектральная теория является всеобъемлющим термином для теорий, расширяющих собственных векторов и собственных значений одиночной квадратной матрицы до гораздо более широкой теории структуры операторов в различных математических пространствах . Это результат исследований линейной алгебры и решений систем линейных уравнений и их обобщений. Эта теория связана с теорией аналитических функций , поскольку спектральные свойства оператора связаны с аналитическими функциями спектрального параметра.

Математическая основа

Название «спектральная теория» было введено Дэвидом Гильбертом в его первоначальной формулировке теории гильбертового пространства , которая выражалась в терминах квадратичных форм от бесконечного числа переменных. первоначальная спектральная теорема была задумана как версия теоремы о главных осях эллипсоида Таким образом , в бесконечномерной ситуации. Поэтому более позднее открытие в квантовой механике того, что спектральная теория может объяснить особенности атомных спектров , было поэтому случайным. Сам Гильберт был удивлен неожиданным применением этой теории, отмечая, что «я разработал свою теорию бесконечного числа переменных из чисто математических интересов и даже назвал ее «спектральным анализом», не предчувствуя, что она позже найдет применение к реальному спектру физика».

Было три основных способа формулировки спектральной теории, каждый из которых находит применение в разных областях. После первоначальной формулировки Гильберта позднее развитие абстрактных гильбертовых пространств и спектральной теории одиночных нормальных операторов на них хорошо соответствовало требованиям физики , примером чему служат работы фон Неймана . Дальнейшая теория, построенная на этом, касается банаховых алгебр в целом. Это развитие приводит к представлению Гельфанда , охватывающему коммутативный случай , и далее к некоммутативному гармоническому анализу .

Разницу можно увидеть при установлении связи с анализом Фурье . на Преобразование Фурье действительной прямой представляет собой в каком-то смысле спектральную теорию дифференцирования как дифференциального оператора . Но для того, чтобы охватить явления, уже приходится иметь дело с обобщенными собственными функциями (например, с помощью оснащенного гильбертова пространства ). С другой стороны, построить групповую алгебру , спектр которой улавливает основные свойства преобразования Фурье, просто, и это осуществляется с помощью двойственности Понтрягина .

Можно также изучать спектральные свойства операторов в банаховых пространствах . Например, компактные операторы в банаховых пространствах обладают многими спектральными свойствами, аналогичными свойствам матриц .

Физический фон

Основы физики вибраций объясняются следующим образом:

Спектральная теория связана с исследованием локализованных колебаний множества различных объектов — от атомов и молекул в химии до препятствий в акустических волноводах . Эти вибрации имеют частоты , и проблема состоит в том, чтобы решить, когда возникают такие локализованные вибрации и как вычислять частоты. Это очень сложная проблема, поскольку каждый предмет имеет не только основной тон , но и сложную серию обертонов , которые радикально различаются от одного тела к другому.

Такие физические идеи не имеют ничего общего с математической теорией на техническом уровне, но есть примеры косвенного участия (см., например, Марка Каца « вопрос Слышите ли вы форму барабана?» ). Принятие Гильбертом термина «спектр» было приписано статье Вильгельма Виртингера о дифференциальном уравнении Хилла в 1897 году ( Жан Дьедонне ), и оно было подхвачено его учениками в течение первого десятилетия двадцатого века, среди них Эрхард Шмидт и Герман Вейль . Концептуальная основа гильбертова пространства была разработана на основе идей Гильберта Эрхардом Шмидтом и Фриджесом Риссом . Почти двадцать лет спустя, когда квантовая механика была сформулирована в терминах уравнения Шрёдингера , была установлена ​​связь с атомными спектрами ; связь с математической физикой вибрации подозревалась и раньше, как заметил Анри Пуанкаре , но отвергалась по простым количественным причинам из-за отсутствия объяснения ряда Бальмера . Таким образом, более позднее открытие в квантовой механике того, что спектральная теория может объяснить особенности атомных спектров, было скорее случайным, чем объектом спектральной теории Гильберта.

Определение спектра

Основная статья: Спектр (функциональный анализ)

Рассмотрим ограниченное линейное преобразование T, определенное всюду над общим банаховым пространством . Формируем трансформацию:

$$R_{\zeta }=\left(\zeta I-T\right)^{-1}.$$

Здесь I — тождественный оператор , а ζ — комплексное число . Обратный , то оператор T есть T ⁻¹ , определяется:

$$TT^{-1}=T^{-1}T=I.$$

Если обратное существует, T называется регулярным . Если он не существует, T называется сингулярным .

Согласно этим определениям, резольвентное множество T — это множество всех комплексных чисел ζ таких, что R _ζ существует и ограничено . Этот набор часто обозначается как ρ ( T ). Спектр — это T R набор всех комплексных чисел ζ таких, что ζ _не существует или не ограничен. Часто спектр T обозначается σ ( T ). Функция R _ζ для всех ζ из ρ ( T ) (т. е. везде, где ζ _{существует} как ограниченный оператор) называется резольвентой T R . T образом , спектр является T дополнением множества резольвентного Таким в комплексной плоскости. Каждое собственное значение T σ принадлежит σ ( T ), но ( T ) может содержать несобственные значения.

Это определение применимо к банаховому пространству, но, конечно, существуют и другие типы пространств; например, топологические векторные пространства включают банаховы пространства, но могут быть более общими. С другой стороны, банаховы пространства включают в себя гильбертовы пространства , и именно эти пространства находят наибольшее применение и богатейшие теоретические результаты. При соответствующих ограничениях можно многое сказать о структуре спектров преобразований в гильбертовом пространстве. В частности, для самосопряженных операторов спектр лежит на вещественной прямой и (вообще) представляет собой спектральную комбинацию точечного спектра дискретных собственных значений и непрерывного спектра .

Спектральная

Основная статья: Спектральная теорема

См. Также: собственное значение, собственный вектор и собственное пространство.

В функциональном анализе и линейной алгебре спектральная теорема устанавливает условия, при которых оператор может быть выражен в простой форме как сумма более простых операторов. Поскольку полное строгое изложение не подходит для этой статьи, мы используем подход, который избегает большей части строгости и удовлетворения формального подхода с целью сделать его более понятным для неспециалиста.

Эту тему проще всего описать, введя операторов для обозначение Дирака . Например, очень конкретный линейный оператор L может быть записан как двоичное произведение :

$L=|k_{1}\rangle \langle b_{1}|,$

в плане «бюстгальтера» ⟨ б ₁ | и «кет» | к ₁ ⟩. Функция f описывается кетом как | е ⟩. Функция f ( x ), определенная в координатах $(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )$ обозначается как

$f(x)=\langle x,f\rangle$

и величина f на

$\|f\|^{2}=\langle f,f\rangle =\int \langle f,x\rangle \langle x,f\rangle \,dx=\int f^{*}(x)f(x)\,dx$

где обозначение (*) обозначает комплексно-сопряженное число . Этот выбор внутреннего продукта определяет очень специфическое пространство внутреннего продукта , ограничивая общность последующих аргументов.

Влияние L на функцию f тогда описывается как:

$L|f\rangle =|k_{1}\rangle \langle b_{1}|f\rangle$

выражая результат о том, что влияние L на f заключается в создании новой функции $|k_{1}\rangle$ умноженный на внутренний продукт, представленный $\langle b_{1}|f\rangle$.

Более общий линейный оператор L может быть выражен как:

$L=\lambda _{1}|e_{1}\rangle \langle f_{1}|+\lambda _{2}|e_{2}\rangle \langle f_{2}|+\lambda _{3}|e_{3}\rangle \langle f_{3}|+\dots ,$

где $\{\,\lambda _{i}\,\}$ являются скалярами и $\{\,|e_{i}\rangle \,\}$ являются основой и $\{\,\langle f_{i}|\,\}$ взаимное основание для пространства. Связь между базисом и реципрокным базисом частично описывается следующим образом:

$\langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}$

Если такой формализм применим, то $\{\,\lambda _{i}\,\}$ являются собственными значениями оператора L и функций $\{\,|e_{i}\rangle \,\}$ являются собственными L функциями . Собственные значения находятся спектре L в .

Некоторые естественные вопросы заключаются в следующем: при каких обстоятельствах этот формализм работает и для каких операторов L возможно разложение в ряд других подобных операторов? Может ли любая функция f быть выражена через собственные функции (являются ли они базисом Шаудера ) и при каких обстоятельствах возникает точечный или непрерывный спектр? Чем отличаются или различаются формализмы для бесконечномерных и конечномерных пространств? Могут ли эти идеи быть распространены на более широкий класс пространств? Ответ на такие вопросы является областью спектральной теории и требует значительного опыта в функциональном анализе и матричной алгебре .

Разрешение личности

Смотрите также: Борелевское функциональное исчисление § Разрешение тождества

Этот раздел продолжает в грубой форме предыдущий раздел, используя обозначения скобок и замалчивая многие важные детали строгого рассмотрения. Строгое математическое рассмотрение можно найти в различных источниках. В частности, размерность n пространства будет конечной.

Используя обозначение Брекета из приведенного выше раздела, тождественный оператор можно записать как:

$I=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|$

где предполагается, как указано выше $\{|e_{i}\rangle \}$ являются основой и $\{\langle f_{i}|\}$ обратная основа для пространства, удовлетворяющего соотношению:

$\langle f_{i}|e_{j}\rangle =\delta _{ij}.$

Это выражение операции идентичности называется представлением или разрешением идентичности. Это формальное представление удовлетворяет основному свойству идентичности:

$I^{k}=I$

действительно для любого положительного целого числа k .

Применение разрешения тождества к любой функции в пространстве $|\psi \rangle$, получается:

$I|\psi \rangle =|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}|e_{i}\rangle$

что является обобщенным разложением Фурье ψ в терминах базисных функций { e _i }. Здесь $c_{i}=\langle f_{i}|\psi \rangle$.

Учитывая некоторое операторное уравнение вида:

$O|\psi \rangle =|h\rangle$

с h в пространстве это уравнение можно решить в приведенном выше базисе с помощью формальных манипуляций:

$O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\left(O|e_{i}\rangle \right)=\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle ,$

$\langle f_{j}|O|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\langle f_{j}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|h\rangle =\langle f_{j}|h\rangle ,\quad \forall j$

которое преобразует операторное уравнение в матричное уравнение, определяющее неизвестные коэффициенты c _j через обобщенные коэффициенты Фурье $\langle f_{j}|h\rangle$ h и матричных элементов $O_{ji}=\langle f_{j}|O|e_{i}\rangle$ оператора О. ​

Роль спектральной теории возникает в установлении природы и существования базиса и обратного базиса. В частности, базис может состоять из собственных функций некоторого линейного оператора L :

$L|e_{i}\rangle =\lambda _{i}|e_{i}\rangle \,;$

с { λ _i } собственными значениями L из спектра L . Тогда разрешение приведенного выше тождества обеспечивает расширение L в диаду :

$LI=L=\sum _{i=1}^{n}L|e_{i}\rangle \langle f_{i}|=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|.$

Резольвентный оператор

Основная статья: Резольвентный формализм

См. Также: функция Грина и дельта-функция Дирака.

Используя спектральную теорию, резольвентный оператор R :

$R=(\lambda I-L)^{-1},\,$

может быть оценено через собственные функции и собственные значения L функция Грина, соответствующая L. и может быть найдена

Применяя R к некоторой произвольной функции в пространстве, скажем $\varphi$,

$R|\varphi \rangle =(\lambda I-L)^{-1}|\varphi \rangle =\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\lambda -\lambda _{i}}}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle .$

Эта функция имеет полюсы в комплексной λ -плоскости в каждом собственном значении L . Таким образом, используя исчисление остатков :

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}R|\varphi \rangle d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \langle f_{i}|\varphi \rangle =-|\varphi \rangle ,$

где линейный интеграл проводится по контуру C , который включает в себя все собственные значения L .

Предположим, наши функции определены по некоторым координатам { x _j }, то есть:

$\langle x,\varphi \rangle =\varphi (x_{1},x_{2},...).$

Знакомство с обозначениями

$\langle x,y\rangle =\delta (x-y),$

где δ(x - y) = δ(x ₁ - y ₁ , x ₂ - y ₂ , x ₃ - y ₃ , ...) - дельта-функция Дирака , мы можем написать

$\langle x,\varphi \rangle =\int \langle x,y\rangle \langle y,\varphi \rangle dy.$

Затем:

${\begin{aligned}\left\langle x,{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}d\lambda \right\rangle &={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \left\langle x,{\frac {\varphi }{\lambda I-L}}\right\rangle \\&={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}d\lambda \int dy\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle y,\varphi \rangle \end{aligned}}$

Функция G(x, y; λ), определяемая формулой:

${\begin{aligned}G(x,y;\lambda )&=\left\langle x,{\frac {y}{\lambda I-L}}\right\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \left\langle f_{i},{\frac {e_{j}}{\lambda I-L}}\right\rangle \langle f_{j},y\rangle \\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle }{\lambda -\lambda _{i}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(y)}{\lambda -\lambda _{i}}},\end{aligned}}$

называется функцией Грина для оператора L и удовлетворяет следующим условиям:

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}G(x,y;\lambda )\,d\lambda =-\sum _{i=1}^{n}\langle x,e_{i}\rangle \langle f_{i},y\rangle =-\langle x,y\rangle =-\delta (x-y).$

Операторные уравнения

См. Также: Спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений и Интегральное уравнение.

Рассмотрим операторное уравнение:

$(O-\lambda I)|\psi \rangle =|h\rangle ;$

по координатам:

$\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,\psi \rangle \,dy=h(x).$

Частный случай — λ = 0.

Функция Грина из предыдущего раздела:

$\langle y,G(\lambda )z\rangle =\left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle =G(y,z;\lambda ),$

и удовлетворяет:

$\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \langle y,G(\lambda )z\rangle \,dy=\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle \left\langle y,(O-\lambda I)^{-1}z\right\rangle \,dy=\langle x,z\rangle =\delta (x-z).$

Используя это свойство функции Грина:

$\int \langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )\,dy=\delta (x-z).$

Затем, умножив обе части этого уравнения на h ( z ) и интегрируя:

$\int dz\,h(z)\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle G(y,z;\lambda )=\int dy\,\langle x,(O-\lambda I)y\rangle \int dz\,h(z)G(y,z;\lambda )=h(x),$

что предполагает решение:

$\psi (x)=\int h(z)G(x,z;\lambda )\,dz.$

То есть функция ψ ( x ), удовлетворяющая операторному уравнению, находится, если мы можем найти спектр O и построить G , например, используя:

$G(x,z;\lambda )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {e_{i}(x)f_{i}^{*}(z)}{\lambda -\lambda _{i}}}.$

есть много других способов найти G. Конечно, См. статьи о функциях Грина и об интегральных уравнениях Фредгольма . Следует иметь в виду, что приведенная выше математика является чисто формальной, и ее строгая трактовка предполагает довольно сложную математику, включая хорошие базовые знания функционального анализа , гильбертовых пространств , распределений и т. д. Более подробную информацию можно найти в этих статьях и ссылках.

Спектральная теорема

Задачи оптимизации могут быть наиболее полезными примерами комбинаторной значимости собственных значений и собственных векторов в симметричных матрицах, особенно для фактора Рэлея по матрице M .

Теорема. Пусть M — симметричная матрица, а x ненулевой вектор, который максимизирует фактор Рэлея по M. — Тогда x — собственный вектор M с собственным значением, равным коэффициенту Рэлея . Более того, это собственное значение является наибольшим собственным значением M .

Доказательство. Предположим спектральную теорему. Пусть собственные значения M будут $\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \cdots \leq \lambda _{n}$. Поскольку $\{v_{i}\}$ образуют ортонормированный базис , любой вектор x можно выразить в этом базисе как

$x=\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}$

Доказать эту формулу довольно просто. А именно,

${\begin{aligned}v_{j}^{T}\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{i}={}&\sum _{i}v_{i}^{T}xv_{j}^{T}v_{i}\\[4pt]={}&(v_{j}^{T}x)v_{j}^{T}v_{j}\\[4pt]={}&v_{j}^{T}x\end{aligned}}$

оцените коэффициент Рэлея по x :

${\begin{aligned}x^{T}Mx={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}\right)^{T}M\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\right)\\[4pt]={}&\left(\sum _{i}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}\right)\left(\sum _{j}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\right)\\[4pt]={}&\sum _{i,j}(v_{i}^{T}x)v_{i}^{T}(v_{j}^{T}x)v_{j}\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)(v_{j}^{T}x)\lambda _{j}\\[4pt]={}&\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\lambda _{j}\leq \lambda _{n}\sum _{j}(v_{j}^{T}x)^{2}\\[4pt]={}&\lambda _{n}x^{T}x,\end{aligned}}$

мы использовали личность Парсеваля где в последней строке . Наконец мы получаем, что

${\frac {x^{T}Mx}{x^{T}x}}\leq \lambda _{n}$

поэтому коэффициент Рэлея всегда меньше $\lambda _{n}$.

См. также

• Функции операторов , Теория операторов
• Слабые пары
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Рисс-проектор
• Самосопряженный оператор
• Спектр (функциональный анализ) , Резольвентный формализм , Разложение спектра (функциональный анализ)
• Спектральный радиус , Спектр оператора , Спектральная теорема
• Спектральная теория компактных операторов
• Спектральная теория нормальных C*-алгебр
• Теория Штурма–Лиувилля , Интегральные уравнения , Теория Фредгольма
• Компактные операторы , Изоспектральные операторы, Полнота
• Спектральная геометрия
• Спектральная теория графов
• Список тем функционального анализа

Ссылки

• Эдвард Брайан Дэвис (1996). Спектральная теория и дифференциальные операторы; Том 42 Кембриджских исследований по высшей математике . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-58710-7 .
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы, спектральная теория, самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве (Часть 2) (переиздание в мягкой обложке, изд. 1967 г.). Уайли. ISBN  0-471-60847-5 .
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы, Спектральные операторы (Часть 3) (переиздание в мягкой обложке, изд. 1971 г.). Уайли. ISBN  0-471-60846-7 .
• Садри Хассани (1999). «Глава 4: Спектральное разложение» . Математическая физика: современное введение в ее основы . Спрингер. ISBN  0-387-98579-4 .
• «Спектральная теория линейных операторов» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Шмуэль Канторовиц (1983). Спектральная теория операторов банахового пространства; . Спрингер.
• Арч В. Нейлор, Джордж Р. Селл (2000). «Глава 5, Часть Б: Спектр» . Теория линейных операторов в технике и науке; Том 40 Прикладных математических наук . Спрингер. п. 411. ИСБН  0-387-95001-Х .
• Джеральд Тешл (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шрёдингера . Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4660-5 .
• Вальтер Моретти (2017). Спектральная теория и квантовая механика; Математические основы квантовых теорий, симметрии и введение в алгебраические формулировки, 2-е издание . Спрингер. ISBN  978-3-319-70705-1 .

Внешние ссылки

• Эванс М. Харрелл II : Краткая история теории операторов
• Грегори Х. Мур (1995). «Аксиоматизация линейной алгебры: 1875-1940» . История Математики . 22 (3): 262–303. дои : 10.1006/hmat.1995.1025 .
• Стин, Луизиана (апрель 1973 г.). «Основные события в истории спектральной теории». Американский математический ежемесячник . 80 (4): 359–381. дои : 10.2307/2319079 . JSTOR   2319079 .