Оснащенное гильбертово пространство

В математике оснащенное гильбертово пространство ( тройка Гельфанда , вложенное гильбертово пространство , оснащенное гильбертово пространство ) — конструкция, предназначенная для связи распределения и интегрируемых с квадратом аспектов функционального анализа . Такие пространства были введены для изучения спектральной теории . Они объединяют « связанное состояние » ( собственный вектор ) и « непрерывный спектр » в одном месте.

версию спектральной теоремы для неограниченных операторов в гильбертовом пространстве. Используя это понятие, можно сформулировать ^[1] «Оснащенные гильбертовы пространства хорошо известны как структура, которая придает правильное математическое значение формулировке Дирака квантовой механики ». ^[2]

Мотивация

Такая функция, как $x\mapsto e^{ix},$ является собственной функцией дифференциального оператора $-i{\frac {d}{dx}}$ на вещественной прямой $R$ , но не суммируется с квадратом для обычной ( Лебега на $R.$ ) меры Чтобы правильно рассматривать эту функцию как собственную, необходимо каким-то образом выйти за строгие рамки теории гильбертова пространства . Этому способствовал аппарат распределений , а обобщенная теория собственных функций после 1950 года была разработана .

Подход функционального анализа

Концепция оснащенного гильбертова пространства помещает эту идею в абстрактную функционально-аналитическую структуру. Формально оснащенное гильбертово пространство состоит из гильбертова пространства $H$ вместе с подпространством $Φ,$ которое несет более тонкую топологию , то есть такую, для которой естественное включение $\Phi \subseteq H$ является непрерывным. Нетрудно Φ предположить, что $в$ H гильбертовой по $плотно$ норме. Рассмотрим включение двойственных пространств $H *$ в $фа *$ . Последняя, двойственная $Φ$ в своей топологии «основной функции», реализуется как пространство распределений или каких-то обобщенных функций, а линейные функционалы на подпространстве $Φ$ типа $\phi \mapsto \langle v,\phi \rangle$ для $v$ в $H$ точно представлены в виде распределений (поскольку мы предполагаем $Φ$ плотным).

Теперь, применив теорему о представлении Рисса, мы можем определить $H *$ с $Х.$ Следовательно, определение оснащенного гильбертова пространства дается в виде сэндвича: $\Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.$

Наиболее значимыми примерами являются те, для которых $Ф$ — ядерное пространство ; этот комментарий является абстрактным выражением идеи о том, что $Φ$ состоит из тестовых функций, а $Φ*$ — из соответствующих распределений . Также простой пример дают пространства Соболева : Здесь (в простейшем случае пространств Соболева на $\mathbb {R} ^{n}$ ) $H=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi =H^{s}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi ^{*}=H^{-s}(\mathbb {R} ^{n}),$ где $s>0$ .

Формальное определение (тройка Гельфанда)

Оснащенное гильбертово пространство — это пара $(H, Φ),$ где $H —$ гильбертово пространство, $Φ$ — плотное подпространство, такая, что $Φ$ задана топологическая структура векторного пространства , для которой отображение включения $i$ непрерывно.

Отождествление $H$ с его двойственным пространством $H *$ , сопряженное к $i$ - это отображение $i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.$

Двойственное спаривание между $Φ$ и $Φ *$ тогда совместим со скалярным произведением на $H$ в том смысле, что: $\langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}$ в любое время $u\in \Phi \subset H$ и $v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}$ . В случае комплексных гильбертовых пространств мы используем эрмитово скалярное произведение; оно будет комплексно-линейным по $u$ (математическое соглашение) или $v$ (физическое соглашение) и сопряженно-линейным (комплексное антилинейное) по другой переменной.

тройка $(\Phi ,\,\,H,\,\,\Phi ^{*})$ часто называют «тройкой Гельфанда» (в честь математика Израиля Гельфанда ).

Заметим, что хотя $Φ$ изоморфен $Φ *$ (через представление Рисса ), если случается, что $Φ$ само по себе является гильбертовым пространством, этот изоморфизм не совпадает с композицией включения $i$ с присоединенным к нему $i *$ $i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.$

Ссылки

^ Минлос, Р.А. (2001) [1994], «Rigged_Hilbert_space» , Энциклопедия математики , EMS Press
^ Красноголовец Владимир; Колумбус, Фрэнк Х. (2004). Новые исследования в квантовой физике . Издательство Nova Science. п. 79. ИСБН 978-1-59454-001-1 .

Ж.-П. Антуан, Квантовая механика за пределами гильбертова пространства (1996), фигурирующая в книгах «Необратимость и причинность, полугруппы и оснащенные гильбертовы пространства» , Арно Бом, Хайнц-Дитрих Дёбнер, Петр Келановский, редакторы, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64305-2 . (Предоставляет обзор опроса.)
Ж. Дьедонне , Элементы анализа VII (1978). (См. пункты 23.8 и 23.32)
И.М. Гельфанд и Н.Я. Виленкин . Обобщенные функции, вып. 4: Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. Академик Пресс, Нью-Йорк, 1964.
К. Маурин, Обобщенные разложения по собственным функциям и унитарные представления топологических групп , Польское научное издательство, Варшава, 1968.
Р. де ла Мадрид, «Квантовая механика в оснащенном языке гильбертового пространства», докторская диссертация (2001).
Р. де ла Мадрид, «Роль оснащенного гильбертова пространства в квантовой механике», Eur. Дж. Физ. 26, 287 (2005); квант-ph/0502053 .

[1] Минлос, Р.А. (2001) [1994], «Rigged_Hilbert_space» , Энциклопедия математики , EMS Press

[2] Красноголовец Владимир; Колумбус, Фрэнк Х. (2004). Новые исследования в квантовой физике . Издательство Nova Science. п. 79. ИСБН 978-1-59454-001-1 .

[1]

[2]

v т и Спектральная теория и ^*-алгебры
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem

v т и гильбертовы пространства
Basic concepts	Adjoint Inner product and L-semi-inner product Hilbert space and Prehilbert space Orthogonal complement Orthonormal basis
Main results	Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Riesz representation
Other results	Hilbert projection theorem Parseval's identity Polarization identity (Parallelogram law)
Maps	Compact operator on Hilbert space Densely defined Hermitian form Hilbert–Schmidt Normal Self-adjoint Sesquilinear form Trace class Unitary
Examples	Cⁿ(K) with K compact & n<∞ Segal–Bargmann F