Спектральная теория нормальных C*-алгебр

В функциональном анализе каждое C ^* -алгебра изоморфна подалгебре C ^* -алгебра ${\mathcal {B}}(H)$ ограниченных линейных операторов в некотором гильбертовом пространстве $H.$ В данной статье описывается спектральная теория замкнутых нормальных подалгебр алгебры. ${\mathcal {B}}(H)$. Подалгебра $A$ из ${\mathcal {B}}(H)$ называется нормальным, если оно коммутативно и замкнуто относительно $\ast$ операция: для всех $x,y\in A$, у нас есть $x^{\ast }\in A$ и это $xy=yx$.

Разрешение личности

См. Также: Проекционная мера.

Через, $H$ является фиксированным гильбертовым пространством .

Проекционная мера на измеримом пространстве $(X,\Omega ),$ где $\Omega$ является σ-алгеброй подмножеств $X,$ это отображение $\pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)$ такой, что для всех $\omega \in \Omega ,$ $\pi (\omega )$ является самосопряженной проекцией на $H$ (то есть, $\pi (\omega )$ — ограниченный линейный оператор $\pi (\omega ):H\to H$ это удовлетворяет $\pi (\omega )=\pi (\omega )^{*}$ и $\pi (\omega )\circ \pi (\omega )=\pi (\omega )$) такой, что $$\pi (X)=\operatorname {Id} _{H}\quad$$(где $\operatorname {Id} _{H}$ является тождественным оператором $H$) и для каждого $x,y\in H,$ функция $\Omega \to \mathbb {C}$ определяется $\omega \mapsto \langle \pi (\omega )x,y\rangle$ представляет собой сложную меру по $M$ (т. е. комплекснозначная счетно-аддитивная функция).

Разрешение личности на измеримом пространстве $(X,\Omega )$ это функция $\pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)$ такой, что для каждого $\omega _{1},\omega _{2}\in \Omega$:

1. $\pi (\varnothing )=0$;
2. $\pi (X)=\operatorname {Id} _{H}$;
3. для каждого $\omega \in \Omega ,$ $\pi (\omega )$ является самосопряженной проекцией на $H$;
4. для каждого $x,y\in H,$ карта $\pi _{x,y}:\Omega \to \mathbb {C}$ определяется $\pi _{x,y}(\omega )=\langle \pi (\omega )x,y\rangle$ представляет собой сложную меру по $\Omega$;
5. $\pi \left(\omega _{1}\cap \omega _{2}\right)=\pi \left(\omega _{1}\right)\circ \pi \left(\omega _{2}\right)$;
6. если $\omega _{1}\cap \omega _{2}=\varnothing$ затем $\pi \left(\omega _{1}\cup \omega _{2}\right)=\pi \left(\omega _{1}\right)+\pi \left(\omega _{2}\right)$;

Если $\Omega$ это $\sigma$-алгебры всех борелевских множеств на хаусдорфовом локально компактном (или компактном) пространстве, то добавляется следующее дополнительное требование:

7. для каждого $x,y\in H,$ карта $\pi _{x,y}:\Omega \to \mathbb {C}$ является регулярной борелевской мерой (это автоматически выполняется на компактных метрических пространствах).

Из условий 2, 3 и 4 следует, что $\pi$ является проекционной мерой.

Характеристики

Всюду пусть $\pi$ быть разрешением идентичности. Для всех $x\in H,$ $\pi _{x,x}:\Omega \to \mathbb {C}$ является положительной мерой по $\Omega$ с полной вариацией $\left\|\pi _{x,x}\right\|=\pi _{x,x}(X)=\|x\|^{2}$ и это удовлетворяет $\pi _{x,x}(\omega )=\langle \pi (\omega )x,x\rangle =\|\pi (\omega )x\|^{2}$ для всех $\omega \in \Omega .$

Для каждого $\omega _{1},\omega _{2}\in \Omega$:

• $\pi \left(\omega _{1}\right)\pi \left(\omega _{2}\right)=\pi \left(\omega _{2}\right)\pi \left(\omega _{1}\right)$ (поскольку оба равны $\pi \left(\omega _{1}\cap \omega _{2}\right)$).
• Если $\omega _{1}\cap \omega _{2}=\varnothing$ тогда диапазоны карт $\pi \left(\omega _{1}\right)$ и $\pi \left(\omega _{2}\right)$ ортогональны друг другу и $\pi \left(\omega _{1}\right)\pi \left(\omega _{2}\right)=0=\pi \left(\omega _{2}\right)\pi \left(\omega _{1}\right).$
• $\pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)$ конечно аддитивна.
• Если $\omega _{1},\omega _{2},\ldots$ являются попарно непересекающимися элементами $\Omega$ чей союз $\omega$ и если $\pi \left(\omega _{i}\right)=0$ для всех $i$ затем $\pi (\omega )=0.$
• Однако, $\pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)$ является счетно- аддитивным только в тривиальных ситуациях, которые сейчас описаны: предположим, что $\omega _{1},\omega _{2},\ldots$ являются попарно непересекающимися элементами $\Omega$ чей союз $\omega$ и что частичные суммы $\sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)$ сходиться к $\pi (\omega )$ в ${\mathcal {B}}(H)$ (с его нормальной топологией) как $n\to \infty$; то поскольку норма любой проекции либо $0$ или $\geq 1,$ частичные суммы не могут образовывать последовательность Коши, если только все, кроме конечного числа, не образуют последовательность Коши. $\pi \left(\omega _{i}\right)$ являются $0.$
• Для любого фиксированного $x\in H,$ карта $\pi _{x}:\Omega \to H$ определяется $\pi _{x}(\omega ):=\pi (\omega )x$ является счетной добавкой $H$-значная мера на $\Omega .$
  • Здесь счетно-аддитивное означает, что всякий раз, когда $\omega _{1},\omega _{2},\ldots$ являются попарно непересекающимися элементами $\Omega$ чей союз $\omega ,$ тогда частичные суммы $\sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)x$ сходиться к $\pi (\omega )x$ в $H.$ Сказал более кратко: $\sum _{i=1}^{\infty }\pi \left(\omega _{i}\right)x=\pi (\omega )x.$
  • Другими словами, для любого попарно непересекающегося семейства элементов $\left(\omega _{i}\right)_{i=1}^{\infty }\subseteq \Omega$ чей союз $\omega _{\infty }\in \Omega$, затем $\sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)=\pi \left(\bigcup _{i=1}^{n}\omega _{i}\right)$ (по конечной аддитивности $\pi$) сходится к $\pi \left(\omega _{\infty }\right)$ в топологии сильных операторов на ${\mathcal {B}}(H)$: для каждого $x\in H$, последовательность элементов $\sum _{i=1}^{n}\pi \left(\omega _{i}\right)x$ сходится к $\pi \left(\omega _{\infty }\right)x$ в $H$ (относительно нормальной топологии).

л ^∞ (π) - пространство существенно ограниченной функции

The $\pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)$ быть разрешением идентичности на $(X,\Omega ).$

Существенно ограниченные функции

Предполагать $f:X\to \mathbb {C}$ представляет собой комплексное значение $\Omega$-измеримая функция. Существует уникальное наибольшее открытое подмножество $V_{f}$ из $\mathbb {C}$ (упорядочено с учетом включения подмножества) такое, что $\pi \left(f^{-1}\left(V_{f}\right)\right)=0.$ Чтобы понять, почему, позвольте $D_{1},D_{2},\ldots$ быть основой для $\mathbb {C}$топологию, состоящую из открытых дисков, и предположим, что $D_{i_{1}},D_{i_{2}},\ldots$ — подпоследовательность (возможно, конечная), состоящая из таких множеств, что $\pi \left(f^{-1}\left(D_{i_{k}}\right)\right)=0$; затем $D_{i_{1}}\cup D_{i_{2}}\cup \cdots =V_{f}.$ Отметим, что, в частности, если $D$ является открытым подмножеством $\mathbb {C}$ такой, что $D\cap \operatorname {Im} f=\varnothing$ затем $\pi \left(f^{-1}(D)\right)=\pi (\varnothing )=0$ так что $D\subseteq V_{f}$ (хотя есть и другие способы $\pi \left(f^{-1}(D)\right)$ может быть равно 0 ). Действительно, $\mathbb {C} \setminus \operatorname {cl} (\operatorname {Im} f)\subseteq V_{f}.$

Основной ассортимент ​ $f$ определяется как дополнение $V_{f}.$ Это наименьшее закрытое подмножество $\mathbb {C}$ который содержит $f(x)$ почти для всех $x\in X$ (то есть для всех $x\in X$ кроме тех, что в каком-то наборе $\omega \in \Omega$ такой, что $\pi (\omega )=0$). Существенный диапазон представляет собой закрытое подмножество $\mathbb {C}$ так что если это также ограниченное подмножество $\mathbb {C}$ тогда он компактен.

Функция $f$ , существенно ограничен если его существенный диапазон ограничен, и в этом случае определите его существенную верхнюю границу , обозначаемую $\|f\|^{\infty },$ быть высшим из всех $|\lambda |$ как $\lambda$ находится в пределах существенного диапазона $f.$

Пространство существенно ограниченных функций

Позволять ${\mathcal {B}}(X,\Omega )$ быть векторным пространством всех ограниченных комплексных значений $\Omega$-измеримые функции $f:X\to \mathbb {C} ,$ которая становится банаховой алгеброй при нормировке $\|f\|_{\infty }:=\sup _{x\in X}|f(x)|.$ Функция $\|\,\cdot \,\|^{\infty }$ является полунормой по ${\mathcal {B}}(X,\Omega ),$ но не обязательно норма. Ядро этой полунормы $N^{\infty }:=\left\{f\in {\mathcal {B}}(X,\Omega ):\|f\|^{\infty }=0\right\},$ является векторным подпространством ${\mathcal {B}}(X,\Omega )$ это замкнутый двусторонний идеал банаховой алгебры $\left({\mathcal {B}}(X,\Omega ),\|\cdot \|_{\infty }\right).$ Следовательно, частное ${\mathcal {B}}(X,\Omega )$ к $N^{\infty }$ также является банаховой алгеброй, обозначаемой $L^{\infty }(\pi ):={\mathcal {B}}(X,\Omega )/N^{\infty }$ где норма любого элемента $f+N^{\infty }\in L^{\infty }(\pi )$ равно $\|f\|^{\infty }$ (поскольку если $f+N^{\infty }=g+N^{\infty }$ затем $\|f\|^{\infty }=\|g\|^{\infty }$) и эта норма делает $L^{\infty }(\pi )$ в банахову алгебру. Спектр $f+N^{\infty }$ в $L^{\infty }(\pi )$ представляет собой существенный диапазон $f.$ Эта статья будет следовать обычной практике написания $f$ скорее, чем $f+N^{\infty }$ представлять элементы $L^{\infty }(\pi ).$

Теорема - Позволять $\pi :\Omega \to {\mathcal {B}}(H)$ быть разрешением идентичности на $(X,\Omega ).$ Существует замкнутая нормальная подалгебра $A$ из ${\mathcal {B}}(H)$ и изометрия ^* -изоморфизм $\Psi :L^{\infty }(\pi )\to A$ удовлетворяющий следующим свойствам:

1. $\langle \Psi (f)x,y\rangle =\int _{X}f\operatorname {d} \pi _{x,y}$ для всех $x,y\in H$ и $f\in L^{\infty }(\pi ),$ что оправдывает обозначение $\Psi (f)=\int _{X}f\operatorname {d} \pi$;
2. $\|\Psi (f)x\|^{2}=\int _{X}|f|^{2}\operatorname {d} \pi _{x,x}$ для всех $x\in H$ и $f\in L^{\infty }(\pi )$;
3. оператор $R\in \mathbb {B} (H)$ коммутирует с каждым элементом $\operatorname {Im} \pi$ тогда и только тогда, когда оно коммутирует с каждым элементом $A=\operatorname {Im} \Psi .$
4. если $f$ — простая функция, равная $f=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\mathbb {1} _{\omega _{i}},$ где $\omega _{1},\ldots \omega _{n}$ является разделом $X$ и $\lambda _{i}$ являются комплексными числами, то $\Psi (f)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\pi \left(\omega _{i}\right)$ (здесь $\mathbb {1}$ – характеристическая функция);
5. если $f$ является пределом (в норме $L^{\infty }(\pi )$) последовательности простых функций $s_{1},s_{2},\ldots$ в $L^{\infty }(\pi )$ затем $\left(\Psi \left(s_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ сходится к $\Psi (f)$ в ${\mathcal {B}}(H)$ и $\|\Psi (f)\|=\|f\|^{\infty }$;
6. $\left(\|f\|^{\infty }\right)^{2}=\sup _{\|h\|\leq 1}\int _{X}\operatorname {d} \pi _{h,h}$ для каждого $f\in L^{\infty }(\pi ).$

Спектральная теорема

Максимальное идеальное пространство банаховой алгебры $A$ есть множество всех комплексных гомоморфизмов $A\to \mathbb {C} ,$ который мы обозначим через $\sigma _{A}.$ Для каждого $T$ в $A,$ преобразование Гельфанда $T$ это карта $G(T):\sigma _{A}\to \mathbb {C}$ определяется $G(T)(h):=h(T).$ $\sigma _{A}$ задана самая слабая топология, делающая каждое $G(T):\sigma _{A}\to \mathbb {C}$ непрерывный. При такой топологии $\sigma _{A}$ является компактным хаусдорфовым пространством и каждое $T$ в $A,$ $G(T)$ принадлежит $C\left(\sigma _{A}\right),$ которое представляет собой пространство непрерывных комплекснозначных функций на $\sigma _{A}.$ Диапазон $G(T)$ это спектр $\sigma (T)$ и что спектральный радиус равен $\max \left\{|G(T)(h)|:h\in \sigma _{A}\right\},$ который $\leq \|T\|.$

Теорема - Предполагать $A$ является замкнутой нормальной подалгеброй ${\mathcal {B}}(H)$ который содержит оператор идентификации $\operatorname {Id} _{H}$ и пусть $\sigma =\sigma _{A}$ — максимальное идеальное пространство $A.$ Позволять $\Omega$ быть борелевскими подмножествами $\sigma .$ Для каждого $T$ в $A,$ позволять $G(T):\sigma _{A}\to \mathbb {C}$ обозначим преобразование Гельфанда $T$ так что $G$ является инъективным отображением $G:A\to C\left(\sigma _{A}\right).$ Существует уникальное разрешение идентичности $\pi :\Omega \to A$ что удовлетворяет: $$\langle Tx,y\rangle =\int _{\sigma _{A}}G(T)\operatorname {d} \pi _{x,y}\quad {\text{ for all }}x,y\in H{\text{ and all }}T\in A;$$обозначение $T=\int _{\sigma _{A}}G(T)\operatorname {d} \pi$ используется для обобщения этой ситуации. Позволять $I:\operatorname {Im} G\to A$ быть обратным преобразованию Гельфанда $G:A\to C\left(\sigma _{A}\right)$ где $\operatorname {Im} G$ может быть канонически идентифицирован как подпространство $L^{\infty }(\pi ).$ Позволять $B$ быть замыканием (в нормальной топологии ${\mathcal {B}}(H)$) линейного промежутка $\operatorname {Im} \pi .$ Тогда верно следующее:

1. $B$ является замкнутой подалгеброй ${\mathcal {B}}(H)$ содержащий $A.$
2. Существует (линейная мультипликативная) изометрия ^* -изоморфизм $\Phi :L^{\infty }(\pi )\to B$ расширение $I:\operatorname {Im} G\to A$ такой, что $\Phi f=\int _{\sigma _{A}}f\operatorname {d} \pi$ для всех $f\in L^{\infty }(\pi ).$
   • Напомним, что обозначения $\Phi f=\int _{\sigma _{A}}f\operatorname {d} \pi$ означает, что $\langle (\Phi f)x,y\rangle =\int _{\sigma _{A}}f\operatorname {d} \pi _{x,y}$ для всех $x,y\in H$;
   • Обратите внимание, в частности, что $T=\int _{\sigma _{A}}G(T)\operatorname {d} \pi =\Phi (G(T))$ для всех $T\in A.$
   • Явно, $\Phi$ удовлетворяет $\Phi \left({\overline {f}}\right)=(\Phi f)^{*}$ и $\|\Phi f\|=\|f\|^{\infty }$ для каждого $f\in L^{\infty }(\pi )$ (так что если $f$ тогда это действительно ценно $\Phi (f)$ является самосопряженным).
3. Если $\omega \subseteq \sigma _{A}$ открыто и непусто (из чего следует, что $\omega \in \Omega$) затем $\pi (\omega )\neq 0.$
4. Ограниченный линейный оператор $S\in {\mathcal {B}}(H)$ коммутирует с каждым элементом $A$ тогда и только тогда, когда оно коммутирует с каждым элементом $\operatorname {Im} \pi .$

Приведенный выше результат можно специализировать для одного нормального ограниченного оператора.

См. также

• Проекционная мера - математическая операторная мера, представляющая интерес для квантовой механики и функционального анализа.
• Спектральная теория компактных операторов
• Спектральная теорема - результат о том, когда матрицу можно диагонализовать.

Ссылки

• Робертсон, AP (1973). Топологические векторные пространства . Кембридж, Англия: Университетское издательство. ISBN  0-521-29882-2 . OCLC   589250 .
• Робертсон, Алекс П.; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . Том. 53. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-29882-7 . OCLC   589250 .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .