Формула следа Кузнецова

В аналитической теории чисел формула следов Кузнецова является расширением формулы следов Петерссона .

Формула Кузнецова, или относительная формула следов , связывает суммы Клоостермана на глубоком уровне со спектральной теорией автоморфных форм . Первоначально это можно было бы сформулировать следующим образом. Позволять

$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

быть достаточно « хорошо себя ведущей » функцией. Тогда называют тождества следующего типа формулой следа Кузнецова :

$\sum _{c\equiv 0\,{\text{mod}}\ N}c^{-r}K(m,n,c)g\left({\frac {4\pi {\sqrt {mn}}}{c}}\right)={\text{Integral transform}}\ +\ {\text{Spectral terms}}.$

Часть интегрального преобразования — это некоторое интегральное преобразование g , а спектральная часть — это сумма коэффициентов Фурье, взятых по пространствам голоморфных и неголоморфных модулярных форм, скрученных некоторым интегральным преобразованием g . Формула следов Кузнецова была найдена Кузнецовым при изучении роста автоморфных функций нулевого веса. Используя оценки сумм Клоостермана, он смог получить оценки коэффициентов Фурье модулярных форм в тех случаях, когда Пьера Делинь доказательство гипотезы Вейля было неприменимо.

Позже Жаке перевел его в рамки теории представлений . Позволять $G$ — редуктивная группа над числовым полем F и $H\subset G$ быть подгруппой. В то время как обычная формула следов изучает гармонический анализ на G , относительная формула следов является инструментом для изучения гармонического анализа в симметричном пространстве. $G/H$. За обзор и многочисленные приложения Когделл, Дж. В. и И. Пятецкий-Шапиро, Арифметический и спектральный анализ рядов Пуанкаре , том 13 « Перспективы математики» . Academic Press Inc., Бостон, Массачусетс (1990).

Ссылки

• Кузнецов, Н.В. (1980), "Гипотеза Петерсона для параболических форм нулевого веса и гипотеза Линника. Суммы сумм Клоостермана", Математический сборник , Новая серия, 111(153) (3): 334–383, ISSN   0368-8666 , МР   0568983