Венская алгебра

В математике алгебра Винера , названная в честь Норберта Винера и обычно обозначаемая A ( T ) , представляет собой пространство абсолютно сходящихся рядов Фурье . Здесь T обозначает группу кругов .

алгебры

Норма функции f ∈ A ( T ) определяется выражением

$\|f\|=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(n)|,\,$

где

${\hat {f}}(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)e^{-int}\,dt$

— n- й коэффициент Фурье функции f . Алгебра Винера A ( T ) замкнута относительно поточечного умножения функций. Действительно,

${\begin{aligned}f(t)g(t)&=\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(m)e^{imt}\,\cdot \,\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\hat {g}}(n)e^{int}\\&=\sum _{n,m\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(m){\hat {g}}(n)e^{i(m+n)t}\\&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left\{\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(n-m){\hat {g}}(m)\right\}e^{int},\qquad f,g\in A(\mathbb {T} );\end{aligned}}$

поэтому

$\|fg\|=\sum _{n\in \mathbb {Z} }\left|\sum _{m\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(n-m){\hat {g}}(m)\right|\leq \sum _{m}|{\hat {f}}(m)|\sum _{n}|{\hat {g}}(n)|=\|f\|\,\|g\|.\,$

Таким образом, алгебра Винера является коммутативной унитарной банаховой алгеброй . Кроме того, A ( T ) изоморфна банаховой алгебре l ₁ ( Z ) с изоморфизмом, заданным преобразованием Фурье.

Свойства

Сумма абсолютно сходящегося ряда Фурье непрерывна, поэтому

$A(\mathbb {T} )\subset C(\mathbb {T} )$

где C ( T ) — кольцо непрерывных функций на единичной окружности.

С другой стороны , интегрирование по частям вместе с неравенством Коши–Шварца и формулой Парсеваля показывает, что

$C^{1}(\mathbb {T} )\subset A(\mathbb {T} ).\,$

В более общем смысле,

$\mathrm {Lip} _{\alpha }(\mathbb {T} )\subset A(\mathbb {T} )\subset C(\mathbb {T} )$

для $\alpha >1/2$ (см. Кацнельсон (2004) ).

Винера 1/ f Теорема

Основная статья: Тауберова теорема Винера

Винер ( 1932 , 1933 ) доказал, что если f имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье и никогда не равна нулю, то его обратная 1/ f также имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. С тех пор появилось множество других доказательств, в том числе элементарное Ньюмана ( 1975 ).

Гельфанд ( 1941 , 1941б ) использовал развитую им теорию банаховых алгебр, чтобы показать, что максимальные идеалы A ( T ) имеют вид

$M_{x}=\left\{f\in A(\mathbb {T} )\,\mid \,f(x)=0\right\},\quad x\in \mathbb {T} ~,$

что эквивалентно теореме Винера.

См. также

• Теорема Винера – Леви

Ссылки

• Арвесон, Уильям (2001) [1994], «Краткий курс спектральной теории» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Гельфанд И. (1941а), «Нормализованные кольца», Rec. Math (Mat. Sbornik) , Nouvelle Série, 9 (51): 3–24, MR   0004726.
• Гельфанд И. (1941b), «Об абсолютно сходящихся тригонометрических рядах и интегралах», Rec. Math (Mat. Sbornik) , Nouvelle Série, 9 (51): 51–66, MR   0004727
• Кацнельсон, Ицхак (2004), Введение в гармонический анализ (Третье изд.), Нью-Йорк: Кембриджская математическая библиотека, ISBN  978-0-521-54359-0
• Ньюман, DJ (1975), «Простое доказательство теоремы Винера 1/ f », Proceedings of the American Mathematical Society , 48 : 264–265, doi : 10.2307/2040730 , ISSN   0002-9939 , MR   0365002
• Винер, Норберт (1932), «Тауберовы теоремы», Annals of Mathematics , 33 (1): 1–100, doi : 10.2307/1968102
• Винер, Норберт (1933), Интеграл Фурье и некоторые его приложения , Кембриджская математическая библиотека, издательство Кембриджского университета , doi : 10.1017/CBO9780511662492 , ISBN  978-0-521-35884-2 , МР   0983891