Тауберова теорема Винера

В математическом анализе тауберова теорема Винера — это любой из нескольких связанных результатов, доказанных Норбертом Винером в 1932 году. Они обеспечивают необходимое и достаточное условие, при котором любая функция в $L^{1}$ или $L^{2}$ быть аппроксимирована линейными комбинациями сдвигов может данной функции.

Неформально, если преобразование Фурье функции $f$ исчезает на определенном множестве $Z$, преобразование Фурье любой линейной комбинации сдвигов $f$ также исчезает на $Z$. Поэтому линейные комбинации переводов $f$ не может аппроксимировать функцию, преобразование Фурье которой не обращается в нуль на $Z$.

Теоремы Винера уточняют это, утверждая, что линейные комбинации переводов $f$ плотны нулевое тогда и только тогда, когда множество функции Фурье преобразование $f$ пусто ( в случае $L^{1}$) или нулевой меры Лебега (в случае $L^{2}$).

Гельфанд переформулировал теорему Винера в терминах коммутативных С*-алгебр , утверждая, что спектр $L^{1}$ групповое кольцо $L^{1}(\mathbb {R} )$ группы ​ $\mathbb {R}$ действительных чисел представляет собой двойственную группу $\mathbb {R}$. Аналогичный результат верен, когда $\mathbb {R}$ заменяется любой локально компактной абелевой группой .

Введение

Типичной тауберовой теоремой является следующий результат: $f\in L^{1}(0,\infty )$. Если:

1. $f(x)=O(1)$ как $x\to \infty$
2. ${\frac {1}{x}}\int _{0}^{\infty }e^{-t/x}f(t)\,dt\to L$ как $x\to \infty$,

затем

${\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\to L.$

Обобщая, пусть $G(t)$ быть заданной функцией, и $P_{G}(f)$ быть предложением

${\frac {1}{x}}\int _{0}^{\infty }G(t/x)f(t)\,dt\to L.$

Заметим, что одна из гипотез и заключение тауберовой теоремы имеют вид $P_{G}(f)$соответственно, с $G(t)=e^{-t}$ и $G(t)=1_{[0,1]}(t).$Вторая гипотеза — «тауберово состояние».

Тауберовы теоремы Винера имеют следующую структуру:

Если $G_{1}$ — заданная функция такая, что $W(G_{1})$, $P_{G_{1}}(f)$, и $R(f)$, затем $P_{G_{2}}(f)$ справедливо для всех «разумных» $G_{2}$.

Здесь $R(f)$ является «тауберовым» условием $f$, и $W(G_{1})$ это особое условие ядра $G_{1}$. Сила теоремы в том, что $P_{G_{2}}(f)$ выполняется, а не для конкретного ядра $G_{2}$, но для всех разумных ядер $G_{2}$.

Условие Винера — это примерно условие для нулей преобразования Фурье $G_{2}$. Например, для функций класса $L^{1}$, условием является то, что преобразование Фурье никуда не исчезает. Часто легко увидеть, что это условие является необходимым условием выполнения тауберовой теоремы такого типа. Ключевым моментом является то, что это простое необходимое условие является также и достаточным.

Условие в L ¹

Позволять $f\in L^{1}(\mathbb {R} )$ быть интегрируемой функцией . Объем ​ переводов $f_{a}(x)=f(x+a)$плотный в $L^{1}(\mathbb {R} )$ тогда и только тогда, когда преобразование Фурье $f$ не имеет действительных нулей .

Тауберова переформулировка

Следующее утверждение эквивалентно предыдущему результату: и объясняет, почему результат Винера является тауберовой теоремой :

Предположим, что преобразование Фурье $f\in L^{1}$ не имеет действительных нулей, и предположим, что свертка $f*h$ стремится к нулю на бесконечности для некоторых $h\in L^{\infty }$. Тогда свертка $g*h$ стремится к нулю на бесконечности для любого $g\in L^{1}$.

В более общем смысле, если

$\lim _{x\to \infty }(f*h)(x)=A\int f(x)\,dx$

для некоторых $f\in L^{1}$ преобразование Фурье которого не имеет действительных нулей, то также

$\lim _{x\to \infty }(g*h)(x)=A\int g(x)\,dx$

для любого $g\in L^{1}$.

Дискретная версия

Теорема Винера имеет аналог в $l^{1}(\mathbb {Z} )$: объем переводов $f\in l^{1}(\mathbb {Z} )$ плотен тогда и только тогда, когда ряд Фурье

$\varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)e^{-in\theta }\,$

не имеет действительных нулей. Следующие утверждения являются эквивалентной версией этого результата:

• Предположим, что ряд Фурье $f\in l^{1}(\mathbb {Z} )$ не имеет вещественных нулей и для некоторой ограниченной последовательности $h$ свертка $f*h$

стремится к нулю на бесконечности. Затем $g*h$ также стремится к нулю на бесконечности для любого $g\in l^{1}(\mathbb {Z} )$.

• Позволять $\varphi$ — функция на единичной окружности с абсолютно сходящимся рядом Фурье. Затем $1/\varphi$ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье

тогда и только тогда, когда $\varphi$ не имеет нулей.

Гельфанд ( 1941а , 1941б ) показал, что это эквивалентно следующему свойству винеровской алгебры: $A(\mathbb {T} )$, которое он доказал с помощью теории банаховых алгебр , дав тем самым новое доказательство результата Винера:

• Максимальные идеалы ​ $A(\mathbb {T} )$ все формы

$M_{x}=\left\{f\in A(\mathbb {T} )\mid f(x)=0\right\},\quad x\in \mathbb {T} .$

Условие в L ²

Позволять $f\in L^{2}(\mathbb {R} )$ — функция, интегрируемая с квадратом . Объем переводов $f_{a}(x)=f(x+a)$ плотный в $L^{2}(\mathbb {R} )$тогда и только тогда, когда вещественные нули преобразования Фурье $f$ образуют множество нулевой меры Лебега .

Параллельное заявление в $l^{2}(\mathbb {Z} )$ выглядит следующим образом: диапазон переводов последовательности $f\in l^{2}(\mathbb {Z} )$ плотно тогда и только тогда, когда нулевое множество ряда Фурье

$\varphi (\theta )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(n)e^{-in\theta }$

имеет нулевую меру Лебега.

Ссылки

• Гельфанд И. (1941а), «Нормализованные кольца», Rec. Math (Mat. Sbornik) , Nouvelle Série, 9 (51): 3–24, MR   0004726.
• Гельфанд И. Об абсолютно сходящихся тригонометрических рядах и интегралах», . Rec « ( 1941b )   ,
• Рудин, В. (1991), Функциональный анализ , Международная серия по чистой и прикладной математике, Нью-Йорк: McGraw-Hill, Inc., ISBN.  0-07-054236-8 , МР   1157815
• Винер, Н. (1932), «Тауберовы теоремы», Annals of Mathematics , 33 (1): 1–100, doi : 10.2307/1968102 , JSTOR   1968102

Внешние ссылки

• Штерн, А.И. (2001) [1994], «Тауберова теорема Винера» , Энциклопедия математики , EMS Press