Абелевы и тауберовы теоремы
В математике , абелевы и тауберовы теоремы — это теоремы дающие условия, при которых два метода суммирования расходящихся рядов дают один и тот же результат, названные в честь Нильса Хенрика Абеля и Альфреда Таубера . Оригинальными примерами являются теорема Абеля, показывающая, что если ряд сходится к некоторому пределу, то его сумма Абеля является тем же пределом, и теорема Таубера, показывающая, что если сумма Абеля ряда существует и коэффициенты достаточно малы (o(1/ n ) ) то ряд сходится к сумме Абеля. Более общие абелевы и тауберовы теоремы дают аналогичные результаты для более общих методов суммирования.
Пока нет четкого различия между абелевой и тауберовой теоремами, как и общепринятого определения того, что означают эти термины. Часто теорему называют «абелевой», если она показывает, что некоторый метод суммирования дает обычную сумму для сходящихся рядов, и называют «тауберовой», если она дает условия для суммирования ряда каким-либо методом, позволяющим суммировать его в обычном порядке. смысл.
В теории интегральных преобразований абелевы теоремы дают асимптотическое поведение преобразования, основанное на свойствах исходной функции. И наоборот, тауберовы теоремы дают асимптотическое поведение исходной функции на основе свойств преобразования, но обычно требуют некоторых ограничений на исходную функцию. [1]
Абелевы теоремы [ править ]
Для любого метода суммирования L его абелева теорема является результатом того, что если = ( cn c ) является сходящейся последовательностью с пределом C , то L ( c ) C. = [ нужны разъяснения ]
Примером может служить метод Чезаро , в котором L определяется как предел средних арифметических первых N членов c , поскольку N стремится к бесконечности. Можно доказать , что если c сходится к C , то сходится и последовательность ( d N ), где
Чтобы увидеть это, вычтите C везде, чтобы свести к случаю C = 0. Затем разделите последовательность на начальный сегмент и хвост из маленьких членов: при любом ε > 0 мы можем взять N достаточно большим, чтобы сделать начальный сегмент термов до c N усредняется не более чем до ε /2, в то время как каждый член в хвосте ограничен ε/2, так что среднее значение также обязательно ограничено.
Название происходит от теоремы Абеля о степенных рядах . В этом случае L является радиальным пределом (представляемым внутри комплексного единичного круга ), где мы позволяем r стремиться к пределу 1 снизу вдоль действительной оси в степенном ряду с членом
- а н з н
и положим z = r · e iθ . Эта теорема представляет основной интерес в случае, когда степенной ряд имеет радиус сходимости ровно 1: если радиус сходимости больше единицы, сходимость степенного ряда равномерна для r в [0,1], так что сумма автоматически непрерывен и отсюда непосредственно следует, что предел при стремлении r к 1 представляет собой просто сумму an , . Когда радиус равен 1, степенной ряд будет иметь некоторую особенность | г | = 1; что, тем не менее, если сумма an существует утверждение состоит в том , , она равна пределу по r . Таким образом, это точно вписывается в абстрактную картину.
Тауберовы теоремы [ править ]
Частичные обращения к абелевым теоремам называются тауберовыми теоремами . Оригинальный результат Альфреда Таубера ( 1897 г. ) [2] заявил, что если мы предположим также
- и n = o(1/ n )
(см. обозначение Литтла o ) и существует радиальный предел, то ряд, полученный установкой z = 1, действительно сходится. Это было усилено Джоном Эденсором Литтлвудом : нам нужно только предположить, что O(1/ n ). Широким обобщением является тауберова теорема Харди–Литтлвуда .
Таким образом, в абстрактной постановке абелева теорема утверждает, что область определения L содержит сходящиеся последовательности, и ее значения там равны значениям функционала Лима . Тауберова теорема утверждает, что при некоторых условиях роста областью определения L являются именно сходящиеся последовательности и не более того.
Если думать о L как о некотором обобщенном типе взвешенного среднего , доведенном до предела, тауберова теорема позволяет отказаться от взвешивания при правильных гипотезах. Существует множество приложений такого рода результатов в теории чисел , в частности, при работе с рядами Дирихле .
Развитие области тауберовых теорем получило новый поворот благодаря Норберта Винера весьма общим результатам , а именно тауберовой теореме Винера и большому набору ее следствий . [3] Центральная теорема теперь может быть доказана методами банаховой алгебры и содержит большую часть, хотя и не все, из предыдущей теории.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Фрёзе Фишер, Шарлотта (1954). Метод нахождения асимптотического поведения функции по ее преобразованию Лапласа (Диссертация). Университет Британской Колумбии. дои : 10.14288/1.0080631 .
- ^ Таубер, Альфред (1897). «Теорема о бесконечных рядах» . Ежемесячные журналы по математике и физике (на немецком языке). 8 :273-277. дои : 10.1007/BF01696278 . ЖФМ 28.0221.02 . S2CID 120692627 .
- ^ Винер, Норберт (1932). «Тауберовы теоремы». Анналы математики . 33 (1): 1–100. дои : 10.2307/1968102 . ЖФМ 58.0226.02 . JSTOR 1968102 . МР 1503035 . Збл 0004.05905 .
Внешние ссылки [ править ]
- «Тауберовы теоремы» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Кореваар, Джейкоб (2004). Тауберова теория. Столетие событий . Основы математических наук. Том 329. Шпрингер-Верлаг . стр. xvi+483. дои : 10.1007/978-3-662-10225-1 . ISBN 978-3-540-21058-0 . МР 2073637 . Збл 1056.40002 .
- Монтгомери, Хью Л .; Воан, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 147–167. ISBN 978-0-521-84903-6 . МР 2378655 . Збл 1142.11001 .