Альфред Таубер

Не путать с профессором медицины и философии Альфредом И. Таубером (род. 1947).

Альфред Таубер
Рожденный	( 1866-11-05 ) 5 ноября 1866 г. Прессбург, Венгерское королевство , Австрийская империя (ныне Братислава , Словакия )
Умер	26 июля 1942 г. ( 1942-07-26 ) (75 лет) Концентрационный лагерь Терезиенштадт , Чехословакия.
Национальность	австрийский
Альма-матер	Венский университет
Известный	Абелевы и тауберовы теоремы
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	ТУ Вена Венский университет
Тезисы	О некоторых теоремах теории групп   (1889 г.) О связи вещественной и мнимой частей степенного ряда   (1891 г.)
Докторантура	Густав фон Эшерих Эмиль Вейр

Альфред Таубер (5 ноября 1866 г. - 26 июля 1942 г.) был австрийским математиком, родившимся в Австрийской империи , известным своим вкладом в математический анализ и теорию функций комплексной переменной : он является эпонимом важного класса теорем с приложениями, начиная от математического и гармонического анализа и заканчивая теорией чисел . Он был убит в концентрационном лагере Терезиенштадт .

Жизнь и академическая карьера

Родившийся в Прессбурге, Венгерское королевство , Австрийская империя (ныне Братислава , Словакия ), он начал изучать математику в Венском университете в 1884 году, получил степень доктора философии. в 1889 году, и его хабилитация в 1891 году.С 1892 года он работал главным математиком в страховой компании «Феникс» до 1908 года, когда стал профессором Венского университета , хотя уже с 1901 года был почетным профессором Венского технического университета и директором его кафедры страховой математики. . В 1933 году он был награжден Большим серебряным орденом Почета за заслуги перед Австрийской Республикой . и вышел в отставку в звании почетного экстраординарного профессора . Однако он продолжал читать лекции в качестве приват-доцента до 1938 года. когда он был вынужден уйти в отставку вследствие « аншлюса ». 28–29 июня 1942 г. депортирован транспортом IV/2, ч. 621 до Терезиенштадта , где он был убит 26 июля 1942 года.

Работа

Пинл и Дик (1974 , стр. 202) перечисляют 35 публикаций в библиографии, приложенной к его некрологу, а также поиск, выполненный в « Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik » базе данных , приводит к списку 35 написанных им математических работ, охватывающих период времени с 1891 по 1940 годы. Однако Главка (2007) цитирует две статьи по актуарной математике, которых нет в этих двух библиографических списках, и библиографию работ Таубера, составленную Биндером (1984 , стр. 163–166), при этом перечисляя 71 статью, включая те, что содержатся в библиографии Пинла и Дик (1974 , стр. 202) и две цитируемые Главкой не включают короткую заметку ( Таубер 1895 ), поэтому точное количество его работ неизвестно. По словам Главки (2007) , его научные исследования можно разделить на три направления: первое включает в себя его работы по теории функций комплексной переменной и по теории потенциала , второе включает работы по линейным дифференциальным уравнениям и по гамма-динамике. функция , а последняя включает его вклад в актуарную науку. Пинл и Дик (1974 , стр. 202) дают более подробный список тем исследований, над которыми работал Таубер, хотя он ограничивается математическим анализом и геометрическими темами: некоторые из них — бесконечные ряды , ряды Фурье , сферические гармоники , теория кватернионов. , аналитическая и начертательная геометрия . Наиболее важные научные вклады Таубера относятся к первой из его исследовательских областей: даже несмотря на то, что его работа по теории потенциала была омрачена работой Александра Ляпунова .

Тауберовы теоремы

Его самая важная статья ( Таубер 1897 ). удалось доказать обращение к теореме Абеля : В этой статье ему впервые этот результат стал отправной точкой многочисленных исследований, что привело к доказательству и приложениям ряда теорем такого рода для различных методов суммирования . Формулировка этих теорем имеет стандартную структуру: если ряд ∑ a _n суммируем по заданному методу суммирования и удовлетворяет дополнительному условию, называемому « тауберовым условием », тогда это сходящийся ряд . Начиная с 1913 г., Г.Х. Харди и Дж.Э. Литтлвуд использовали термин «тауберовы» для обозначения этого класса теорем. Описывая несколько подробнее работу Таубера 1897 года , можно сказать, что его главными достижениями являются следующие две теоремы:

Первая теорема Таубера . Если ряд ∑ a _n суммируем по Абелю к сумме s , т.е. lim _{x → 1 ⁻}  ∑ +∞
п = 0   а _н х ^н = s , и если a _n = ο ( n ⁻¹ ) , то ∑ a _k сходится к s .

Согласно Кореваару (2004 , стр. 10), эта теорема такова: предтеча всей тауберовой теории: условие a _n = ο ( n ⁻¹ ) — первое тауберово условие, получившее впоследствии множество глубоких обобщений. В оставшейся части его статьи, используя приведенную выше теорему, Таубер доказал следующий, более общий результат:

Вторая теорема Таубера . Ряд ∑ a _n сходится к сумме s тогда и только тогда, когда выполняются два следующих условия:

1. ∑ a _n суммируема по Абелю и
2. ∑ n
   k знак равно1   k а _k знак равно ο ( п ) .

Этот результат не является тривиальным следствием первой теоремы Таубера . Большая общность этого результата по отношению к первому обусловлена ​​тем, что он доказывает точную эквивалентность обычной сходимости, с одной стороны, и суммируемости по Абелю (условие 1) совместно с тауберовым условием (условие 2) — с другой. Чаттерджи (1984 , стр. 169–170) утверждает, что этот последний результат должен был показаться Тауберу гораздо более полным и удовлетворительным по сравнению с первым, поскольку он устанавливает необходимое и достаточное условие сходимости ряда, тогда как первый результат был просто ступенькой к этому: единственная причина, по которой вторая теорема Таубера не упоминается так часто, по-видимому, состоит в том, что она не имеет такого глубокого обобщения, как первая, хотя он занимает свое законное место во всех детальных разработках суммирования рядов.

Вклад в теорию преобразования Гильберта

Фредерик В. Кинг ( 2009 , стр. 3) пишет, что Таубер на ранней стадии внес вклад в теорию ныне называемого « преобразования Гильберта », предвосхищая своим вкладом работы Гильберта и Харди таким образом, что преобразование, возможно, должно иметь их три имени. А именно, Таубер (1891) рассматривает действительную часть φ и мнимую часть ψ степенного ряда f ,

$f(z)=\sum _{k=1}^{+\infty }c_{k}z^{k}=\varphi (\theta )+\mathrm {i} \psi (\theta )$

где

• г = ре ^{я я} с р = |   г   | являющееся абсолютным значением данной комплексной переменной ,
• с _к р ^к = a _k + i b _k для каждого натурального числа k ,
• φ ( θ ) знак равно ∑ +∞
  k = 1   a _k cos( kθ ) − b _k sin( kθ ) и ψ ( θ ) = ∑ +∞
  k =1   a _k sin( kθ ) + b _k cos( kθ ) — тригонометрические ряды и, следовательно, периодические функции , выражающие действительную и мнимую часть данного степенного ряда.

При гипотезе , что r меньше радиуса сходимости R _f степенного ряда f , Таубер доказывает, что φ и ψ удовлетворяют двум следующим уравнениям:

(1)      $\varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\psi (\theta +\phi )-\psi (\theta -\phi )\right\}\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\,\mathrm {d} \phi$

(2)      $\psi (\theta )=-{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }\left\{\varphi (\theta +\phi )-\varphi (\theta -\phi )\right\}\cot \left({\frac {\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi$

Предполагая, что тогда r = Rf _, он также может доказать, что приведенные выше уравнения все еще выполняются, если φ и ψ только абсолютно интегрируемы : этот результат эквивалентен определению преобразования Гильберта на окружности , поскольку после некоторых вычислений, использующих периодичность задействованных функций, можно доказать, что (1) и (2) эквивалентны следующей паре преобразований Гильберта:

$\varphi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\psi (\phi )\cot \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi \qquad \psi (\theta )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\varphi (\phi )\cot \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\mathrm {d} \phi$

Наконец, пожалуй, стоит указать на применение результатов ( Таубер 1891 ), приведенных (без доказательства) самим Таубером в кратком объявлении об исследовании ( Таубер 1895 ):

комплекснозначная непрерывная функция φ ( θ ) + i ψ ( θ ), определенная на данном круге, является граничным значением , голоморфной функции определенной в ее открытом круге, тогда и только тогда, когда выполняются два следующих условия:

1. функция [ φ ( θ − α ) − φ ( θ + α )]/α в равномерно интегрируема каждой окрестности точки α = 0 и
2. функция ψ ( θ ) удовлетворяет (2) .

Избранные публикации

• Таубер, Альфред (1891), «О взаимосвязи между действительной и мнимой частью степенного ряда», Monthly Books for Mathematics and Physics , II : 79–118, doi : 10.1007/bf01691828 , JFM   23.0251.01 , S2CID   120241651 .
• Таубер, Альфред (1895), «О значениях аналитической функции по круговому периметру» , Годовой отчет Немецкой математической ассоциации , 4 : 115, заархивировано из оригинала 1 июля 2015 г. , получено 7 июля 2014 г. -16 .
• Таубер, Альфред (1897), «Теорема о бесконечных рядах», Ежемесячные книги по математике и физике , VIII : 273–277, doi : 10.1007/BF01696278 , JFM   28.0221.02 , S2CID   120692627 .
• Таубер, Альфред (1898), «Некоторые теоремы теории потенциала», Ежемесячные книги по математике и физике , IX : 79–118, doi : 10.1007/BF01707858 , JFM   29.0654.02 , S2CID   124400762 .
• Таубер, Альфред (1920), «О сходящемся и асимптотическом представлении логарифмической интегральной функции» , Mathematical Journal , 8 (1–2): 52–62, doi : 10.1007/bf01212858 , JFM   47.0329.01 , S2CID   119967249 .
• Таубер, Альфред (1922), «О преобразовании степенных рядов в непрерывные дроби» , Mathematical Journal , 15 : 66–80, doi : 10.1007/bf01494383 , JFM   48.0236.01 , S2CID   122501264 .

См. также

• Актуарная наука
• Тауберова теорема Харди – Литтлвуда
• Теория суммируемости

Ссылки

Биографические и общие ссылки

• Биндер, Криста (1984), «Альфред Таубер (1866–1942). Австрийский математик», в Чаттерджи, С.Д. (ред.), Ежегодник Обзоры Математики , Математические обзоры (на немецком языке), том. 17, Мангейм : Bibliografies Institut AG , стр. 151–166, Zbl   0544.01021.
• Фишер, Герд; Хирцебрух, Фридрих ; Шарлау, Винфрид; Тёрниг, Вилли, ред. (1990), Столетие математики 1890–1990: Festschrift к юбилею DMV , документы по истории математики (на немецком языке), вып. Том 6, Брауншвейг / Висбаден : Friedrich Vieweg & Sohn , стр. XII+830, doi : 10.1007/978-3-322-80265-1 , ISBN  3-528-06326-2 , МР   1085961 , Збл   0706.01002 .
• Пинл, Максимилиан; Дик, Огюст (1974), «Коллеги в темное время. Заключение» , Годовой отчет Немецкой математической ассоциации (на немецком языке), 75 : 202–203, MR   0476359 , Zbl   0281.01013 .
• Главка, Эдмунд (2007), «Таубер, Альфред» , Полный словарь научной биографии , Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера , получено 27 февраля 2016 г.
• Зигмунд, Карл (2004), «Неудачный Феникс: Таубер, Хелли и венское страхование жизни», The Mathematical Intelligencer , 26 (2): 21–33, doi : 10.1007/bf02985648 , MR   2067894 , S2CID   121108996 , Zbl   0849.01036 .

Научные ссылки

• Чаттерджи, С.Д. (1984), «Теорема Таубера - несколько исторических замечаний», в Чаттерджи, С.Д. (редактор), Ежегодник Обзоры Математики , Математические обзоры, том. 17, Мангейм : Bibliografies Institut AG , стр. 167–175, Zbl   0555.40008 , а также Збл   0556.01005 .
• Харди, GH (1949), Divergent Series , Оксфорд : Clarendon Press , xvi+396, ISBN  978-0-8218-2649-2 , LCCN   49005496 , MR   0030620 , OCLC   808787 , 2-е издание, опубликованное Chelsea Publishing Company , 1991, LCCN   91-75377 , ISBN   0828403341 .
• Харди, штат Джорджия ; Литтлвуд, Дж. Э. (1913), «Тауберовы теоремы о рядах положительных членов», Messenger of Mathematics , XLII : 191–192, JFM   44.0283.01 .
• Кинг, Фредерик В. (2009), Гильберт трансформируется. Том 1 , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 124, Кембридж : Издательство Кембриджского университета , стр. xxxviii+858, ISBN  978-0-521-88762-5 , МР   2542214 , Збл   1188.44005 .
• Кореваар, Джейкоб (2004), Тауберова теория. Век разработок , Основы математических наук, вып. 329, Springer-Verlag , стр. xvi+483, doi : 10.1007/978-3-662-10225-1 , ISBN  3-540-21058-Х , МР   2073637 , Збл   1056.40002 .
• Луне, Дж. ван де (1986), Введение в тауберову теорию: от Таубера до Винера , Программа CWI, vol. 12, Амстердам : CWI , стр. iv+102, ISBN.  90-6196-309-5 , МР   0882005 , Збл   0636.40002 .

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Альфред Таубер» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Альфред Таубер на encyclepedia.com
• Альфред Таубер в проекте «Математическая генеалогия»