Тауберова теорема Хаара

В математическом анализе Хаара. тауберова теорема названный в честь Альфреда Хаара , связывает асимптотическое поведение непрерывной функции со свойствами ее преобразования Лапласа . Это связано с интегральной формулировкой тауберовой теоремы Харди–Литтлвуда .

Упрощенная версия Феллера

Уильям Феллер дает следующую упрощенную форму этой теоремы:

Предположим, что $f(t)$ является неотрицательной и непрерывной функцией для $t\geq 0$, имеющий конечное преобразование Лапласа

$F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$

для $s>0$. Затем $F(s)$ хорошо определен для любого комплексного значения $s=x+iy$ с $x>0$. Предположим, что $F$ проверяет следующие условия:

1. Для $y\neq 0$ функция $F(x+iy)$ (которая регулярна в правой полуплоскости $x>0$) имеет непрерывные граничные значения $F(iy)$ как $x\to +0$, для $x\geq 0$ и $y\neq 0$, кроме того, для $s=iy$ это может быть записано как

$F(s)={\frac {C}{s}}+\psi (s),$

где $\psi (iy)$ имеет конечные производные $\psi '(iy),\ldots ,\psi ^{(r)}(iy)$ и $\psi ^{(r)}(iy)$ ограничен на каждом конечном интервале ;

2. Интеграл

$\int _{0}^{\infty }e^{ity}F(x+iy)\,dy$

сходится равномерно относительно $t\geq T$ для фиксированного $x>0$ и $T>0$;

3. $F(x+iy)\to 0$ как $y\to \pm \infty$, равномерно по $x\geq 0$;

4. $F'(iy),\ldots ,F^{(r)}(iy)$ стремятся к нулю, так как $y\to \pm \infty$;

5. Интегралы

$\int _{-\infty }^{y_{1}}e^{ity}F^{(r)}(iy)\,dy$ и $\int _{y_{2}}^{\infty }e^{ity}F^{(r)}(iy)\,dy$

сходятся равномерно относительно $t\geq T$ для фиксированного $y_{1}<0$, $y_{2}>0$ и $T>0$.

В этих условиях

$\lim _{t\to \infty }t^{r}[f(t)-C]=0.$

Полная версия

Более подробная версия представлена ​​в .

Предположим, что $f(t)$ является непрерывной функцией для $t\geq 0$, имея преобразование Лапласа

$F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$

со следующими свойствами

1. Для всех значений $s=x+iy$ с $x>a$ функция $F(s)=F(x+iy)$ является регулярным ;

2. Для всех $x>a$, функция $F(x+iy)$, рассматриваемый как функция переменной $y$, имеет свойство Фурье («Fourierschen Charakter besitzt»), определенное Хааром, как и для любого $\delta >0$ есть ценность $\omega$ такой, что для всех $t\geq T$

${\Big |}\,\int _{\alpha }^{\beta }e^{iyt}F(x+iy)\,dy\;{\Big |}<\delta$

в любое время $\alpha ,\beta \geq \omega$ или $\alpha ,\beta \leq -\omega$.

3. Функция $F(s)$ имеет граничное значение для $\Re s=a$ формы

$F(s)=\sum _{j=1}^{N}{\frac {c_{j}}{(s-s_{j})^{\rho _{j}}}}+\psi (s)$

где $s_{j}=a+iy_{j}$ и $\psi (a+iy)$ это $n$ раз дифференцируемая функция $y$ и такой, что производная

$\left|{\frac {d^{n}\psi (a+iy)}{dy^{n}}}\right|$

ограничено на любом конечном интервале (для переменной $y$)

4. Производные

${\frac {d^{k}F(a+iy)}{dy^{k}}}$

для $k=0,\ldots ,n-1$ иметь нулевой лимит на $y\to \pm \infty$ и для $k=n$ имеет свойство Фурье, определенное выше.

5. Для достаточно больших $t$ следующее утверждение

$\lim _{y\to \pm \infty }\int _{a+iy}^{x+iy}e^{st}F(s)\,ds=0$

При вышеизложенных предположениях имеем асимптотическую формулу

$\lim _{t\to \infty }t^{n}e^{-at}{\Big [}f(t)-\sum _{j=1}^{N}{\frac {c_{j}}{\Gamma (\rho _{j})}}e^{s_{j}t}t^{\rho _{j}-1}{\Big ]}=0.$